基于量子遺傳算法的回焊爐參數設定

陳恒宇，丁唯一，殷寰宇，沈世云

(重慶郵電大學 a.通信與信息工程學院；b.理學院， 重慶 400065)

隨著電子信息產業的迅猛發展，表面貼裝工藝(SMT)的質量和效率日益提高。傳統的PCB加工工藝已經不能適應高質量、高效率的生產，越來越精密的元器件材料對原有的SMT技術提出了嚴峻的挑戰。回流焊工藝是SMT生產線的核心環節，它通過改變溫區的溫度和傳送帶速度有效防止焊接缺陷或損壞等問題，提高了焊接質量，降低了生產成本。由于回焊爐種類和品牌、加熱方式不同，需要對實際工程的回流焊爐溫曲線進行測量，以便通過算法得到合適的回焊爐參數，優化和控制爐溫曲線，從而提高產品質量和生產效率。解決這類問題需要分析回焊爐與焊接區域的熱量交換過程，綜合考慮各種傳熱方式和邊界條件，建立回焊爐內的熱傳遞模型。

目前，已有國內外學者對回流焊爐溫曲線及回焊爐參數的優化進行了探討。李楠等[1]通過進行回歸分析和微分方程擬合爐溫曲線，得出爐溫曲線超過制程界限的時間，但未具體研究電路板通過回焊爐的過程。王明泉等[2]建立了一維偏微分方程熱傳導模型，通過有限差分求解爐溫曲線。湯宗健等[3]通過實測數據，記錄回流焊溫度曲線，并基于回流焊爐爐溫監控的爐溫管控分析，計算回焊爐的制程能力，得出在獲取可靠的爐溫曲線后，只需要加強爐溫監控即可保證焊接質量的結論。席晨馨[4]通過微分方程模型和模擬退火算法，以陰影面積為目標函數，得到最優爐溫曲線。宋會良[5]通過研究在SMT制造工藝中影響回流焊接質量的主要因素，得出比較貼切的參數值，并針對性地提出工藝方法改善方向。

本文基于現有研究，從回流焊過程的實際情況出發，建立非穩態熱傳遞偏微分方程模型與爐溫曲線模型，同時考慮各類約束條件，以爐溫曲線的覆蓋面積和對稱性為目標函數，建立爐溫曲線參數優化模型，基于量子遺傳算法對模型進行求解，并研究不同算法的求解效率及對結果的影響。

1 爐溫曲線優化模型

回焊爐系統的基本組成如圖1所示，它由預熱區、恒溫區、回流區和冷卻區4大溫區組成，每個溫區中又包含數量不同的長度為30.5 cm、間隙距離為5 cm的小溫區，電路板兩側搭在傳送帶上均勻進入爐內進行加熱焊接。

在建立坐標系之前，首先需要判斷焊接區域在厚度上是否有顯著的溫度變化。畢渥數Bi表征固體內部熱阻與外部熱阻的比值，當其顯著小于1時，可以說明固體內部的溫度梯度很小，可以忽略內部溫度的變化。對于厚度為d，傳熱系數為H，兩側受熱時導熱系數為λ的均勻電路板，其畢渥數Bi的計算公式為[6]：

(1)

本文討論的電路板焊接區域厚度d=0.15 mm，典型的對流回流過程中的平均傳熱系數H=50 W/m2，因此畢渥數的大小僅取決于導熱系數λ。通過查閱文獻[7]，電路板通常由銅箔、FR4和BGA這3種材料組成，各材料的導熱系數λ見表1。

表1 銅箔、FR4和BGA材料的導熱系數

當材料為FR4時，導熱系數最小，對應求得的畢渥數最大，Bi=0.012 9<<1。這說明在焊接區域厚度方向基本不存在溫度梯度，因此對焊接區域建立熱傳遞模型時可以忽略厚度的影響，只需考慮回焊爐在傳送帶運動方向的溫度變化，建立一維熱傳遞模型和如圖1所示坐標系。圖中，藍色方塊表示小溫區，紫色小矩形表示溫區之間的間隙，坐標原點對應著回焊爐爐前區域的起點，x軸正方向為傳送帶的速度方向。

圖1 回焊爐系統構成

在實際生產過程中，可以通過調節各溫區的設定溫度以及傳送帶的過爐速度，即回焊爐的工藝參數來控制產品質量，調節過程中，小溫區1～5、8～9的溫度分別保持一致，小溫區10～11保持25 ℃。

