加筋復合材料層合板的自由振動特性與優化

梁浩鋒，夏 飛，金福松，石陳玉，薛江紅

（暨南大學 力學與建筑工程學院 重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632）

薄板結構是工程領域上最常用的結構之一，在航空航天工程、土木工程、海洋工程、機械工程等領域中有著廣泛的應用。其中加筋薄板結構由于擁有用料省、剛度大等優點，成為工程領域新的關注重點。

一直以來，加筋薄板的自由振動問題受到國內外學者的廣泛關注。李凱等[1]基于能量泛函變分的方法，研究了附加多個集中質量縱橫加筋板的自由振動問題。劉文光等[2]建立了有限元動力學模型，并對板筋連接形式和加筋安裝方向對薄板振動模態的影響機制進行了研究。杜菲等[3]基于瑞利-里茲法，將筋條視為Euler梁單元，分析了四邊固支加筋板的振動問題。周平等[4]從工程角度出發，將不同經驗公式計算單向加筋板固有頻率的結果與有限元方法和動態剛度陣法計算結果進行了比較，給出了最為有效的經驗公式。Efimtsov等[5]基于空間諧波展開法，考慮加強筋與板殼的相互作用，分析了加筋板和圓柱殼的受迫振動問題。江松青等[6]考慮剪切變形和轉動慣性的影響，由Hamilton變分原理導出了加筋板的非線性動力方程，并用有限差分法求解的橫向沖擊荷載下加筋板的非線性動力響應問題。文獻[7-9]給出了更多基于不同的單元類型和計算方法，利用有限元法對各向同性加筋板的振動問題進行分析的研究成果。

復合材料由于具有較高的比強度和比剛度，由復合材料制作的層合結構在實際工程中也得到了廣泛的應用。針對復合材料加筋板的各項研究也受到了國內外學者的廣泛關注。王平安等[10]對復合材料薄壁加筋板結構進行了剪切載荷下的屈曲試驗研究，給出了加筋板結構的屈曲模態、屈曲失穩載荷以及破壞形式。Xue等[11-13]考慮接觸效應對含損傷復合材料層合薄板結構的非線性振動和屈曲問題進行了分析。Sinha等[14]通過實驗和數值模擬的方法對復合材料加筋層合板的自由振動特性進行了分析。Qing等[15]基于半解析法，求解了夾層加筋板的自由振動問題。王蔓等[16]考慮一階剪切效應的復合材料層合板單元和層合梁單元，提出了含嵌入圓形分層損傷的復合材料加筋板非線性動力響應有限元分析方法。趙政等[17]利用LS-DYNA有限元數值模擬軟件對爆炸荷載下復合材料加筋板的動力響應問題進行分析。Rajawat等[18]和Behera等[19]基于有限元方法，分析了復合材料加筋層合板的自由振動問題。霍世慧等[20]利用工程及有限元方法分別分析了加筋壁板整體和局部穩定性。歐陽天等[21]通過落錘法從面板一側對筋條進行了5種能量水平的低速沖擊，研究了復合材料加筋板的筋條沖擊損傷及沖擊損傷對加筋板軸向壓縮行為的影響。

國內外學者已經開展了不少有關加筋復合材料層合結構的力學性能的研究，但正如上述文獻資料顯示的，對加筋復合材料層合結構的研究大都采用的是實驗和數值模擬的方法。

本文采用理論結合數值分析的方法對加筋復合材料層合板的自由振動特性進行研究。根據復合材料結構力學和板殼理論推導層合板與各加強筋在振動過程中的能量消散，借助熱力學第二定律和最小勢能原理建立求解加筋層合板自由振動固有頻率的特征方程，進行算例分析，詳細討論加強筋數目與橫截面幾何參數對固有頻率的影響。開展有限元仿真并與理論結果進行比較。根據參數分析的結果給出加強筋的布筋優化方案。本文采用的能量法與傳統的解析方法相比，避開了加筋結構的復雜連續性條件，通過加筋結構自由振動中的功能關系，建立特征方程求解固有頻率，將復雜的偏微分方程組問題轉化為易于求解的線性方程組問題，在保證計算準確性的同時大幅提升計算效率。

