錨桿組合構件預應力傳遞效應的解析計算

蔣 威，瞿 浩，石 蒙，王東攀

（1.中國礦業大學（北京）資源與安全工程學院，北京 100083；2.天地科技股份有限公司 開采設計事業部，北京 100013；3.伊金霍洛旗呼氏煤炭有限責任公司 淖爾壕煤礦，內蒙古 鄂爾多斯 017200）

組合錨桿支護技術在我國大部分煤礦推廣應用，成為現代礦井首選的、安全高效的巷道支護方式[1-3]。常見組合構件有鋼帶和鋼梁，能夠顯著增加錨桿支護的適應性和支護效果[4-5]。近年來，為了適應深部、復雜條件開采巷道難支護的問題，在組合支護的基礎上，康紅普等學者提出了高預應力強力支護理論[6-9]，強調了預應力在巷道支護中的重要性，工程應用效果良好[10-12]。關于預應力的作用機理及其與錨桿組合構件的作用關系，國內學者進行了較多研究。李沖，徐金海等人采用理論分析、現場實測等研究方法，得到了錨桿桿體軸應力、剪應力與預緊力的關系以及桿體軸應力與剪應力的分布規律[13]；康紅普，吳擁政等人分析了組合構件在錨桿支護過程中的作用，使用有限元數值模擬計算了W鋼帶在預應力影響下的應力分布和變形特征[14]；對于預應力的分布特征，康紅普等人通過數值模擬對比分析了不同支護形式下錨桿預應力的應力場分布，得到了一些規律[15]。不過，在組合構件影響下，錨桿預應力在圍巖中的分布規律，國內研究較少。彈性地基梁理論在計算過程中同時考慮了梁和地基的變形，以其較高的計算精度，在工程領域中廣泛應用[16-18]。在預應力組合錨桿支護中，組合構件起到了地基梁的作用，預應力則通過組合構件傳遞到圍巖（地基）中[19-21]。所以，在計算預應力分布的問題中，彈性地基梁理論較為契合。為此，通過建立一般錨桿組合構件支護頂板的彈性地基梁模型，求解地基梁的撓曲方程，以得到預應力通過組合構件傳遞到圍巖中的理論分布，并分析其分布規律的影響因素，對于巷道支護構件選材、錨桿布置方式具有指導意義。

1 錨桿組合構件作用機理及其彈性地基梁模型

1.1 錨桿組合構件作用機理

在井巷施工中，通常在錨桿與圍巖之間布置鋼帶（平鋼帶、W鋼帶或M鋼帶），形成組合支護。鋼帶與圍巖接觸面積較大，可以將錨桿的預應力荷載分散的傳遞到圍巖，擴大錨桿作用范圍。此外，鋼帶可以將多根錨桿連接在一起，使其協同作用于圍巖，共同形成組合支護系統，提高支護系統的整體剛度與支護能力[22-23]。

1.2 錨桿組合構件的彈性地基梁模型

取矩形巷道中頂板的錨桿組合支護為例。為方便計算，錨桿組合構件選用平鋼帶，其上組合布置3個預應力錨桿，并忽略托板等構件的影響。假設頂板符合Winkler地基假設[24]（地基表面任一點的沉降與該點單位面積上所受壓力成正比），則彈性地基梁模型以頂板為地基，以鋼帶為彈性地基梁，3個預應力錨桿簡化為在彈性地基梁不同位置分別作用的3個集中力。頂板支護的彈性地基梁模型如圖1。

如圖1，以鋼帶一端為原點O，另一端為x軸正方向，預應力作用下的鋼帶經簡化后可以定性為兩端為自由端，受3個集中力p（分別與原點距離為a，b，c）作用的彈性地基梁。在集中力作用下，彈性地基梁（鋼帶）與地基（頂板）協同變形，結合Winkler地基假設，則頂板的地基反力pc與鋼帶的鉛垂位移（撓度）z（x）的關系為：

圖1 頂板支護的彈性地基梁模型Fig.1 Elastic foundation beam model of roof support

式中：kc為頂板的地基系數，即使頂板產生單位沉陷所需的壓強；bv為鋼帶的厚度。

頂板的地基反力pc的分布曲線，即為錨桿預應力經鋼帶傳遞后在頂板中的分布曲線。為得到該分布曲線的解析解，對圖1中的彈性地基梁模型展開計算。

2 模型的計算

2.1 地基梁類型劃分

考慮到梁的端部效應，根據地基梁特征長度L的不同，彈性地基梁可分為無限長梁、半無限長梁以及短梁，3種梁的劃分標準為如下：

1）無限長梁。荷載和兩端的距離都大于3L。

2）半無限長梁。荷載與一端的距離小于3L，與另一端的距離大于3L。

3）短梁。荷載與兩端的距離都小于3L。

為了提高計算效率，并保證計算結果的準確性，在計算開始之前，應根據特征長度L值以及荷載的位置，確定地基梁的類型，以決定能否忽略端部效應，從而選擇更合理的解析方法。

式中：E為鋼帶的彈性模量；I為鋼帶的慣性矩，I=wbv3/12；w為鋼帶的寬度。

鋼帶的材質一般為鑄鋼，鑄鋼彈性模量E為200 GPa左右，普通軟巖（煤）的地基系數kc為0.06×106～0.12×106，取鋼帶寬度w為250 mm，厚度bv為5 mm，則地基梁特征長度L的取值范圍為1.365～1.623 m，則3L=4.095～4.869 m。根據一般工程經驗，錨桿與鋼帶兩端的距離均小于3L。因此，鋼帶的計算屬于短梁問題，應考慮端部效應，采用初參數法進行計算。

