居家實驗：“揉紙團(tuán)”中的分形現(xiàn)象

羅 潔,錢 鈞

(南開大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

分形理論是上個世紀(jì)80年代興起的學(xué)科，它研究的對象往往是沒有特征長度卻具有自相似性的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[1-3].分形可分為“規(guī)則分形”和“無規(guī)分形”兩類，規(guī)則分形是按照一定規(guī)則構(gòu)造出的具有嚴(yán)格自相似性的分類[1,4,5],如科赫(Koch)曲線等；無規(guī)分形是在自然界和許多物理問題中產(chǎn)生的分形，如海岸線，云彩，湍流等等.1982年美國學(xué)者曼德布羅特(B.B.Mandelbort)出版了著名專著《自然界中的分形幾何》(The Fractal Geometry of Nature)，標(biāo)志著分形理論的初步形成.近年來，分形在物理學(xué)中的研究蓬勃發(fā)展，在相變、湍流、自組織、分形生長等領(lǐng)域都有相關(guān)的研究進(jìn)展[2].

紙團(tuán)是生活中常見的無規(guī)則分形結(jié)構(gòu)，在疫情期間，我校面向一、二年級本科生開設(shè)了學(xué)生居家物理實驗，其中“揉紙團(tuán)”實驗由于材料準(zhǔn)備簡單、動手測量相對容易，選做的同學(xué)較多.本文研究了“揉紙團(tuán)”實驗中的分形現(xiàn)象，引入內(nèi)部無規(guī)則紙團(tuán)中分形維數(shù)的定義，并通過實驗測量和討論了不同紙張硬度以及紙張層數(shù)等對紙團(tuán)分形維數(shù)的影響.

1 紙團(tuán)的分形維數(shù)

1.1 分形維數(shù)的定義

分形結(jié)構(gòu)具有自相似性，這里的自相似性是指：從不同的空間尺度來看，或者對局部和整體進(jìn)行放大或縮小后來看，結(jié)構(gòu)都是相似的.但是，表征這種自相似結(jié)構(gòu)的定量性質(zhì)如分形維數(shù)，并不會由于放大或者縮小等操作而變化，這一點(diǎn)被稱為“伸縮對稱性”，或者叫“標(biāo)度不變性”.自相似性和標(biāo)度不變性是分形的兩個重要特性.

在實際問題中，根據(jù)研究對象的不同，分形維數(shù)的定義方式有多種，往往并不是整數(shù).本文直接利用分形的自相似性來定義分形維數(shù)[1]：對于具有自相似結(jié)構(gòu)的對象，它的均勻分布的物質(zhì)質(zhì)量滿足如下齊次泛函方程：

M(bl)=bqM(l)

(1)

其中M(l)代表線度為l的對象的物質(zhì)質(zhì)量，M(bl)為增大b倍以后的物質(zhì)質(zhì)量，q就是分形維數(shù)，從物理意義上可以看作是質(zhì)量元(體積元)對于空間的“填充”程度. 這一方程存在唯一解：

M(l)∝lq

(2)

1.2 紙團(tuán)的分形維數(shù)

圖1 整張和1/2張A4紙揉成紙團(tuán)的中間剖面

M(d)=kdq

(3)

其中M(d)為紙團(tuán)質(zhì)量，d為紙團(tuán)線度，此處選擇用紙團(tuán)的直徑來表示，k為一常數(shù).q為紙團(tuán)的分形維度，從物理含義來說，q對應(yīng)紙團(tuán)質(zhì)量元(體積元)對空間的“填充”程度，紙團(tuán)內(nèi)部越緊湊，對空間“填充”程度越高，q值越大. 紙團(tuán)這一對象是介于面和體之間的，也就是它介于二維和三維之間的，假設(shè)極端情況，如果紙團(tuán)僅有表面一層且不存在皺褶，其結(jié)構(gòu)相當(dāng)于球殼，則q=2；如果紙團(tuán)填充非常緊密，則相當(dāng)于一個均勻球體，則q=3. 而實際中的紙團(tuán)分形維度q應(yīng)滿足

2

(4)

紙團(tuán)的分形維數(shù)q會隨著紙團(tuán)的緊湊程度不同而發(fā)生變化.

