基于奇異值分解和均值聚類的單通道盲源分離算法研究

黃小青，肖 瑛，馬藝偉

(大連民族大學 信息與通信工程學院，遼寧 大連 116605)

盲源分離是一種在源信號和混合矩陣未知的情況下，僅根據觀測信號完成對源信號估計的一種技術，目前在地震信號處理、機械故障信號診斷、醫學信號處理、語音信號處理等領域具有廣泛的應用[1-2]。根據源信號和觀測信號的數目，可將盲源分離問題分為：超定、正定和欠定盲源分離三類。當接收傳感器小于源信號數目時，所得到的觀測信號數目小于源信號數目，則該類盲源分離稱為欠定盲源分離[3]，單通道信號盲源分離是欠定盲源分離的一個特例，也是盲源分離研究中的一個技術瓶頸問題。對于欠定盲源分離，目前主要的解決方法是結合數據分解技術的盲源分離和稀疏化盲源分離方法，結合數據分解技術如小波分解、經驗模態分解等，通過維數擴展補充觀測信號數目，使欠定盲源分離轉換為正定盲源分離，并在此基礎上利用獨立分量分析等傳統正定盲分離方法獲得分離結果[4]。結合數據分解的盲源分離方法缺點是在無法確知源信號數目的情況下，擴展維數也無法確定，同時，不同的分解方法得到的在維數擴展中的虛擬通道上的觀測信號質量有時會制約傳統正定分離方法的性能。稀疏化盲源分離是利用觀測信號的稀疏特征或觀測信號在變換域中的稀疏特征，采用兩步法進行源信號的估計[5]，即首先利用信號的稀疏特征對混合矩陣進行估計，對于欠定盲源分離，估計的混合矩陣的維數由觀測信號數目和源信號的數目共同決定，無法直接求逆得到分離矩陣，此時在所估計的混合矩陣基礎上利用線性規劃方法來逐步進行源信號的估計。稀疏化盲源分離結果受混合矩陣估計精度的影響，同時當觀測信號受到噪聲污染時，分離性能不佳。

信號的傳輸過程中不可避免受到傳輸環境噪聲的影響，為提高噪聲干擾下單通道盲源分離性能，提出一種基于SVD分解均值聚類盲源分離算法。即對單通道觀測信號進行SVD分解，利用中值準則對信號進行降噪處理，對保留的特征值分別進行分量恢復，將恢復的分量作為盲源分離觀測信號。為了估計單通道信號中所包含源信號數目，對SVD分解分量作STFT進行稀疏化處理，在時頻域中，根據各分量的散點圖判別源信號的數目。對各分量時頻域進行能量極小點剔除和單源點判定，利用K均值聚類方法估計混合矩陣，將估計的混合矩陣求逆即可得到對應的分離矩陣。算法將降噪、源信號數目判別和源信號恢復一并處理，適用于大多實際工程應用場合，計算機仿真結果證明了算法的有效性。

1 欠定盲源分離

盲源分離的簡化數學模型可以表示為

X(t)=AS(t)。

(1)

1.1 SVD分解

考慮實際工程中傳感器采集的觀測信號一般會受噪聲干擾，在正定盲源分離的約束條件中，噪聲可以被看作為一路源信號，并且在多路源信號中，最多只能有一路滿足高斯分布的噪聲，否則會降低源信號的分離性能，甚至導致分離方法失效。對于含有噪聲的單通道觀測信號，降噪是實現盲源分離的重要預處理工作。SVD降噪是利用信號與噪聲的奇異值不同[6]，在奇異值分解后，可采用中值或者均值準則使對應于噪聲分量的奇異值為零，然后重構原信號達到降噪的目的。對于給定的階數為M×N的矩陣C，設有兩個酉矩陣U∈RM×M和V∈RN×N，并且酉矩陣U和V同時滿足UUT=I，VVT=I，并設

Λ=[diag{λ1,λ2,…,λp}]，

(2)

其中p=min(N,M)，使得式(3)成立，

A=UΛVT。

(3)

那么U和V則分別是M×M和N×N的正交矩陣，式(2)中Λ的對角元素稱為奇異值，并且按照降序排列。因為Λ為對角矩陣，因此SVD可以將一個秩為K的M×N階矩陣C表示成為K個秩為1的M×N階子矩陣的和，每個子矩陣由兩個特征向量和一個權值相乘得到，

(4)

式中：矢量ui和vi分別為矩陣U和V的第i列向量；λi是矩陣C的按降序排列的第i個奇異值。因此一個矩陣經過SVD分解，就成為一系列子矩陣Ci和相應的奇異值λi的乘積。SVD分解的實質是將矩陣投影到一系列不相關的子空間中，如果存在噪聲，那么矩陣C經SVD分解得到的奇異值都不為零，即Λ為一個滿秩的對角矩陣。對于單通道信號利用SVD分解，首先要對單通道信號進行相空間重構，即利用滑動窗對數據進行截斷，構建Hankel矩陣，假設離散單通道觀測信號為X(n)=[x(1),x(2),…,x(n)]，那么該離散信號的Hankel矩陣可以表示為

(5)

如果觀測信號中存在噪聲或者突發的干擾信息，那么Hankel矩陣可以寫為

C=Cm+W。

(6)