1 問題的描述

考慮如圖1所示的四邊簡支復合材料層合板，層合板的長、寬和厚度分別為a，b和h，鋪層數為n，單層板厚為t，密度為ρ，鋪層方式為正交對稱鋪設。層合板上布有沿橫向x方向和縱向y方向均勻分布的加強筋，其中沿x軸的橫筋共有nj條，每條橫筋的坐標分別為y=dj，其橫截面寬和高分別為bx和hx，橫筋的密度、彈性模量和泊松比分別為ρx，Ex，μx；沿y軸的縱筋共有ni條，每條縱向筋的坐標可以表示為x=ci，橫截面寬和高分別為by和hy，縱向筋的密度、彈性模量和泊松比分別為 ρy，Ey，μy。

圖1 加筋板結構模型Fig.1 Structural model of rib-reinforced composite laminates

2 基本理論

設u，v，w代表加筋層合板結構x，y，z方向位移。基于Kirchhoff-Love薄板理論，層合板和加強筋的幾何方程為

式中:εij為層合板的應變分量；κij為其曲率分量。根據復合材料結構力學[22]，對于正交對稱鋪設的層合板，層合板內的拉彎耦合和彎扭耦合效應都消失了，其內力-應變關系可以表達為

式中:Nx，Ny，Nxy，Mx，My，Mxy分別為加筋板的薄膜力和彎矩；Apq和Dpq分別為層合板拉伸剛度系和彎曲剛度，分別由式（3）定義得到

式中:zk為層合結構第k層子結構的下表面坐標；z0為層合結構第1層子結構的上表面坐標；（）k為第k層的彈性剛度。令第k層的鋪設角度為θ，則該層的彈性剛度（）k為

式中:c=cosθ；s=sinθ；Qpq為折減剛度系數，可用工程彈性系數表示為

3 能量法

由于加筋板結構本身的復雜性，采用求解平衡方程的方法分析加筋板的自由振動問題必須要考慮到橫筋和縱筋與層合板之間的相互作用，當加筋的數目較大時，這樣的方法求解難度極大，為此本文采用能量法求解加筋板的自由振動問題。四邊簡支加筋層合板的邊界條件為

為了滿足式（6）的邊界條件，將加筋層合板的振動模態取為

式中:m，n分別為橫向和縱向的振動模態半波數；wmn為對應該模態的振幅；ω為與其對應的加筋層合板結構的自由振動角頻率；t為時間。

3.1 應變能

由板殼力學，對稱鋪設復合材料層合板的應變能為

縱向筋和橫向筋的應變能分別為

式中:D11x，D11y分別為橫筋和縱筋在與薄板耦合狀態下的彎曲剛度；ni，nj分別為縱筋和橫筋的數目。

將式（1）、式（2）和式（7）分別代入式（8）、式（9）、式（10）得到加筋板總應變能

3.2 動 能

層合板的動能為

縱向筋和橫向筋的動能可以表示為

由式（7）、式（12）、式（13）和式（14）得到加筋板總動能

3.3 固有頻率求解

根據熱力學定理，單位時間內外力做的功一部分轉化為動能，一部分轉化為內能。在自由振動問題中，不存在外力做功，同時假定變形過程中無熱能損失，則總能量由于振動模態函數總是滿足邊界條件，根據最小勢能原理，問題轉化為確定wmn的值使總能量取最小值。總能量取極值的條件為