2 紙團(tuán)分形維數(shù)的測量和討論

對公式(3)兩邊同時取對數(shù)，可以得到

lg(M)=qlg(d)+qlg(k)

(5)

對lg(M)和lg(d)進(jìn)行線性擬合，得到的直線斜率就是該類型紙張的分形維數(shù)q.

圖3 70 g打印紙lg(M)-lg(d)擬合圖像

圖面積70 g打印紙揉成紙團(tuán)直徑的分布直方圖

圖4 不同材料紙團(tuán)的分形維數(shù)q值

在前面分形維數(shù)的定義中提到過，紙團(tuán)的結(jié)構(gòu)越緊湊，它對于空間的填充度越高，分形維數(shù)q越大. 而紙團(tuán)的緊湊程度實際上取決于它產(chǎn)生的皺褶的形狀，在一定的壓力下，紙張的硬度越高，它產(chǎn)生的皺褶就相對尖銳，導(dǎo)致紙團(tuán)結(jié)構(gòu)中縫隙更多，紙團(tuán)的緊湊度降低，分形維數(shù)也會隨之變小. 對于不同面密度(克數(shù))的紙張來說，紙張的面密度越大，硬度相對也越大，從而對應(yīng)紙團(tuán)的分形維數(shù)q變小. 而對于同樣克數(shù)的牛皮紙和打印紙來說，牛皮紙的硬度要更大一些，所以牛皮紙制成的紙團(tuán)分形維數(shù)要比打印紙小一些.

本文還研究了將不同層數(shù)的紙張疊放在一起，然后再揉成紙團(tuán)后的分形情況. 選取70 g打印紙，將兩層打印紙(五種不同尺寸下)重合疊放在一起，然后再揉成紙團(tuán)，測量它們的平均直徑和質(zhì)量，并擬合得到紙團(tuán)的分形維數(shù). 按同樣方法測量了3層打印紙重合疊放后再揉成紙團(tuán)的分形維數(shù). 測量數(shù)據(jù)如圖5所示，隨著紙張層數(shù)的增多，紙團(tuán)的分形維數(shù)是增大的.

將2層紙張疊放在一起再揉成紙團(tuán)，并不等效于將2倍面密度的紙張直接揉成紙團(tuán). 因為這兩層紙之間并沒有粘附力，從力學(xué)結(jié)構(gòu)上來說不能當(dāng)成一張紙，它們之間壓力傳遞仍然是由皺褶結(jié)構(gòu)承擔(dān)的. 而由于兩層紙重合疊放后，紙張之間的距離更小，由疊放后的紙揉成紙團(tuán)后，紙團(tuán)內(nèi)部形成的間隔要比單層紙張揉成的紙團(tuán)內(nèi)部間隔要小，紙團(tuán)結(jié)構(gòu)就會更加緊湊，導(dǎo)致紙團(tuán)的分形維數(shù)變大. 所以從圖5中可以看到，隨著層數(shù)的增加，紙團(tuán)的分形維數(shù)變大.

圖5 不同紙張層數(shù)揉成紙團(tuán)的分形維數(shù)q值

3 結(jié)論

本文研究了“捏紙團(tuán)”實驗中的分形現(xiàn)象. 引入了內(nèi)部無規(guī)則紙團(tuán)分形維數(shù)q的定義，紙團(tuán)的分形維數(shù)代表紙團(tuán)對于空間的填充程度. 通過實驗測量了普通打印紙的分形維數(shù)q在2～3之間. 本文還研究了紙張的硬度以及紙張層數(shù)等對于紙團(tuán)分形維數(shù)的影響. 實驗發(fā)現(xiàn)，隨著紙張的硬度增大，紙團(tuán)的空間填充度變小，分形維數(shù)隨之變小；隨著紙張層數(shù)的增多，導(dǎo)致紙團(tuán)的空間填充度變大，紙團(tuán)分形維數(shù)隨之變大. 本實驗作為居家實驗，簡單易行，便于學(xué)生完成. 通過對日常生活中常見的“紙團(tuán)”進(jìn)行實驗研究，有助于學(xué)生理解分形結(jié)構(gòu)的自相似性，標(biāo)度不變性以及分形維數(shù)等分形理論基本概念.