基于人工神經網絡的鉆孔內熱阻計算模型

廖 全，張大可，彭清元

(1.重慶大學 能源與動力工程學院， 重慶 400044；2.重慶市地勘局南江水文地質工程地質隊， 重慶 401121)

地源熱泵(ground source heat pump)是一種通過載流體在地埋管換熱器內循環流動實現建筑物室內環境與地下巖土間進行能量交換的一種空氣調節技術[1]。由于地埋管與鉆孔壁間的熱阻顯著地影響著地埋管換熱器的傳熱能力，因此如何準確獲取地埋管到鉆孔壁之間的熱阻(Rb)對地埋管換熱器的設計以及地源熱泵系統的設計非常重要。目前，對地埋管到鉆孔壁間熱阻的計算方法主要有兩種[2]：(1)解析解法，通過求解鉆孔區域簡化后的數學模型，獲得鉆孔內熱阻的解析關聯式[3-5]；(2)數值解法，通過對鉆孔內傳熱過程的CFD數值模擬獲得鉆孔內熱阻，并對不同參數條件下的熱阻數據進行擬合，獲得鉆孔內熱阻計算的函數擬合關系式[6-9]。

人工神經網絡作為一種信息處理系統，它是在大量訓練數據基礎上自我學習并建立輸入與輸出數據間聯系的一種網絡結構。在人工神經網路中，只需給定輸入和輸出數據便可以迅速找出輸入參數和輸出變量間的對應關系，而不用關心或明確輸入與輸出變量間的具體函數形式。因此，人工神經網絡被廣泛地應用在傳熱過程中換熱系數的預測、換熱器結構優化與性能預測等方面[10-16]。

鑒于人工神經網絡具有上述優點，本文提出采用BP人工神經網絡來構建單U型地埋管換熱器鉆孔內埋管與鉆孔壁間熱阻的計算網絡模型，并對其性能和計算精度與文獻中的函數擬合公式進行對比分析。主要內容包括：① BP神經網絡模型數據來源；② 人工神經網絡構建方法；③ 結果分析與討論；④ 結論。

1 神經網絡模型數據來源

在地埋管換熱器鉆孔內的傳熱過程中，通常將鉆孔壁面簡化為一個等溫面，由此獲得的鉆孔內傳熱過程的熱阻網絡中僅有1個管間傳熱熱阻(R12)和2個對稱的埋管至鉆孔壁間的熱阻(Rb1和Rb2)，鉆孔內的傳熱過程僅僅涉及上述3個熱阻，因此常稱之為鉆孔內的三熱阻傳熱模型[6，8]。在埋管換熱器鉆孔內，由于單U上升與下降管內載流體存在溫差，上下埋管分別在與鉆孔壁間進行傳熱的同時也通過鉆孔內回填料進行熱量交換，導致與上下埋管靠近的鉆孔壁面溫度沿鉆孔壁周向呈非均勻分布，因此Liao等[9]為考慮鉆孔壁面溫度分布的非均勻特性，將鉆孔壁沿鉆孔對稱面一分為二，提出了鉆孔內傳熱的四熱阻傳熱模型，如圖1所示。

圖1 鉆孔內傳熱的四熱阻模型示意圖

在鉆孔內四熱阻傳熱模型基礎上，根據能量守恒可以得到鉆孔內關于Rb(管子對鉆孔壁的熱阻)、R12(管子對管子熱阻)、Rb12(鉆孔壁間的熱阻)的如下計算公式：

(1)

(2)

(3)

式中，Tb1和Tb2分別為左右鉆孔壁面平均溫度；Tp1和Tp2分別為上下埋管外壁面平均溫度；q1和q2分別為上下埋管的傳熱量。

在圖2所示的單U型地埋管換熱器鉆孔內幾何結構中，引入幾何結構和物性參數的無量綱參數：

(4)

式中，S為上下埋管中心距；Db為鉆孔直徑；Dpo為埋管外徑；Kg為回填料導熱系數；Ks為鉆孔外的巖土導熱系數。

為獲得不同幾何結構和物性參數條件下鉆孔內Rb的值，Liao[9]等綜合考慮了工程實踐中埋管中心距、地埋管外徑、鉆孔直徑、巖土和回填料導熱系數等參數的取值范圍，將各參數進行排列組合，得到744組具有代表性的結構，以此建立鉆孔內二維傳熱的CFD分析模型，并對模型進行數值求解，如表1所示。

