基于問題解決視角下的教學設計與實踐

楊璧華 文尚平

【摘 要】基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數學問題解決的教學實施，主要包括教學原則、教學模式和教學設計三大實施策略，而基于問題解決的教學設計，應當以創設數學情境、提出數學問題、開展數學對話為主要手段，以鍛煉和提升數學思維能力、方法技能為根本任務，以學會提出問題、分析問題、解決問題，最終實現和發展學生數學核心素養為基本目標。

【關鍵詞】問題解決;數量積;二輪復習;教學設計

【作者簡介】楊璧華，一級教師;文尚平，高級教師，南寧市學科帶頭人，廣西基礎教育名師青藍工程培養對象。

【基金項目】2021年廣西“十四五”教育科學規劃B類重點課題“基于核心素養下高中數學‘學、教、評一致性教學設計的理論與實踐研究”（2021B200）

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017版）》提出的課程建設目標是通過數學課程的學習，讓學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1]。數學家哈爾莫斯認為，問題是數學的心臟，波利亞則把數學當成是一門問題解決的學科，并把問題解決作為數學教學的焦點。可見，解決問題的教學已經成為數學教學的核心，圍繞問題解決而開展的探究學習，既是數學教學的一種理念、策略和方法，也是數學課堂教學的一種基本組織形式。所以，圍繞問題解決而展開的教學設計，既需要數學學習論、數學教學論的理論基礎，又需要運用系統方法分析數學問題，確定數學教學目標，設計解決數學教學問題的策略方案、試行方案、評價試行結果和修改方案[2]。

基于問題解決的教學設計一般需要關注四個問題：①我們要到哪里去？（教學目標的設立）;②我們如何確保才能到達那里？（教學任務的分析）;③我們怎么到達那里？（教學策略的實施）;④我們怎么知道已經到達那里？（教學評價的反饋），如圖1所示。所以，在數學教學設計中，從實施教學分析，擬訂教學目標，到開發教學策略，再到組織實施教學評價，實際上就是教學主體的內外部條件和教學事件的系統化問題。因此，基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數學問題解決的教學設計，需要教師根據不同的學習結果，創設不同的學習內部條件并安排相應的學習外部條件。筆者以“平面向量的數量積”復習課教學為例，探索關于數學問題解決視角下的教學設計與實踐。

二、教學分析

1.教材分析

平面向量的數量積涵蓋了幾何、代數及三角函數三大板塊的主干知識，背景知識豐富。筆者通過對近5年高考數學全國課標卷試題的研究發現，課標卷中平面向量的考查題型基本以客觀題為主，內容以平面向量的基本定理的應用，數量積（范圍）的求解，模長、夾角的計算為主，解法上弱化解題技巧而注重通性通法。常與函數的構造、三角函數范圍、不等式與最值、解析幾何與平面幾何、立體幾何空間角等內容進行考查，體現平面向量的工具性和應用性，考查學生數學運算、邏輯推理、綜合分析解決問題的能力（如圖2）。基于平面向量數量積的復習，應重點關注求夾角、求模、求數量積三個小問題解決過程中的知識要求、運算要求、推理要求及邏輯思維的要求。所以，弄清楚問題解決作為一種學習結果，方可為安排相應的學習外部條件提供科學依據。

2.教學目標

根據問題解決教學的課型特征設立教學目標，并將目標細化為一系列子目標。因此，平面向量的數量積復習應該以問題解決作為教學目標，教學目標如下。

（1）通過題組訓練，使學生掌握數量積、夾角等概念，并掌握數量積的運算公式、運算法則、運算方法。

（2）通過考查問題，培養學生學會發現問題、分析問題的意識，進一步強化求解數量積的基本策略和方法。引導學生學會關聯并實施運用基底法、坐標法求解平面向量數量積，并在學習過程中并通過問題變式，層層深入，使學生掌握并能熟練運用這兩個方法。

（3）通過課堂交流，提升學生分析問題、解決問題的能力，培養學生學會思考、學會聆聽、學會合作、學會交流的能力。

3.教學重難點

（1）教學重點：復習并掌握定義法、基底法、坐標法求解數量積，并在此基礎上拓展極化恒等式及應用。

（2）教學難點：學會靈活應用求解平面向量的數量積的方法。

根據問題解決教學習得知識的過程和條件設計學習的外部條件，明確如何到那里。所以，教學設計中的重難點設立應遵循“一明一暗”（知識與方法）兩條線的原則。本節課的“明線”是向量數量積問題解決的結構知識，“暗線”是數量積問題解決的思想方法。問題的設計也是由具體知識到解決問題工具，再到解決問題思想方法，梯度式地發展學生核心素養。