由溫度傳感器測出的電路板焊接區域中心的實時溫度曲線稱為爐溫曲線，在回焊爐電路板焊接過程中，爐溫曲線需要滿足表2所示的制程界限，各溫區與傳送帶速度也需要滿足表3中的調節范圍。

表2 制程界限

表3 調節范圍

在建立模型的過程中，本文假設溫度傳感器測量位置為焊接區域表面中心，忽略了測溫區域的寬度與厚度，且認為溫度相同的小溫區之間間隙溫度與相鄰溫區相同。基于上述假設以及熱傳遞方程[8-9]，可以建立回焊爐內的熱傳遞模型。

1.1 非穩態熱傳遞模型

回焊爐啟動后，爐內空氣溫度經過一段時間達到穩定，之后方可進行焊接工作。在穩定前，由于各溫區溫度設置不同，爐內冷熱空氣之間會發生熱量交換。因此，需要對爐內空氣的傳熱方式進行機理分析，建立一維非穩態傳熱模型，對穩定時回焊爐的溫度分布進行求解。

對于爐前區域(區域1)和相鄰溫區溫度不同的間隙(區域3、5、7、9)，在整個區域內溫度達到穩定之前，空氣之間的熱量交換形式為熱傳導，由此可以得到各區域中熱傳導的偏微分控制方程：

(2)

其中，Ti表示圖1中第i個溫區的溫度，c、ρ和λ分別表示爐內空氣的比熱容、密度和導熱系數，其取值如表4所示。

表4 空氣比熱容、密度和導熱系數的取值

回焊爐剛啟動時為零時刻(t=0)，假設此時區域1、3、5、7、9內空氣的溫度與其左側相鄰區域中的溫度相同，可以得到各區域熱傳遞方程的初始條件：

(3)

在回焊爐內各區域的交界處，空氣會與爐壁之間發生對流傳熱，吸收或釋放熱量，且該過程符合牛頓冷卻定律。對于爐前區域來說，其左邊界與回焊爐壁(25 ℃)發生熱對流，右邊界與溫區1(175 ℃)發生熱對流，因此可以得到爐前區域的邊界條件：

(4)

其中，hc為爐內空氣的對流交換系數，其取值范圍通常為1～10 W/m2·℃[10]，本文在計算時取hc=8。

對于區域3、5、7、9來說，其左邊界與左側相鄰小溫區的爐壁發生熱對流，右邊界與右側相鄰小溫區的爐壁發生熱對流，因此采用同樣的計算公式可以得到間隙的邊界條件：

i=3，5，7，9

(5)

1.2 爐溫曲線模型

電路板在小溫區中主要通過熱對流和熱輻射的方式獲得熱量，為了簡化模型，參照文獻[11]將輻射傳熱轉化為對流傳熱進行計算。當焊接區域處于第i個小溫區內，其溫度變化方程為

(6)

其中，i=1，2，…，11，Tb(t)表示t時刻焊接區域中心的溫度；x為焊接區域中心的坐標，Ts(x)表示x處回焊爐的溫度；αi和表示第i個小溫區內與熱對流和熱輻射相關的系數。

當電路板處于爐前區域、第i個與第i+1個小溫區之間的間隙或爐后區域時，受到熱對流的影響，其溫度變化方程為

(7)

式中，γ0和γ11分別表示爐前和爐后區域內與熱對流相關的系數；γi(i=1，2，…，10)表示第i個與第i+1個小溫區之間間隙內與熱對流相關的系數。

1.3 爐溫曲線優化模型

理想的爐溫曲線應使超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小，且以峰值溫度為中心線的兩側超過217 ℃的爐溫曲線盡量對稱，因此需要通過調整回焊爐各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，對爐溫曲線進行優化。

對于覆蓋面積S，可以通過積分求得

(8)

對于對稱程度f，本文將峰值兩側超過217 ℃對稱位置的平均溫度之差作為其衡量指標，f越小表示每對位置的平均溫度之差越小，爐溫曲線的對稱程度越高。即

(9)

式(9)中，t3和t4分別表示焊接區域中心溫度上升和下降過程中最接近且大于217 ℃的對應時刻；t5為爐溫曲線峰值對應的時刻。

由于焊接區域中心溫度的變化為時間t的隱函數，所以只能使用數值積分的方法求出面積的近似值，當采用梯形公式進行計算時，覆蓋面積可表示為

Tb(t3+2Δt)+…+Tb(t3+nΔt)+

(10)