根據式（16）可以得到關于一組關于固有頻率ω的線性齊次方程組，即

式中:L（ωmn）為一個含有ωmn的mn×mn大小的方陣；X為大小為m×n的向量，且有

式（17）有非零解則其系數行列式值必須為0，即

求解式（19）即可得到復合材料加筋板結構的固有角頻率ω。為了與有限元分析結果進行對比，引入頻率f與角頻率ω的轉換公式為

4 算例分析

考慮如圖1中的加筋板結構，薄板使用石墨/環氧樹脂復合材料，鋪層數為21層，以（0/90/0）7形式鋪設；加強筋材料使用Q235鋼。層合板和加強筋的材料屬性和幾何參數如表1所示。

為了分析加筋情況對各階振動頻率和模態情況的影響，對復合材料加筋板的自由振動算例分別進行了MATLAB編程計算和ABAQUS有限元模擬，將兩者結果進行對比，其中MATLAB程序計算流程如圖2所示。

圖2 加筋薄板固有頻率MATLAB程序流程圖Fig.2 Flowchart of MATLAB program for natural frequency of rib-reinforced composite laminates

根據表1的參數，基于ABAQUS軟件建立了加筋薄板的有限元模型，10條橫向筋和縱向筋與薄板之間利用tie模塊綁定。為在滿足分析精度要求的同時保證計算效率，在彎曲主導的薄板自由振動問題中有限元模型可以采用S4R殼單元，同時將網格尺寸從較大的初始值開始逐步縮小，進行試運算并對比結果，最終在保證精度和效率的前提下，控制薄板和加強筋網格尺寸為0.04 m，薄板共劃分10 000個網格，每條加強筋共劃分300個網格。

同時，基于表1給出的參數，利用能量法分別計算在同時添加10條橫向筋和縱向筋的情況下加筋板自由振動的前1～6階固有頻率，并與有限元方法計算結果進行對比，具體計算結果如表2所示。從表2數據可以看出，能量法計算結果與有限元解吻合程度較高，大部分誤差不超過6.13%，最大誤差為14.06%。誤差主要來源于有限元模型中加強筋和薄板的接觸設定，在理論方法中使用加強筋和薄板的耦合彎曲剛度來表征其接觸影響，存在一定誤差，但仍在可接受范圍內。圖3給出了有限元分析中前1～6階的振動模態，在薄板橫向、縱向呈多個半波形狀，且隨著模態階數的增加半波數逐漸增加，與假設的振動模態函數式（7）基本一致，驗證了振動模態函數的正確性。

圖3 加筋板自由振動模態Fig.3 Modes of free vibration of rib-reinforced composite laminates

表1 加筋板的材料屬性和幾何參數Tab.1 Material properties and geometric parameters of rib-reinforced composite laminate

表2 縱橫各10條加筋層合板前1～6階固有頻率Tab.2 The first to sixth order vibration frequency of the laminates reinforced by 10 ribs in longitudinal and transverse direction

4.1 加強筋數目的影響

上文已經給出了縱橫同時添加10條加強筋情況下四邊簡支加筋板的前1～6階固有頻率，下面將改變加強筋的數目、尺寸，探究不同加筋情況下的加筋板固有頻率。

圖4分別給出了當僅有橫向加筋和僅有縱向加筋時，三種尺寸的加筋層合方板的1階固有頻率隨加筋數目的變化曲線。從圖4（a）可以看出:無論層合方板的尺寸大小，當加強筋的數目由0增加到10條時，層合板的固有頻率迅速由無筋的固有頻率增加到某一數值，之后頻率的增幅非常平緩，直到在20～30條附近時達到最大值。比較加強筋數目為10和最大時的固有頻率，不難發現二者的差值非常微小，表明最優加筋數為10，且與方板的幾何尺寸無關。

此外，從圖4（b）還可以觀察出當分別僅在橫向和縱向添加相同的筋數時，二者對固有頻率影響的不同。以a=b=4 m為例，當分別僅在橫向或縱向加10條筋時，加筋板的固有頻率分別為21.844 Hz和16.529 Hz，而無加筋時層合板的固有頻率為6.374 Hz，說明對于正交各向異性材料，應在剛度更大的方向加筋，對結構固有頻率的影響更大。

