例談近幾年高考中與有關導函數零點的應用分析

楊冬梅

摘 要：近年來，隨著我國社會經濟與現代化科學技術的持續發展，各個領域都取得了重大的成就，教育領域的優化改革已經成為一種必然趨勢。在教育過程之中，高考已然成為改變學生命運的重要轉折點之一，其中的數學學科更是關鍵所在。而導函數作為高中數學的重要知識點，其具有多種解題算法，導函數在求導過程中，存在超越方程、高次冪方程等，將增加解題難度，為此應通過不同的解題方法對函數求導存在的問題進行全面解析，以此來得出正確的求導結果文章針對導函數零點問題進行探討，并對整體代換、反帶消參等解題思路進行研究。

關鍵詞：導函數;隱霧點;解題思路

引言

函數零點是新課標中新增的重要概念，在函數的方程、圖像、單調性、最值和不等式證明中有特殊作用，又與函數和不等式有密切相關，所以在近幾年高考命題中備受青睞，尤其是導數的綜合應用問題，導函數零點是導函數方程的根，又是單調區間的分界點，也可能是原函數的極值點或最值點。因此，正確掌握零點的用法往往是研究函數與導數的綜合問題的關鍵，筆者總結了近年來的高考，在此淺談零點問題的處理方法。

一、與零點個數有關的問題

導數零點個數的問題一方面是考查學生對于函數求導法則的掌握程度，一方面是考查學生對導數零點意義的理解程度。在定義域內或者某個區間內，根據定義，一般對函數f（x）求導得到導數f'（x），令f'（x）=0即可判斷是否有零點，因此導數有唯一零點或多個零點是困擾學生的主要問題。不妨將其細分為兩部分，一是唯一零點相關問題和多個零點相關問題。以下分別通過兩例高考實例分析講解。

問題1（2019年高考文科數學全國I卷第20題）

剖析此題，從知識點出發，出題人主要考查了函數的定義域、求導的鏈式法則、二次求導、函數的單調性以及三角函數的周期性，易錯點在于求導的鏈式法則以及函數的分類點。求導法則需要學生多加練習。理清思路后開始做題，需證明f'（x）在區間（0，π）存在唯一零點，f'（是一個復合函數，包含周期函數和線性函數，顯然在完整區間內不是單調函數，則需要考慮分類討論，要根據不同函數特點，如本題中三角函數的周期性，通過函數的特點去把握區間端點。三角函數中值得注意的點一般為0、π/2，π，題目要求在區間（0，π）中，則可以將π/2作為斷點分類進行討論。

二、利用零點性質解含參問題

導數零點問題相對簡單，但是其中含有參數時，學生往往會出現思維混亂，未知數與參數纏繞不清，不知如何處理的情況。以下通過一個高考數學實例進行分析講解。

結語

回顧兩類問題，不難發現出題人考察的內容大致相同，題目運算量不大，分類討論情況較多。可見，萬變不離其宗，學生熟練掌握這些基礎點，并能靈活運用，解題就能變得很輕松。

參考文獻：

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