調整回焊爐系統參數可以改變爐溫曲線，進而影響覆蓋面積和對稱程度，所以S與f是系統參數的函數，即

(11)

因此，優化模型的目標為

(12)

如果將雙目標優化轉化為2個單目標優化模型并求解，發現2種情況下的最優解之間有著較大的差距，導致2個目標無法同時達到最優，需要綜合考慮模型的2個優化目標，具體的改進方法為：假設在爐溫曲線優化的過程中，應當優先滿足對稱程度最高的要求，覆蓋面積只需要滿足小于上界值St即可，由此可以將覆蓋面積最小的優化目標轉化為一個約束條件，實際操作時只需要根據工程要求調整上界值即可。

工藝窗口指數PWI是由KIC提出的一個能快速判斷溫度曲線合格性的工具。在一條溫度曲線中，全部制程界限對應的參數都能各自生成一個PWI值，用來表示實際曲線參數與理想參數之間的偏移程度，參數的PWI中最大的用來表征曲線的PWI值，即

(13)

其中，n=5表示爐溫曲線制程界限的5種類型，mi為當前爐溫曲線對應的第i個制程界限參數的值，ai和ri分別為第i個參數上下限的平均值與區間長度，其取值參照表2。PWI≤100表示爐溫曲線符合工藝規格。

綜合考慮覆蓋面積與對稱程度2個優化目標，以及工藝窗口指數和系統參數調節范圍，可以建立如下優化模型：

(14)

2 回焊爐熱傳遞模型的求解

2.1 回焊爐內的溫度分布

本文采用有限差分法將1.1中的偏微分方程轉化為差分方程的形式，對回焊爐內的溫度分布進行求解。首先將方程進行如圖2所示的離散化處理。

圖2 有限差分法的網格劃分

網格中的每個結點都為差分方程中的一個離散點，Δx=0.2 cm和Δt=0.05 s分別表示位置x方向和時間t方向的步長，j和k分別表示離散點在x軸和t軸上的坐標。用(j，k)簡化(xj，tk)，則Ti(j，k)=Ti(xj，tk)。將一階偏導用一階向后差商近似，二階偏導用二階中心差商近似，可將式(2)轉化為

(15)

設各區域分界線坐標xi(i=0，1，…，11)在有限差分過程中對應的j的取值為mi(i=0，1，…，11)。對于爐前區域與區域3、5、7、9，左邊界的邊界條件的一階偏導用一階向前差商近似，右邊界的邊界條件的一階偏導用一階向后差商近似，得到邊界條件的差分方程組

(16)

其中，i=1，3，5，7，9，T0=25 ℃。

以時間間隔Δt為步長不斷迭代，得到每個時間層上回焊爐內不同位置空氣的溫度分布情況，所得結果如圖3所示。從圖3中可以看出：隨著時間的增加，爐內各處溫度最終穩定，為了便于觀察穩態時各位置處的溫度，做出溫度穩定后各位置處的溫度情況，如圖4所示。

圖3 回焊爐內溫度變化圖

圖4 回焊爐穩定后的溫度分布曲線

2.2 爐溫曲線模型的求解

同樣采用有限差分法將式(6)和(7)轉化為如下差分形式

(17)

以時間間隔Δt為步長依次迭代計算，可以得到焊接區域中心溫度隨著時間的變化情況。由于方程中的αi、βi和γi均未知，所以需要根據測量的真實值進行曲線擬合。將擬合出的各系數代入爐溫曲線模型中計算，得到計算出的爐溫曲線。計算值與實測值的總殘差平方和為2 244.053 5，平均誤差為1.401 2 ℃，擬合效果較好。此時，計算出的爐溫曲線與實測曲線如圖5所示。

圖5 擬合的爐溫曲線與實測爐溫曲線

3 基于量子遺傳算法求解回焊爐最優工藝參數

量子遺傳算法是量子計算與遺傳算法相結合的概率優化算法，由于量子態具有疊加、糾纏和干涉等特性，使用量子比特進行染色體編碼與量子邏輯門更新染色體比傳統算法具有更高的并行性與更廣泛的搜索空間[12]。本文1.3中建立的爐溫曲線優化模型是一個NP問題，且由于變量較多，解空間較大等原因對算法的要求較高，因此采用量子遺傳算法實現目標的優化求解。

