由光速不變原理直接導出光行差公式

劉家明

(廣東第二師范學院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

光速不變原理是狹義相對論的一個基本原理，它強烈地表現出與牛頓時空觀的不同，往往能給予學生深刻的印象.從光速不變原理出發，可以簡單地推導出鐘慢效應、尺縮效應這些相對論的典型特征[1].此外，它也可以用于推導洛倫茲變換[1,2]、速度變換公式[3]等等.因此，在狹義相對論的教學中，光速不變原理是非常值得詳細講解的.

而對于光行差公式，常見的教材會根據相位不變的性質、利用波矢的洛倫茲變換來推導[4].也有文獻介紹平面波變換法、光子動量法等推導方法[5].

而本文將介紹一個直接由光速不變原理推導光行差公式的方法，這個方法與用光速不變原理導出鐘慢效應、尺縮效應聯系緊密，可以讓學生達到觸類旁通、舉一反三的效果，使光速不變原理的教學內容更加地豐富.

1 正文

圖1 導出鐘慢效應的情形

(1)

而要從光速不變原理推導光行差效應時，可以對上面的例子做一點修改，引入一個傾斜的角度.在Σ′中，把鏡子沿x′方向平移一段距離L′，并調整光子發射器和鏡子的角度，使它們對準，如圖2(a). 在Σ′中，光子發出經反射再回到發射器所需時間為

(2)

而發射角度滿足

tanθ′=h/L′

(3)

由于在Σ′中，光子發出、返回仍然是同一地點的兩個事件，這一點與前文中豎直發射的例子是一致的；所以在Σ中，光子發出到返回到發射器的所需時間t仍滿足式(1).

但是在Σ中，鏡子的傾斜角度、鏡子與發射器的水平距離，都和Σ′中的情況有所不同.設發射時，發射器與鏡子的水平距離為L，如圖2(b).并記光子從發射器到鏡子所需時間為t1，而從鏡子返回到發射器所需時間為t2，則發射到返回的總時間：

t=t1+t2

(4)

在圖2(b)中，P點、Q點分別為發射器、鏡子的初始位置，R點為光子到達鏡子時，鏡子的位置，S點為光子返回到發射器時，發射器的位置.則由幾何關系，有

圖2 導出光行差效應的情形

(L+vt1)2+h2=(ct1)2

(5)

(L+vt1-vt)2+h2=(ct2)2

(6)

sinθ=h/(ct1)

(7)

cosθ=(L+vt1)/(ct1)

(8)

利用式(4)中t與t1、t2的關系，將式(5)、(6)相減可得

t1-t2=2Lv/(c2-v2)

(9)

再由式(9)與式(4)可解得

(10)

將式(10)代入式(5)可得

(11)

由式(1)、(2)得

(12)

由式(11)、(12)得

(13)

此即尺縮效應關系.它指示了在靜止參考系Σ中，運動物體上兩點沿運動方向的距離，要比在運動參考系Σ′中相應兩點在該方向上的距離要短.當然，如果只是要推導尺縮效應，可以將光子發射器和鏡子都設置在水平方向上[1]，這樣計算過程會更簡單.而本文作此推導，主要是想說明：在推導角度關系時，并不需要以水平情況的例子為前提.

繼續光程差公式的推導，由式(3)及式(7)可得

(14)

而式(8)可改寫為

(15)

則聯合式(13)、(14)及(15)，可得

(16)

此即光行差公式. 它指示了在靜止參考系Σ中運動光源的發光角度，與運動參考系Σ′中相應光線角度之間的關系.這個推導結果與使用洛倫茲變換推導的結果是一致的.

2 結語

本文通過修改教材中的常見案例，引入傾斜角度，直接從光速不變原理導出了光行差公式.此例子思路明確，與常見案例聯系緊密，可作為光速不變原理教學中的擴展討論或課后練習使用.

值得一提的是，本文在推導時，為了展示此例子并不依賴于尺縮效應的例子，計算過程會略顯繁復.但是在正常教學過程中，通常是會介紹尺縮效應的例子的.而在有尺縮效應關系的基礎上，本例的推導過程可以得到一些簡化.