4.教學關鍵點

（1）教學設計中，問題的設計、生成與變式，是追求有效教學的重要因素，數量積求解過程中，需要對照教學目標檢測學生的學習效果，確定是否已經到達那里。

（2）向量具有良好的運算性質，數量積可以使圖形中的夾角運算、距離運算有效地轉化為向量運算，所以教學設計必需先解決知識的上下位關系，同時需要解決向量運算所蘊含的思想方法的提煉、開發和實施評價，以確定我們怎么知道已經到達那里。

三、教學過程設計

環節一：基于課型特征，解決要到哪里去的問題

通過教學前測，了解學生對平面向量數量積知識的掌握情況，并通過限時訓練，激發學生的學習主動性，明確本節課的學習目標。

課前小測（5分鐘）

【設計意圖】基于問題解決視角下的教學設計，需要回答的第一個問題是：我們要到哪里去？即教學目標是什么？問題解決的教學目標應該具有“導教、導學、導測評”的功能，通過課前測試，實施教學分析，以確定我們要到哪里去，并為課堂活動的實施做好鋪墊，讓學生明確學習目標、重點、難點，帶著問題進行學習。

環節二：設置問題解決的學習目標并進行任務分析，解決確保能到那里去的問題

解決到哪里去的問題，首先，教師需要引導學生用外顯的行為動作與內部心理過程相結合的方式進行任務分析，讓學生明確到哪里去。

師：時間到，請5題都做了的同學舉手，請5題都做對的同學舉手。

師：你做對了哪幾題？有什么體會？你是因為什么原因錯了這一題？錯在哪里？

由于前面已經系統復習了平面向量數量積的定義，以及夾角、模的求解等知識，學生基本可以熟練地運用定義法、投影法、基底法、坐標法等基本方法求數量積，初步掌握了研究向量問題的基本思想和方法。設計課前小測，是為本節課新問題的復習與探究熱身。第1題意在鞏固平面向量數量積的定義，第2題揭示了模與夾角的運算離不開數量積的求解，第3題意在讓學生體會求數量積常用的幾種方法，第4題意在考查向量數量積小于0與向量夾角為鈍角并非等價關系，第5題意在鞏固向量運算法則與基底轉化法。

【設計意圖】運用學習結果分類理論，將學習目標細化為一系列子目標，提示學生回憶先決知識技能。通過師生互動、生生互動，歸納出數量積求解公式的五種形式、四種方法，以及與之相關的上下位知識，這既是平面向量數量積復習課教學目標達成的一部分，也是問題解決視角下背景分析、路徑探究的重要環節。

環節三：設計問題解決教學事件，解決如何到那里的問題

解決如何到那里的問題，需要教師在教學設計中呈現設計的樣例，樣例要有針對性、互補性，才能有效促進問題的解決。

例1 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，點E為BC中點，則AC·AE的值___________。

【設計意圖】基于問題解決視角的數學教學設計，教師需關注以下問題：我們如何到達那里？即教學策略是什么？通過開發有效的教學策略，以確定我們如何到達那里。向量數量積問題的求解，需要掌握最基本、最常用的三大形式（定義式、基底式、坐標式），這是確保教學目標實現的基本環節。

平面向量的最值問題通常需要找到合適的變量，例2的設計意在引導學生尋找到已知變量和未知變量之間的關系，促進學生對數量積求解方法的理解。

師：結合我們剛才歸納的方法，對于例2，同學們會選擇什么方法求解呢？

學生在教師的引導下，展現以下三種解題方法。

通過以上三種解法，學生總結出以下解題規律。

（1）當兩個向量共線反向時，數量積達到最小值;當共線同向時，數量積達到最大值。

課堂教學，功在預設，貴在生成。根據課堂中學生的實際情況，教師應及時作出教學調整，提供反饋與糾正。關于平面向量數量積的考查，除了考查概念、公式等基礎知識，還要考查相關的基本技能與方法，而結構不良條件下的數量積求解，需要學生具備合理的轉化與劃歸能力。筆者根據學生學情，設計了以下例題及變式。

【設計意圖】考查問題及變式，意在活學活用。極化恒等式的優點是方便利用已知條件，用整體、方程、化歸思想把復雜的幾何問題轉化為簡單的代數問題。學生在利用前面掌握的方法求解例3時，由于很難處理條件中的夾角、模、基底之間的相互關系，因此解題思維受阻。這時，就需要突破原有的知識結構，探索新的方法。

