半干旱環(huán)境下植被-沙模型的斑圖動力學

曹佳會，李 莉

(山西大學 a.復雜系統(tǒng)研究所; b.計算機與信息技術學院， 太原 030000)

1 研究現(xiàn)狀

近幾十年來，我國干旱半干旱地區(qū)荒漠化現(xiàn)象越來越嚴重，保護植被系統(tǒng)刻不容緩。植被由于具有固沙、固碳、固水和釋放氧氣等多種生態(tài)功能而被譽為“生態(tài)系統(tǒng)工程師”[1]。植被的生長狀況和覆蓋率會受自然環(huán)境條件或人類活動的影響，如水、光照、降雨、風速、放牧等[2-4]。這些因素相互作用或單獨作用將導致不同的現(xiàn)象。因此，關注這一主題將有助于更好地理解植被系統(tǒng)的發(fā)展演化規(guī)律。在空間或時間上具有某種規(guī)律性的非均勻宏觀植被結(jié)構(gòu)稱為植被斑圖[5]。特殊的植被斑圖結(jié)構(gòu)(如點狀斑圖)已經(jīng)成為荒漠化預警的一個重要指標，因此明確植被斑圖如何產(chǎn)生及其相變規(guī)律將為荒漠化的防治提供理論依據(jù)。

Klausmeier[6]于1999年首次提出了植被與土壤水相互作用的動力學模型，包括植被生物量和土壤水密度，并發(fā)現(xiàn)圖靈失穩(wěn)導致規(guī)則植被斑圖結(jié)構(gòu)產(chǎn)生，而微小的小尺度地形的變化可能會引起不規(guī)則植被斑圖結(jié)構(gòu)出現(xiàn)。Rietkerk等[1]在Klausmeier模型中引入地表水，建立了包含植被、地表水和土壤水的三變量植被模型，并指出半干旱地區(qū)植被斑圖結(jié)構(gòu)的形成主要取決于植被密度和地表水滲透之間存在的正反饋以及徑流水在空間上的重新分配機制。

Meron等[7]建立了考慮水資源有限的植被模型，發(fā)現(xiàn)隨著降雨量的增加，植被的空間分布結(jié)構(gòu)經(jīng)歷了裸露的土地、點狀、條狀、間隙狀等中間態(tài)，當降水量比較高時形成了均勻植被結(jié)構(gòu)。隨后，植被斑圖形成的內(nèi)在機制受到越來越多學者的關注[8-10]，許多重要的數(shù)學模型被提出，用來解釋自然界中廣泛存在的各種植被斑圖現(xiàn)象[11-14]。鑒于水資源在植被的生長和定植中起著重要作用，目前大部分的植被模型僅考慮水的影響。

事實上，其他因素也會影響植被斑圖結(jié)構(gòu)的形成機制，例如風、地形(坡度)、動物棲息等[12，15-18]。一些研究者發(fā)現(xiàn)，在干旱和半干旱的多風沙地區(qū)觀察到垂直于主導風方向的帶狀植被斑圖，如毛里塔尼亞、澳大利亞和馬里等地區(qū)[16-18]。不同于無風條件下的植被，當風作為驅(qū)動力時，植被的生長會受到沙粒運動的劇烈影響。具體而言，即風沙的輸移和沙丘會入侵植被區(qū)域，從而影響植被的生長。White等[19-20]認為風可能是帶狀斑圖出現(xiàn)的驅(qū)動因素，而且孤立植被周圍風吹物質(zhì)的積累可能是植被帶外擴的核心。Zhang等[21]基于反應擴散對流方程建立了一個植被-沙動力學模型，其中盛行風和非盛行風分別通過對流項和擴散項刻畫，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)在不考慮盛行風的情況下形成了迷宮狀植被斑圖，而在考慮盛行風的情況下最終形成的帶狀植被斑圖垂直于盛行風的方向，這一結(jié)果揭示了澳大利亞西部皮爾巴拉中部地區(qū)迷宮和帶狀植被斑圖的產(chǎn)生機制。Zhang等[22]的模型考慮了植被對沙的聚集效應會隨著植被生物量的的增加而減少，直到植被生物量達到確定值，聚集效應將達到最低。事實上，在一些多風沙的地區(qū)，植被對沙的聚集效應會隨著植被生物量的增加而增加，因此，在本文中主要考慮一種線性作用項的聚集效應機制，從多種形式的植被-沙模型方面更清楚地理解植被與沙的相互作用機制，進一步從理論的角度尋找植被斑圖產(chǎn)生的內(nèi)在機制。

2 數(shù)學模型

基于Zhang等[22]提出的包含植被生物量(V)和沙丘高度(S)的植被-沙模型：

(1)

