遞推歸納法在高中物理習題解答中的應用

汪 鵬

(華東師范大學教師教育學院,上海 200062)

遞推是指從已知條件出發,利用特定關系得出中間結論,不斷迭代,直到得出最終結果。歸納是從諸多個別的、特殊的事物中,根據一定的邏輯關系,推導出一般性的原理或結論。高中物理習題中有一類問題的解決需要綜合運用遞推歸納法,此類問題在動力學、動量、粒子偏轉等知識點的考查中頻繁出現，需要學生具有較高的物理和數學知識水平,較好地考查了學生綜合應用知識和方法的能力。

1 遞推歸納法的特點

遞推歸納法是在類重復的物理情境下,由物理問題所呈現的物理量之間的關系或潛在的物理條件,輔以數學方法來遞推歸納,得出物理量變化的通項式,從而歸納出物理量的變化規律，其主要特點如下:

(1) 問題解決的過程需要多次“類重復”的過程,即每一次重復過程均不是上一過程的簡單重復,雖有一定的變化,但依然遵循著某些規律；

(2) 解決問題時通過對類重復過程進行3次左右的演算,往往可找到特定的規律；

(3) 在解題技巧上與累加求和、等差、等比數列等數學知識緊密相連。

現以兩道習題作為例，說明遞推歸納法在高中物理習題解答中的應用。

2 案例分析

例1(2020年全國Ⅱ卷):水平冰面上有一固定的豎直擋板,滑冰運動員面對擋板靜止在冰面上,把一質量為4.0kg的靜止物塊以大小為5.0m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板,運動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞,速度反向,追上運動員時,運動員又把物塊推向擋板,使其再一次以大小為5.0m/s的速度與擋板彈性碰撞。總共經過8次這樣推物塊后,運動員退行速度的大小大于5.0m/s,反彈的物塊不能再追上運動員。不計冰面的摩擦力,該運動員的質量可能為( )。

A. 48kg B. 53kg C. 58kg D. 63kg

解析：試題要求經8次推物塊后,反彈的物塊不能再追上運動員。按照常規思路,需要8次計算才可以得出結果。此過程顯然相當復雜繁瑣，因為其涉及到類重復運動,可以考慮利用遞推歸納法求解問題,通過演算前3次過程,嘗試找到規律。

A. 第一次下落的時間與第二次下落的時間之比為5∶4

B. 第二次彈起的高度與第一次彈起時高度之比為4∶5

C. 小球運動的總時間為9s

D. 小球運動的總位移為55m

解析：小球做自由落體運動，與地面發生碰撞,再上彈至最高點,之后一直重復此過程,但小球上升的高度會逐漸減小,這是一個典型的類重復過程，故通過演算前3次的運動過程,可歸納出運動規律。

通過上述習題的解決過程,可歸納出此類問題的一般步驟:

(1) 通過對問題情境進行整體分析,把握物理量的特點或運動情況,從中分析出物理量自身的某種相似過程或運動中的相似階段,即找到類重復過程。在類重復過程中往往具有相同的某一物理量,如運動周期相同、末速度大小相等、位移大小相等。

(2) 通過對上述關鍵量的分析,并結合題設條件,遞推歸納出物理量變化的方式，如等差數列變化、等比數列變化、復合數列變化等，進而寫出通項式。

(3) 根據通項式,結合數學中的求和等技巧,問題就可以得到解決。

值得注意的是，歸納遞推方法是通過簡單過程的歸納而得到通項公式的，需要通過嚴格的數學歸納進行證明，其正確和科學性才能得到應有的保障。高中物理習題的設計都是命題人員經過理論模型分析后設計的，所以通常不需要進行這方面的證明，但這并不代表遞推歸納只是運用上述3步驟就能得到正確的結論。

3 結語

教師在教學中可從“類重復”的特點出發,引導學生挖掘物理量的變化規律,同時加強對學生常用數學技巧方面的訓練,則可以讓學生較為容易地理解和應用遞推歸納法,不僅可以加強學生對于物理概念的理解,更可以提高學生的抽象思維能力。