圖4 加強筋數目對不同尺寸層合板固有頻率的影響曲線Fig.4 The curves of frequency with response to different size and number of rib of rib-reinforced composite laminates

4.2 加強筋幾何參數的影響

當僅在橫向添加10條加強筋時，給定加強筋的初始寬度和高度分別為bx=0.02 m，hx=0.1 m，分別改變加強筋的寬度和高度，對加筋板固有頻率的影響如圖5所示。從圖5（a）中曲線可以看出，加強筋寬度對固有頻率的影響有極限性，即在某一加筋數目前，固有頻率隨著加強筋的寬度增加而增加，當超過加筋數極值時再增加加強筋寬度，固有頻率開始下降；相反，加筋板的固有頻率與加強筋的高度成正比關系，同時加強筋高度的增加對固有頻率的影響遠大于加強筋寬度的增加。

圖5 加強筋橫截面幾何參數對固有頻率的影響曲線Fig.5 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different geometric parameters of rib

5 加筋優化方案

加強筋數目對加筋板固有頻率的影響具有極限性，固有頻率并不會隨著加強筋數目的增加一直增加。圖6給出了不同寬度加筋板固有頻率隨橫向筋數目的變化曲線，可以看出，不同尺寸下的加筋板固有頻率隨橫向筋數目的變化都存在極限性，但不同尺寸的加筋板，其固有頻率出現極值的橫向加筋數目也不一樣。隨著尺寸的增大，需要添加更多的加強筋，加筋板的固有頻率才會達到峰值。而且，四種不同尺寸的層合板，在不加筋的情況下，固有頻率相差不大，在曲線上升階段可以看出，剛開始加筋時尺寸最小的層合板固有頻率增幅最大，且增幅隨著尺寸的減小而遞減。

圖6 不同寬度加筋板固有頻率隨橫向筋數目的變化曲線Fig.6 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different width and number of rib in longitudinal direction

綜合第4章的分析，總結得出加筋板的優化方案:

（1）對加筋層合板的自由振動而言，應優先在剛度較大的方向加筋來提高結構的固有頻率；

（2）在加筋數一定的情況下，由于加強筋高度對結構固有頻率有更大的影響，應優先考慮增加加強筋的高度來提高結構的固有頻率；

（3）在滿足工程需要時，可以選擇尺寸更小的層合板，來提高加強筋的效率；

（4）對層合方板，加強筋數為10時的效果最優。過多的加強筋不僅無益于增加結構的頻率，還會導致材料的浪費和結構質量的增加。

6 結 論

本文基于板殼力學對加筋復合材料層合板的自由振動特性進行了理論分析，通過運用能量法，對加筋層合板自由振動過程中應變能與動能之間的轉換進行分析，建立了加筋層合板自由振動的特征方程。編寫MATLAB程序求解加筋層合板的固有頻率，并利用ABAQUS建立有限元模型獲得數值解，與本文的理論結果相互對比驗證。另外，還通過改變加強筋的數目、橫截面尺寸參數，探究不同加筋情況對加筋層合板自由振動特性的影響，得出如下結論:

（1）基于Kirchhoff-Love薄板理論和能量法獲得的加筋復合材料層合板的固有頻率與有限元模型計算的結果高度吻合，二者的差值不超過14%，說明了理論計算方法的準確性與可靠性。

（2）加強筋數目對固有頻率的影響有極限性，隨著加強筋數目的增加，加筋層板的固有頻率先增大后減小，并非一直增加。

（3）對于正交各向異性復合材料層合板，沿層合板彈性模量更大的方向加筋，對固有頻率的影響更大。

（4）加強筋寬度對加筋層合板固有頻率的影響具有極限性，隨著加強筋寬度的增加，加筋層合板的固有頻率先增加后減小，但加筋層合板的固有頻率值與加強筋的高度成正比關系，會隨著高度的增加一直增加。