2.2 地基梁的撓曲方程建立

初參數法即使用初始截面O的4個參數撓度z0、轉角θ0、彎矩M0、剪力Q0來表示梁的撓度方程。其優點是可以使積分常數具有明確的物理意義，且可以根據參數的物理意義尋求簡化的途徑。

當短梁上除地基反力外，僅受1個距端點為a的集中力p作用時，其撓曲方程為：

式中：β為此彈性地基梁的變形協調系數。

準1（βx）、準2（βx）、準3（βx）、準4（βx）為克雷洛夫函數[20]，表示如下：

式中：。

由疊加原理可知，當在距離原點為b和c 2處再加2個集中力時（圖1），僅需在式（3）再加入2個撓度修正項：

上2式分別為x>b和x>c時應加的修正項。

2.3 邊界條件及求解

在得到地基梁的一般方程后，應根據其邊界條件進一步確定4個初參數z0、θ0、M0、Q0的值。

由梁的兩端為自由端可得：

彎矩M和剪力Q的方程式可通過下式求得：

結合式（5）和式（7）即可得到彎矩M和剪力Q的方程式，再將式（6）代入其中即可求得4個初參數的值。省略計算過程，結果如下：

式中：準1*、準2*為中間轉換變量。

準1*=準1（β（l－a））＋準1（β（l－b））＋準1（β（l－c））

準2*=準2（β（l－a））＋準2（β（l－b））＋準2（β（l－c））

2.4 撓曲方程的演繹

由上面的計算過程可知，在其他參數不變的條件下，集中力的增加僅會造成撓曲方程中相應撓度修正項的增加以及準1*和準2*的改變。因此，假設鋼帶上有n個預應力錨桿，作用力均為p，錨桿的位置分別對應x1、x2、…、xn，此時鋼帶的彈性地基梁撓曲方程為：

式中：準n1*、準n2*為中間轉換變量。

準n1*=準1（β（l－x1））＋準1（β（l－x2））＋…＋準1（β（l－xn））

準n2*=準2（β（l－x1））＋準2（β（l－x2））＋…＋準2（β（l－xn））

3 頂板地基反力分布特征

3.1 地基反力影響因素

在確定鋼帶的撓曲方程之后，結合式（1）、式（4）和式（9），即可得到受n個不同位置集中力作用時地基反力的分布方程，亦即n個不同位置預應力錨桿作用在鋼帶上時，頂板的地基反力pc分布方程。

3.1.1 變形協調系數β

由式（10）可以看出，變形協調系數β是影響頂板地基反力分布的重要參數。而且，β可以表征鋼帶的抗彎剛度EI以及頂板的地基系數kc等參數對地基反力分布的影響，具有較大意義。

結合前文中的一般工程參數，由式（4）計算可得β的一般值約為0.7。為分析變形協調系數β對頂板受力分布特征的影響，分別計算β=0.7、1.4以及2.1時鋼帶中部受單根錨桿作用的頂板的地基反力pc1、pc2、pc3分布。計算結果為：

如此得到的不同變形協調系數條件下頂板的地基反力分布如圖2。

圖2 不同變形協調系數時頂板地基反力分布圖Fig.2 Distribution of the roof reaction force with different deformation coordination coefficients

由圖2可以得出，地基反力pc在預應力作用點（x=2）達到峰值，在作用點兩邊對稱分布且隨著遠離作用點逐漸減小。隨著變形協調系數β值的增大，地基反力的峰值逐漸增加，作用點兩邊地基反力的衰減幅度也相應增加。在鋼帶兩邊地基反力小于0表示鋼帶在中部受力的情況下，兩端翹起，脫離頂板。綜合來看，變形協調系數β值越小，地基反力分布越均勻。

結合式（4）來看，變形協調系數β與地基系數kc正相關，與鋼帶抗彎剛度EI負相關。巖層越軟（地基系數越小），預應力傳遞越均勻，故預應力錨桿在軟巖支護中更能發揮效力；提高鋼帶的抗彎剛度可以促進預應力均勻傳遞，加強支護效果。