式中：m=N-n+1；矩陣W可以看作是對矩陣C的一個擾動，對應了信號中的噪聲部分；相對的Cm是信號的平滑部分在重構相空間的中的軌跡矩陣。根據奇異值對應信號和噪聲的特點，利用SVD分解可以近似的獲得Cm，即保留平滑信息對應的奇異值，將其他奇異值置零并利用式(4)重構原信號的方法實現降噪。如果在降噪的基礎上，僅根據指定的奇異值利用SVD逆過程重構就可以得到SVD分解對應的不同分量，這些分量累加得到的信號就是降噪后的信號。利用SVD分解對應的分量作為觀測信號，可以進行進一步的盲源分離工作。

1.2 混合矩陣估計

利用SVD分解得到的分量作為多路觀測信號，實現了維數擴展，但是在未知源信號數目的情況下，仍然無法利用傳統的獨立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)方法進行盲源分離?？紤]式(1)模型中，如果源信號具有稀疏特征，即在大多數特定采樣時刻，僅有一個源信號占優，而其他源信號在當前時刻可以近似為0。假設在采樣時刻t占優的為第j個源信號sj(t)，那么滿足系數特征的采樣時刻式(1)可以寫為

(7)

(8)

式(8)為一直線方程，該直線的方向與混合矩陣第j列向量方向相同，由此可知，如果源信號具有稀疏特征，那么觀測信號則具有線性聚類特征[7]。

如果時域中源信號不滿足稀疏特征，可以將時域信號轉換到變換域獲得滿足稀疏特征后進行處理，常用的變換方法包括小波變換、傅立葉變換和時頻變換。三個中心頻率不同的正弦信號混合后選取其中兩個觀測信號的散點圖如圖1?？梢钥闯鲈跁r域中散點圖并不具有直線特征。文中采用STFT增強觀測信號的稀疏性，根據式(1)得到對應的時頻域盲源分離模型表示為

X(τ,f)=AS(τ,f)。

(9)

其中X(τ,f)和S(τ,f)分別對應時域觀測信號X(t)和源信號S(t)的時頻域表示。在時頻域得到的觀測信號的散點圖如圖2?？梢钥闯鰰r頻域中源信號呈現典型的直線聚類特征。此外，根據時頻域中的直線方向角數目可以判別出源信號的數目為3。

圖1 時域觀測信號散點圖

圖2 時頻域中觀測信號散點圖

1.3 單通道盲源分離算法

由SVD和K-means均值聚類方法，這里給出一種單通道盲源分離算法。首先將單通道觀測信號進行相空間重構，利用SVD分解，根據均值準則進行降噪處理，即

(10)

對于保留的奇異值λi分別根據SVD逆過程重構對應的分量，即

(11)

(12)

利用M1剔除能量極小值，

(13)

(14)

式(14)可以直接由式(8)推導得到，可見如果時頻點(τi,fi)為單源點，那么對應在該時頻點上的任意兩個不同觀測信號的比值為實數。但是實際中由于STFT變換中加窗的能量泄露以及噪聲干擾等因素，這一比值嚴格為實數的概率很小，僅需要其虛部足夠小即可，設

(15)

(16)

其中ξ為設定的較小的判決閾值，則單源點則可以根據M2與相應觀測信號的時頻表示點乘來獲得。

(17)

完成能量極小點剔除和單源點檢測可以在時頻平面內去除影響聚類精度的大量無用樣本數據，使得觀測信號的線性聚類特征更為明顯。

對完成預處理后的觀測信號進行K-Means聚類，得到估計混合矩陣，并利用矩陣求逆獲得分離矩陣，以觀測信號和分離矩陣相乘獲得源信號的估計。

2 仿真實驗

仿真中利用正弦信號與方波信號和一路高斯噪聲信號模擬源信號，其中采樣頻率為1024 Hz，正弦信號和方波信號的中心頻率分別為15 Hz和5 Hz，混合矩陣為

(18)

觀測信號的波形如圖3。

a)觀測信號1

b)觀測信號2

c)觀測信號3

以第一路觀測信號模擬單通道混合信號，并對其進行SVD分解，在SVD分解結果中利用均值準則去除噪聲分量，并保留前兩個奇異值分別重構分解分量作為新的觀測信號。SVD分解得到的奇異值如圖4，采用均值準則進行降噪處理則只保留前兩個奇異值，分別以前兩個奇異值進行分量重構，對兩個分量進行STFT變換，并進行能量極小值剔除和單源點檢測后繪制的散點圖如圖5，由圖5可確定源的數目為2。進行K-Means均值聚類估計混合矩陣，并以混合矩陣的逆求得分

離矩陣，利用SVD重構的兩個分量乘以分離矩陣得到源信號的估計結果如圖6。從圖6中可以看出，方波信號和正弦信號得到了有效分離。

圖4 SVD分解奇異值 圖5 預處理后散點圖

a)分離信號1

b)分離信號2

3 結 語

文中提出了一種基于SVD分解和K-Means聚類的單通道盲源分離算法，將SVD降噪與K-Means聚類估計混合矩陣進行了結合，在利用SVD降噪的同時，分別以保留的不同奇異值構建分量作為觀測信號，實現了觀測信號的維度擴展。利用STFT對信號進行稀疏化處理，在時頻域中通過能量極小值剔除和單源點檢測后的觀測分量散點圖估計源信號數目。利用K-Means均值聚類在觀測信號時頻域基礎上獲得混合矩陣的估計，得到源信號的恢復。算法在對工程上具有噪聲干擾條件下的單通道信號處理中具有實際應用價值。