高中數(shù)學(xué)辯證思維賞析(立體幾何篇)

楊 娟

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610066)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》修訂的基本原則中也要求：“堅(jiān)持正確的政治方向……充分體現(xiàn)馬克思主義的指導(dǎo)地位和基本立場(chǎng)……”.課程標(biāo)準(zhǔn)全書(shū)的表述中也滲透了辯證法的很多觀點(diǎn)，所以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)潛移默化的給學(xué)生滲透辯證法的基本思想，堅(jiān)持用“辯證觀點(diǎn)分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題”，逐步培養(yǎng)高中學(xué)生運(yùn)用辯證思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.辯證思維是一種重要的思維方法，在高中數(shù)學(xué)中隨處可見(jiàn)，當(dāng)然在立體幾何版塊中也有它的身影.

知識(shí)賞析一：柱、錐、臺(tái)的體積公式蘊(yùn)含著量變質(zhì)變規(guī)律

知識(shí)賞析二：對(duì)長(zhǎng)方體的研究中蘊(yùn)含著整體與局部的關(guān)系

一、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的三大規(guī)律之一.根據(jù)對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律矛盾雙方既相互依賴(lài)，又相互排斥，并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.“分割法”與“補(bǔ)形法”就是對(duì)立統(tǒng)一的辯證思維在解決立體幾何問(wèn)題中的具體體現(xiàn).

例1 如圖1,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠A=60°,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),將ΔADE和△CBF沿著DE和BF折起,使得平面ADE和平面CBF均垂直于平面BEDF.

(1)求證:AC//平面BEDF；

(2)求幾何體ACFBED的體積.

賞析(1)略；(2)幾何體ACFBED是不規(guī)則幾何體,其體積只能通過(guò)分割或補(bǔ)形來(lái)實(shí)現(xiàn).

補(bǔ)形法如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B,D作AE的平行相等線BP,DQ,連接AP,PC,CQ,QA, 形成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱.

二、否定之否定規(guī)律

否定之否定規(guī)律表明事物自身發(fā)展的整個(gè)過(guò)程是由肯定、否定和否定之否定諸環(huán)節(jié)構(gòu)成的，揭示了事物發(fā)展的全過(guò)程和總趨勢(shì).事物都有肯定方面和否定方面，當(dāng)肯定方面居于主導(dǎo)地位時(shí)，事物保持現(xiàn)有的性質(zhì)、特征和傾向，當(dāng)事物內(nèi)部的否定方面戰(zhàn)勝肯定方面時(shí)，舊事物就需要轉(zhuǎn)化為新事物.

例2 如圖3,不共面的直線a,b,c相交于點(diǎn)O,M,N∈a,P∈b,Q∈c.

證明:MP,NQ是異面直線.

賞析假設(shè)MP與NQ不是異面直線,則MP與NQ共面,設(shè)MP?平面α,NQ?平面α

∵M(jìn),N∈a，M,N∈α,∴a?α,∴O∈α,

∵P∈α,∴b?α,同理c?α,與已知條件矛盾,

∴MP與NQ是異面直線.

三、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)

事物的聯(lián)系具有普遍性，任何事物或現(xiàn)象之間以及事物的內(nèi)部要素之間都是相互影響，相互依賴(lài)，相互作用的.

例3 棱長(zhǎng)為4的正四面體A-BCD與正三棱錐E-BCD的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在球O的球面上,則球心O到平面EBC的距離為_(kāi)___.

四、矛盾分析的方法

矛盾分析法是我們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的根本方法.唯物辯證法認(rèn)為矛盾具有普遍性，矛盾雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.高中數(shù)學(xué)中矛盾無(wú)處不在，無(wú)時(shí)不有！因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)既要看到矛盾的主要方面，也要看到矛盾的次要方面，堅(jiān)持具體問(wèn)題具體分析，還要善于將矛盾雙方進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.

例4 如圖5,在Rt△ABC中,AB=BC=1,D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn),且DE⊥BC,將ΔCDE沿DE折起,使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置,得到四棱錐P-ABDE,則四棱錐P-ABDE體積的最大值為_(kāi)___.

賞析假設(shè)點(diǎn)D位于線段BC的某一位置,只考慮ΔCDE的折起,此時(shí)四棱錐P-ABDE的底面ABDE的面積為定值.對(duì)ΔCDE的不同折起位置,顯然當(dāng)平面CDE⊥平面ABDE時(shí),點(diǎn)P到平面ABDE的距離最遠(yuǎn),即相對(duì)點(diǎn)D的位置,四棱錐P-ABDE的體積最大.

如圖6對(duì)點(diǎn)D的所有位置,均有PD⊥平面ABDE即可.

說(shuō)明本文是四川師范大學(xué)附屬中學(xué)校級(jí)科研課題：《指向高階能力培養(yǎng)的行動(dòng)——高中生數(shù)學(xué)辯證思維能力的培養(yǎng)策略研究》(課題組成員：黃光鑫、武婷、李莉莉、楊娟)的階段性成果.