不同于Zhang等[22]考慮的植被對沙的聚集效應會隨著植被生物量的增加而減少且植被生物量到達一定程度時會降到最低，這里考慮一種線性作用項的聚集效應機制，對應的模型(1)改進為：

(2)

為便于分析上述模型的動力學行為，通過對上述系統(tǒng)進行無量綱化處理，得到如下的系統(tǒng)：

(3)

這里，

3 穩(wěn)態(tài)的存在性和穩(wěn)定性分析

首先，系統(tǒng)(3)對應的常微分系統(tǒng)為：

(4)

定義：

通過求解F(s，v)=0和G(s，v)=0，可以得到系統(tǒng)(3)存在如下平衡點：① 當v=0時，s=1時，系統(tǒng)(3)總是存在1個裸沙態(tài)平衡點E0=(1，0)；② 當v≠0 時，可以推導出1個關于變量v的一元二次方程：

(5)

令

顯然，系統(tǒng)(3)的平衡點個數(shù)取決于上述恒等式中各參數(shù)之間的關系。由參數(shù)的生物學意義可知b1=-ch/vm<0，進一步分為以下幾種情形討論：

1) 當參數(shù)滿足條件

時，式(5)有2個正根：

因此，有s11=1+v11，s12=1+v12。可以得到系統(tǒng)(3)有2個均勻植被平衡點E11=(s11，v11)，E12=(s12，v12)。

2) 當參數(shù)滿足條件

時，式(5)具有唯一的正根：v2=-b2/2b1，同時s2=1+v2。因此，系統(tǒng)(3)具有平衡點E2=(s2，v2)。

3) 當參數(shù)滿足條件

時，則式(5)不具有任何實根，表明系統(tǒng)(3)不存在平衡點。

為了討論上述平衡點的穩(wěn)定性，對系統(tǒng)(3)在平衡點E*=(s*，v*)附近進行線性化：

(6)

其中：

于是得雅可比矩陣：

綜上所述，護理臨床帶教中實施分層次教學目標管理，應用價值較高，可有效提供帶教效果，為實習生日后工作奠定良好基礎，利于醫(yī)療事業(yè)良性發(fā)展。

特征方程為：

對于裸沙態(tài)平衡點E0=(1，0)，可以得到：

λ2+(1-h+p)λ+p-h=0

當h

結(jié)合平衡點的生物學意義，應關注均勻植被平衡點E2。對于均勻植被平衡點E2，需討論它的局部漸近穩(wěn)定性。如果有以下條件

(7)

成立，對于系統(tǒng)(3)，通過線性穩(wěn)定性分析，可知平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的。

4 圖靈不穩(wěn)定性

4.1 線性穩(wěn)定性分析

c.c.+o(ε2)

(8)

把式(8)代入線性化系統(tǒng)(6)，得到如下特征方程：

(9)

化簡得到：

λ2-trkλ+Δk=0

(10)

其中：

trk=a11+a22-(a1+a2)ki-(1+d)k2=

tr0-(a1+a2)ki-(1+d)k2

Δk=a11a22-a12a21-

(a11d+a22+a1a2)k2+dk4+(

a2k3+a1dk3-a22a1k-a11a2k)

通過分析，可得到特征值

(11)

這里，

φ=(a11-a22-(1-d)k2)2-

(a1-a2)2k2+4a12a21)

ψ=-2(a11+a22)(a1+a2)k+

(1+d)(a1+a2)k3-4(a2k3-

a1dk3-a22a1k)

通過將特征值的實部與虛部分離，得到λk的實部和虛部分別為：

(12)

(13)

其中j=±1。

因此得到圖靈斑圖存在的條件為：沒有擴散時滿足

(14)

可使得特征值都具有負實部，即常微分系統(tǒng)(4)的均勻植被平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定；當加入擴散后滿足

(15)

則存在一些k使特征值實部大于0，即擴散系統(tǒng)(3)的均勻植被平衡點E2變得不穩(wěn)定。因此，當同時滿足條件(14)與(15)時，系統(tǒng)發(fā)生圖靈不穩(wěn)定性，進而產(chǎn)生圖靈斑圖。