圖2 單U型地埋管換熱器鉆孔內幾何結構示意圖

表1 鉆孔內二維CFD模型的幾何結構和物性參數范圍

本文BP神經網絡模型的訓練數據來源于Liao等[9]對744組CFD數值分析模型求解后按照式(1)計算獲得的鉆孔內熱阻Rb。

2 人工神經網絡

2.1 BP神經網絡

BP神經網絡的結構如圖3所示，該神經網絡由輸入層、隱藏層、輸出層組成。層與層間進行全連接，但每一層神經元間互不連接。網絡的訓練由兩部分構成，即：信息前向傳播和誤差反向傳播。對于一個給定的網絡，輸入信息(x1、x2、x3)從輸入層通過隱藏層傳遞到輸出層產生輸出信號(y)；當前向傳播產生的輸出與目標輸出間誤差不滿足要求時，誤差值將沿著反方向逐層傳遞，以此修正各層連接的權值。神經網絡交替重復前向傳播和誤差反向傳播，直到預測輸出和目標輸出間的誤差滿足要求，表明該網絡已經訓練完成。

第m+1層中第j個神經元的輸出為：

(5)

圖3 BP人工神經網絡示意圖

由于輸入層和輸出層中神經元的個數主要取決于所研究的物理問題，因此網絡的性能主要由隱藏層的特性決定。由于單隱藏層的神經網絡可以逼近任何閉區間內的連續函數，因此增加隱藏層的層數和節點數可以有效改善網絡性能。然而，過多隱藏層和神經元數將導致網絡收斂速度低、過擬合等問題；相反，隱藏層神經元數太少會導致網絡容錯率差，學習能力低。現階段尚無有效的方式合理確定隱藏神經元數，單隱藏層神經元數的范圍可參考如下經驗公式[12]：

(6)

式中：d為單隱藏層神經元的個數；m為輸入神經元的個數；n為輸出神經元的個數；a為1～10之間的常數。

本文采用正交法設計含有2個隱藏層的BP神經網絡。為尋找最佳的網絡結構，對單隱藏層和雙隱藏層的神經網絡分別進行構建，隱藏層的節點數如表2所示。

表2 隱藏層神經元個數

2.2 訓練算法

不同訓練算法對BP神經網絡的學習有較大影響，現有算法主要包括動量BP、變梯度BP、LM以及SCG算法等。文獻[17]表明：從網絡預測性能和收斂速度而言，LM算法都明顯優于其他算法。因此，本文采用LM算法對單U型地埋管換熱器鉆孔內無量綱熱阻2πKg·Rb進行訓練。在訓練BP神經網絡時，達到以下任何條件訓練就結束：① 迭代次數達到設定值1 000步；② 誤差小于設定值1.0E-7；③ Validation Check達到設定值6次。

2.3 傳遞函數及誤差函數

BP神經網絡通常有3種傳遞函數，分別是tan-sig、log-sig和pure line。該神經網絡對每一層神經元采用何種傳遞函數并沒有明確規定，因此可以根據實際問題合理選用傳遞函數。本文采用tan-sig型傳遞函數，其數學模型為：

(7)

BP神經網絡中常用的誤差函數是均方根誤差(mean square error)，網絡的性能可以通過均方根誤差和相關系數R2來進行評價。對于一個確定的網絡而言，其MSE越小、R2越接近1，則表示該網絡性能越好。MSE和R2分別定義如下：

(8)

(9)

2.4 數據處理

由于在計算鉆孔內無量綱熱阻(2πKg·Rb)的函數擬合公式中，主要考慮了無量綱熱阻與3個無量綱參數(θ1、θ2、σ)間的關系，因此本文BP神經網絡的輸入層有3個神經元，分別為θ1、θ2、σ；輸出層有一個神經元，即：無量綱熱阻2πKg·Rb。在表3中，給出了神經網絡輸入和輸出數據的取值范圍。考慮到不同類型數據間的數值差異較大，在網絡訓練前對輸入、目標輸出數據進行線性歸一化處理，使歸一化后的數據在[-1，1]區間內。數據歸一化的數學模型為：

(10)

式中，ymax為歸一化后的最大值；ymin為歸一化后的最小值；xmax為未歸一化時的最大值；xmin為未歸一化時的最大值。

表3 模型數據范圍

為了提高神經網絡的泛化能力，在訓練網絡之前對所有數據進行隨機排序，并將排序后的數據再隨機分組，將70%的數據作為訓練集，用于訓練網絡以產生期望的輸出；將15%的數據作為驗證集，用于找到最佳的網絡結構和訓練參數；將剩余15%的數據作為測試集，用于評估所獲得的神經網絡。本文采用驗證集和訓練集的相關系數和驗證集的性能作為評價BP神經網絡性能的主要指標。