3.1 算法的實現

1) 染色體的編碼

量子遺傳算法使用量子比特表示染色體編碼，一個量子比特同時處于若干個幅度之和為1的量子態的疊加態中，比如

(18)

優化模型中共有5個參數，因此采用多量子比特編碼后第k代的第i個基因Qj(k)可以表示如下

2) 量子旋轉門

采用量子旋轉門更新染色體的具體操作如下，其中θi表示旋轉角，其取值由調整策略確定。

(19)

3) 算法的整體實現

在遺傳算法中，個體的適應度由優化目標決定，即適應度函數為以回焊爐參數為因變量，爐溫曲線對稱程度為自變量的非線性函數；遺傳算法對各參數進行編碼與更新，并在適應度函數中加入優化模型的約束條件作為篩選的條件。算法的設計流程如下所示：

1) 設置最大遺傳代數為250，覆蓋面積上限為400，初始化個體數為50的種群Q(t0)，隨機生成以20個量子比特為編碼的染色體；

2) 測量初始化種群Q(t0)中的每個個體，得到確定解P(t0)的二進制編碼；

3) 將確定解P(t0)代入爐溫曲線模型，得到曲線優化區域的對稱程度，并將其作為該解的適應度；

4) 記錄種群中最優個體對應的適應度；

5) 以最優個體適應度小于0.9且連續50代保持不變為結束條件，判斷算法是否結束，若未滿足結束條件則繼續計算；

6) 測量種群Q(t)中的每個個體，得到確定解P(t)的二進制編碼；

7) 將確定解P(t)代入爐溫曲線模型，得到曲線優化區域的對稱程度，并將其作為該解的適應度；

8) 利用量子旋轉門U(t)對個體實施調整，得到新的種群Q(t+1)；

9) 記錄最優個體對應的適應度，t=t+1，返回步驟5；

算法的整體實現流程如圖6所示。

圖6 量子遺傳算法實現流程框圖

3.2 結果分析

根據1.3中建立的爐溫曲線優化模型與上文所述量子遺傳算法，運用Matlab編寫代碼求解，得到的結果如表5所示，對應的適應度為0.732 4。

表5 空氣比熱容、密度和導熱系數

為了驗證算法的高效性，本文將量子遺傳算法與遺傳算法和改進的模擬退火算法進行比較。設定遺傳算法和量子遺傳算法種群大小為50，迭代次數為250代，改進的模擬退火算法先在解空間中定步長遍歷搜索，再將最優解作為初始解，迭代次數同樣為250代。圖7為3種算法的求解結果，其中橫坐標表示迭代次數，縱坐標表示目標函數值。表6為不同迭代次數下3種算法求得的最優目標函數值。

根據表6與圖7，在迭代開始時，量子遺傳算法迭代曲線斜率的絕對值大于其他2種算法，在30代左右求得最優解并收斂，遺傳算法在50代收斂，模擬退火算法在160代收斂，量子遺傳算法收斂速度快于普通的遺傳算法和模擬退火算法；在迭代結束時，遺傳算法和模擬退火算法求得結果相差不大，量子遺傳算法求得的目標函數值也明顯小于其他2種算法。

表6 迭代次數不同時3種算法的求解結果

圖7 各算法的性能對比

上述結果表明：求解本文建立的優化模型，采用量子遺傳算法比普通遺傳算法和改進的模擬退火算法具有更高的效率，且求得的結果更優。

4 結論

本文對回流焊曲線參數優化問題進行了研究，基于量子遺傳算法對回焊爐參數設定問題進行求解。該算法改進了染色體的編碼方式，用量子比特表達一個基因使得該基因處于“0”態、“1”態或者任意疊加態，包含所有可能信息，優化了傳統遺傳算法基因只能表達某一確定信息的缺點。在相同條件下求解最優爐溫曲線參數，量子遺傳算法比遺傳算法和改進模擬退火算法迭代次數更少，求解結果更優，因此可以進一步提升產品質量，提高生產效率，從而滿足當前電子產品更新迭代快、競爭激烈的需求，增強企業核心競爭力。后續的研究將繼續優化算法，進一步提高算法的效率，實現產品質量的提升與生產成本的降低，實現經濟效益與社會效益的顯著提升。