4.2 對流誘導圖靈不穩(wěn)定性

根據(jù)式(12)，圖1展示了特征方程(10)的特征值實部與對流率a1的色散關系。顯然，特征值的實部可以表示為波數(shù)k的函數(shù)。黑色曲線表示系統(tǒng)無對流項時特征值實部與波數(shù)之間的關系，并且隨著波數(shù)的變化實部均小于零，表明平衡點E*=(s*，v*)是局部漸進穩(wěn)定的。然而，當固定a2=0.01并使a1逐漸增大時，從3條不同的曲線(綠色、藍色和紅色)可以看出：隨著沙的對流率a1增大，對應特征值實部由負變?yōu)檎砻髁似胶恻cE*=(s*，v*)由穩(wěn)定變得不穩(wěn)定，進一步說明系統(tǒng)(3)出現(xiàn)了Turing失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖1 特征方程(10)中特征值實部關于對流率a1的色散關系(h=2.6，vm=15，p=3.83，c=2.97)

5 數(shù)值結(jié)果

對系統(tǒng)(3)展開數(shù)值模擬分析。取參數(shù)a1=0，a2=0(其他參數(shù)詳見表1)，也就是說，主要模擬系統(tǒng)(3)無對流項時的斑圖現(xiàn)象。

表1 植被-沙(V-S)模型中的參數(shù)含義及取值

在模擬過程中，設置邊界條件為Neumann型，選取200×200的空間格子，空間步長為dx=1，時間步長為dt=0.001，沙與植被的初始分布如下：

其中ξi(i=1，2)是微小的隨機擾動項。采用向前差分格式對系統(tǒng)(3)進行數(shù)值模擬，直到斑圖結(jié)構(gòu)不再發(fā)生改變，模擬結(jié)束。

5.1 擴散誘導的斑圖

當選擇參數(shù)h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01時，沙和植被隨時間在空間上的分布演化過程如圖2、3所示。

圖2 沙在不同時刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(其中h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

圖3 植被在不同時刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(選取h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

圖2展示了沙最終在空間上形成不規(guī)則斑紋，且由低體積和高體積沙構(gòu)成。如圖3所示，可觀察到植被具有與沙類似的空間演變規(guī)律。在階段性演化過程中，通過比較植被與沙的斑圖結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)植被密度與沙密度呈正相關。也就是說，如果沙的密度大，植被生物量就會高，這是因為沙是植被生長所需要的基本物質(zhì)，為植被生長提供所必需的營養(yǎng)和水分。因此，對于相同的沙，體積越大，植物吸收營養(yǎng)的機會越大，植被生物量也會相應增加。

進一步研究植被的內(nèi)稟增長率h對于植被斑圖的影響。接下來，給出不同參數(shù)h值對應的植被斑圖結(jié)構(gòu)。從圖4中觀察到：當h從2.56增加到2.8時，即從圖4(a)～(c)，藍色區(qū)域變小，說明植被平均密度逐漸增大，植被趨于均勻分布。這表明在其他環(huán)境條件相同的情況下，植被的內(nèi)稟增長率越大，植物生長速度越快，相應的植被密度越大。

圖4 不同h值下植被斑圖結(jié)構(gòu)圖(其他參數(shù)取值為：vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01)

5.2 對流誘導的斑圖

通過對比5.1節(jié)的模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當加入對流項后，植被和沙的斑圖結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯變化，由原來的不規(guī)則斑紋(圖2與圖3)轉(zhuǎn)變成規(guī)則的條狀斑圖(圖5與圖6)。也就是說，對流是誘導斑圖相變的一個主要機制，這對于明確植被斑圖產(chǎn)生機制以及斑圖如何發(fā)生相變非常必要。植被斑圖相變可能會導致荒漠化的出現(xiàn)[22]，因此本文中發(fā)現(xiàn)的沙的對流率可能是植被斑圖產(chǎn)生的另外一種機制。

圖5 加入對流后，沙在不同時刻的斑圖結(jié)構(gòu)演化圖(參數(shù)選擇為：h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01，a1=10和a2=0.01)

圖6 加入對流后，植被在不同時刻斑圖結(jié)構(gòu)的演化圖(參數(shù)選擇為：h=2.56，vm=4，p=3.83，c=2.97，d=0.01，a1=10和a2=0.01)

6 結(jié)論

1) 通過數(shù)值模擬展示了擴散誘導植被和沙最終形成不規(guī)則斑紋，然而沙的對流引起植被和沙最終形成條狀斑圖結(jié)構(gòu)，表明在沙漠地區(qū)盛行風更利于植被形成規(guī)則的空間分布結(jié)構(gòu)。

2) 增加植被的內(nèi)稟增長率有助于植被最終形成空間均勻的分布結(jié)構(gòu)，在現(xiàn)實世界中，如果可以采取一些措施來保護植被，例如，避免過度放牧、隨意伐木，植被整體密度會更高。

3) 荒漠化正變得越來越嚴重，更好地保護環(huán)境將有利于植被多樣性和沙化土壤穩(wěn)定性的保持，研究植被-沙模型非常必要且具有現(xiàn)實意義。