3 結果分析與討論

采用不同拓撲結構BP神經網絡模型的訓練結果如圖4所示。對每種訓練的網絡采用“訓練函數_神經元數”的方式進行命名；對于含有2個隱藏層的神經網絡采用“訓練函數_第1隱藏層神經元數_第2隱藏層神經元數”的方式進行命名。

在圖4(a)和圖4(b)中可見：當采用單隱藏層神經網絡時，隨著隱藏層神經元數的增多，訓練集、驗證集和測試集的R2都逐漸增加，驗證集的MSE逐漸降低；當隱藏層有12個神經元時，網絡的性能達到最好。當采用2個隱藏層的神經網絡時，隨著每一個隱藏層神經元數的增加，3種數據集的R2都逐漸增加；但當隱藏層中每1層的神經元數大于5時，3種數據集的R2基本保持不變，此時訓練集的R2都大于0.999 9，在LM_5_7、LM_7_5和LM_7_7時達到最高0.999 92；驗證集的R2都大于0.999 86，在LM_5_7時達到最高0.999 9；測試集的R2都高于0.999 85，在LM_7_3時達到最高0.999 92。

在圖4(c)中，給出了神經網絡預測值經過反歸一化處理后與原始無量綱熱阻的相對誤差(即：Min和Max)以及絕對平均誤差(即：Mape)。由該圖可以看出：在LM_5_7時，相對誤差最大為2.30%，最小為-1.68%，平均絕對誤差為0.19%。

圖4 不同拓撲結構BP神經網絡的性能對比分析

在表4中，給出了采用LM_5_7的BP神經網絡與文獻中函數擬合公式計算鉆孔內無量綱熱阻的最大、最小和絕對平均誤差對比數據。從該表可知：采用LM_5_7的BP神經網絡對無量綱熱阻預測的平均絕對誤差均低于Liao[9]、Hellstom[3]、Bennet[4]等的函數擬合公式。因此，本文采用LM_5_7結構的BP神經網絡來預測無量綱熱阻2πKg·Rb。

表4 LM_5_7 BP神經網絡與函數擬合公式的對比 %

為了定量說明BP神經網絡預測無量綱熱阻2πKg·Rb的準確性，本文采用LM_5_7結構的BP神經網絡對鉆孔內無量綱熱阻進行計算，并將其結果與各種函數擬合公式的計算結果進行比較，如圖5所示。在圖5(a)和圖5(b)中，分別給出了LM_5_7神經網絡與函數擬合公式計算結果隨無量綱幾何參數θ1和θ2的變化關系。

圖5 LM_5_7的BP神經網絡與函數擬合公式計算無量綱熱阻2πKg·Rb的對比分析

從該圖中可見：無量綱幾何參數θ1對函數擬合公式計算結果的影響較參數θ2大；在θ1和θ2的變化范圍內，LM_5_7神經網絡計算結果與二維CFD數值分析結果幾乎無差別，均顯著高于函數擬合公式的計算精度。圖5(c)給出了LM_5_7神經網絡計算結果與函數擬合公式計算結果隨無量綱物性參數σ的變化關系。從該圖可知：整體而言，雖然LM_5_7神經網絡的計算結果稍低于二維CFD數值分析結果，而對于函數擬合公式而言，LM_5_7神經網絡的計算精度顯著優于Liao[9]、Bennet[4]和Hellstom[3]的函數擬合公式。因此，本文所建立的LM_5_7神經網絡具有較強的泛化能力，可以正確計算單U型地埋管換熱器埋管外壁面與鉆孔壁面間的無量綱熱阻2πKg·Rb，相比其他函數擬合公式而言，LM_5_7神經網絡具有更高的計算精度。

4 結論

采用BP人工神經網絡構建了單U型地埋管換熱器鉆孔內無量綱熱阻2πKg·Rb與無量綱參數θ1、θ2和σ間的關系。在均方根誤差和相關系數統計方法的基礎上，通過改變神經網絡隱藏層神經元數和隱藏層的層數來尋找該問題的最優網絡拓撲結構。結果顯示：具有2個隱藏層的LM_5_7網絡結構是鉆孔內無量綱熱阻計算的最優拓撲結構。在該結構下，BP神經網絡具有較強的泛化能力，能夠準確預測鉆孔內無量綱熱阻2πKg·Rb值隨無量綱參數的變化，其計算精度高于現有函數擬合公式。在模型的有效數據范圍內，LM_5_7 BP神經網絡與二維CFD數值模型所得原始數據間的相對誤差在-1.68%～2.3%，絕對平均誤差僅為0.19%。