3.1.2 端部效應

前文提到，鋼帶的計算屬于短梁問題。因此，鋼帶的端部效應，對地基反力的分布亦有較大影響。省略計算過程，單根錨桿作用在4 m長鋼帶時，隨著錨桿作用位置由鋼帶端部移向鋼帶中部，頂板的地基反力分布曲線如圖3。由如圖3可知，當錨桿預應力作用點x=100 mm時，在鋼帶近端端點引起的地基反力最大pcmax=1.32p，隨著靠近遠端，該預應力引起的地基反力不斷降低，在遠端端點引起的地基反力最小pcmin=-0.21p；隨著預應力作用點不斷內移，地基反力分布曲線逐漸由上凹變為下凹；當錨桿力作用在鋼帶中部x=2 000 mm時，地基反力在作用點兩邊對稱分布，最大地基反力為0.38p；此外，作用點約位于1 100 mm以內時，地基反力最大處均為近端端點處，這是端部效應的明顯特征。

圖3 地基反力的端部效應示意圖Fig.3 Schematic diagram of end effect of reaction force

3.1.3 疊加效應

由前文分析可知，不同作用位置的預應力對鋼帶的作用符合疊加原理，鋼帶上任一點所受的地基反力等于各錨桿在該點處引起的地基反力的疊加總和。由圖3可以看出，不同作用位置的預應力在鋼帶中部引起的地基反力數值適中且較為均勻，當端部效應不明顯時，相互疊加之下鋼帶中部地基反力總值會高于鋼帶兩端，此即疊加效應。

3.2 案例分析

根據疊加原理，錨桿預應力作用數目n值越大，則地基反力越大，支護效果越好，但是考慮到支護的經濟性，錨桿數目往往受到限制。因此，在一定數目的錨桿作用下，通過控制變形協調系數β和錨桿預應力的作用位置x，使錨桿預應力經由鋼帶更均勻的傳遞到頂板，從而提高支護效果，是本計算的目的所在。

從支護材料特性來看，可以通過提高鋼帶的抗彎剛度來降低變形協調系數β值（式4），從而使錨桿預應力更均勻擴散；從支護設計來看，則需要考慮地基反力的端部效應以及疊加效應來合理布置錨桿的作用位置x。為了更直觀的說明變形協調系數β、端部效應和疊加效應對頂板地基反力分布的影響，分別對3種錨桿布置方案的地基反力分布進行計算，并繪出不同特征參數條件下3種中心對稱支護方案的地基反力分布曲線。

方案1：鋼帶全長l=4 200 mm，6根錨桿，排距800 mm，兩端各留100 mm。

方案2：鋼帶全長l=4 200 mm，6根錨桿，排距700 mm，兩端各留350 mm。

方案3：鋼帶全長l=4 200 mm，6根錨桿，排距600 mm，兩端各留600 mm。

3種方案的地基反力分布曲線如圖4。

圖4 不同錨桿布置時頂板地基反力分布圖Fig.4 Distribution of roof reaction force with different bolts arrangement

1）錨桿布置方式相同時，變形協調系數β值越小，地基反力分布越均勻。

2）當錨桿布置靠近鋼帶端部時（方案1），會受到較大的端部效應影響，地基反力分布曲線明顯上凹，結合圖3可知，僅位于100 mm處的錨桿在端點處引起的地基反力（1.32p）就超過了6根錨桿在鋼帶中點引起的地基反力總和（1.27p）。

3）當錨桿布置靠近鋼帶中部時（方案3），端部效應已不明顯，此時疊加效應成為主導，在疊加影響之下中部地基反力偏大，曲線呈下凹狀。

4）方案2中端部效應和疊加效應對鋼帶的影響近乎達到了平衡，頂板的地基反力分布曲線近乎平直，故3個方案中方案2最優。

綜上，為提高支護效果，應使變形協調系數β越小越好。同時，錨桿布置時應同時考慮端部效應和疊加效應，均衡二者的關系，從而得到最優錨桿布置方案。

4 結語

1）建立了錨桿組合構件支護頂板的彈性地基梁模型，使用初參數法，求得了3根錨桿作用時地基梁的撓曲方程，經過演繹得出n根錨桿作用時鋼帶的撓曲方程，并進一步推得n根錨桿作用時頂板的地基反力分布方程。

2）變形協調系數β是影響錨桿預應力傳遞的重要參數，β值越小，則傳遞到頂板上的錨桿預應力越均勻。從圍巖特性來看，巖層越軟（地基系數kc越小），預應力傳遞越均勻，故預應力錨桿在軟巖支護中更能發揮效力；從支護材料特性來看，可以通過提高鋼帶的抗彎剛度來降低變形協調系數β值，從而提高支護效果。

3）選擇錨桿在鋼帶上的布置方式時應同時考慮地基反力分布的端部效應和疊加效應，端部效應影響下，鋼帶端部地基反力偏高，疊加效應影響下，鋼帶中部地基反力偏高，通過優化設計錨桿間距和邊距，可以均衡端部效應和疊加效應，從而得到最佳錨桿布置方案。