【設計意圖】提升學生的運算能力，關鍵在于幫助學生提升算法與算理的能力。平面向量數量積求解中的動態問題，如果只從幾何圖形要素“邊、角、面積”出發，受知識結構的影響，學生分析問題的思維一般會受阻。而如果從幾何問題代數化的角度考慮，使運算最終落在函數的圖象與性質上，此時從平面圖形的基本特征出發，建立直角坐標系，可以幫助學生有效解決平面向量數量積動態問題。

環節四：分析問題解決教學的課型特征，解決確定是否已經到那里的問題

課堂教學是否已經達到預期目標，學生是否已經掌握了本節課的基本知識、基本技能、基本方法，教師可以通過歸納總結、對話交流等形式，進行檢查遷移。

基于考查問題的主線，本節課按“考查問題——小問題——具體問題”展開，規律如圖9所示。

平面向量考查關鍵問題的試題一般遵循以下三個維度的命題原則：能力立意（維度一）、情境（維度二）、設問（維度三）。基于上述三個維度，我們歸納如下。

1.求解平面向量數量積的小題題型結構（題胚）

已知：向量（三角形、四邊形）的模長（與模有關的等式）、夾角、點（動點）、坐標。

求：某兩個向量的數量積的值（范圍）。

2.基于關鍵考查問題的變式

從問題表征角度歸納總結向量數量積考查問題的題型結構（題胚），并從問題變式角度歸納總結向量數量積問題的考查本質特點，目的是歸納解題的一般方法，獲得解決此類問題的規律。（1）條件變式：變換平面圖形，恒等式結構，使得運用數量積公式時能夠準確選擇合適的求解公式。（2）結論變式：根據條件求數量積的值或范圍。

【設計意圖】從問題解決的視角進行數學教學，不應該只是側重于解決常規的數學問題，還應該鼓勵學生在給定的情境中提出問題或者通過修改原問題的條件創設新的問題。

四、教學反思

學起于思，思起于疑。問題既是學生思維的起點也是學生思維的動力源泉，既是教學策略也是教學組織的基本形式。所以，教師在理解好教學內容、明確好教學目標、把握好內容本質的基礎上，要提出并設計合適的、遞進式的問題，引導學生的展開更深入的思維訓練。基于問題解決的教學設計，要明確問題解決與教學設計之間的關聯性，主要體現在以下四個方面。

（一）問題解決的關鍵在問題圖式的獲取與遷移

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數學問題解決，問題的提出是前提，但如何培養學生提出問題的能力目前依然值得我們深思。數學情境是問題解決的場域，也是問題表征的維度之一，所以可以通過對問題表征的轉變進而實現問題的轉化，還可以引導學生學會用數學語言表達數學問題，通過問題交流來開展問題解決的過程性數學活動，以及通過問題拓展來實現對問題解決的延續[3]。我們只有充分了解這些，才能更好地實施問題解決的教學設計。整個流程圖大致如下（如圖10）。

（二）問題解決教學設計要回答好四個問題

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數學問題解決的教學實施策略，主要包括教學原則、教學模式和教學設計的策略[4]。而基于問題解決的教學設計，需要回答四個問題，即教學目標、教學任務、教學策略、教學評價的問題。

（三）問題解決習得的內外部條件是有破有立的問題設計

課堂是教學的主陣地，做好問題解決的課堂教學設計，對于提高教學質量，促進學生能力素質發展具有重要意義。本節課從“考查問題→小問題→具體問題”三個層面組織開展教學活動，教學設計需層層推進，并且要有破有立。“考查問題”體現了對歷年平面向量高考試題的研究與再利用，體現了整體掌握高考試題考查的難度、方向的設計思想，是高考第二輪復習必不可少的工作。“小問題”體現了對高考平面向量試題中考查的思想方法的提煉與加工，“具體問題”體現了對平面向量具體知識點的復習與呈現。基于高考試題的內容研究，抽象出考查的思想方法、能力維度，再回到具體知識點的歸納與復習。

基于問題解決的教學設計，教師既要關注設計的問題本身是否符合教學目標，也要關注問題的生成是否“自然”，還要關注問題的解決過程是否很好地發展了學生的數學學科核心素養，所以教師提出有價值的問題，目標指向應該是鼓勵和培養學生提出有價值的問題，最終落實“四基”“四能”。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]鄧新星，莫宗趙，周瑩.數學教學設計的研究現狀與展望[J].中學數學，2020（10）：96-99.

[3]方小芹.基于“學習的條件和教學論”的問題解決教學設計[J].中小學數學，2016（11）：4-6.

[4]楊勇.核心素養下高中數學問題解決策略[J].教學與管理，2019（11）：60-64.

（責任編輯：陸順演）