改進B樣條插值法的焊接機器人關節軌跡優化

方建文，晁永生，袁逸萍

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊830047）

1 引言

白車身的焊接是汽車生產制造過程中不可缺少的一環，隨著生產工藝的不斷發展，焊接過程中機器人的移動軌跡要求也越來越高。目前工業生產中應用的焊接機器人大多是示教機器人，其反應能力往往較差，而針對白車身焊點的焊接是一個快速起停的過程，一旦出現不穩定因素干擾可能無法及時反應過來，在一定程度上影響了焊接的質量。因此，根據實際的焊接任務，在確保焊接精度的前提下，在相鄰焊點之間找到一條合理的路徑曲線，使臨近焊點附近時焊接機器人各關節的位移、速度、加速度隨時間變化曲線更加平滑，避免快速起停過程中出現機器臂共振等情況，這對高質量高精度完成焊接任務，提高白車身焊接生產線生產效率，延長機器人的使用壽命具有重要意義。

常見的機器人運動軌跡規劃包括關節空間軌跡規劃和笛卡爾空間軌跡規劃。眾多學者針對現代車身焊接過程中的軌跡優化問題進行了進一步的研究。文獻［1］將軌跡曲線分段用三次多項式插值曲線進行分段擬合，對關節速度進行了約束。文獻［2］提出了一種基于三次多項式插值法的加減速型Nurbs曲線前瞻算法，優化了軌跡的穩定性。文獻［3］提出一種新型S型速度規劃算法，在一定程度平滑了加加速度曲線，提升了運動過程中的抗沖擊性能。文獻［4］針對加速度的突變，采用S型速度曲線進行軌跡規劃，提高了運動過程中的抗沖擊性能。文獻［5］針對工業機器人時間最優、能耗最優、脈動最優等多目標的軌跡優化問題，基于非均勻有理B樣條曲線矩陣表示法，提出一種最優軌跡規劃方法。文獻［6］構建七次B樣條曲線，將機械人的運動學約束轉化為B樣條控制頂點的約束，實現了多目標軌跡優化。文獻［7-8］以加加速度的平方以及Jerk的絕對值為優化目標，其軌跡由于單一目標優化軌跡。文獻［9］采用五次B樣條插值法對軌跡進行擬合，當約束條件復雜時其優化效果優于三次B樣條插值法，但由于反算控制點過程的計算量太大，為研究帶來了不便。上述方法從運動軌跡整體上實現了對速度、加速度的規劃，提高了運動過程的平穩性，然而關于焊槍在進出焊點時局部運動的平穩性研究還比較匱乏。因此對機器人各關節空間采用改進的B樣條插值法進行優化，使運動軌跡能夠準確通過焊點，并通過增加輔助控制點方法，對焊點附近運動過程中的速度、加速度進行了優化，使運動過程更加平穩。

2 關節空間軌跡規劃

焊接機器人具有6個自由度，即機器人關節空間為6維空間，由于焊接過程中焊點是固定且必須經過的，因此將其作為末端執行器在空間運動過程中的通過點。通過逆解每個焊點都有一組關節角與之對應，即各焊點對應的關節空間位置，記為qj=表示機器人在qj點時的6個關節的關節值。

2.1 B樣條函數

其中，Qi（i=0,1,…,n）為控制頂點，Ni,k(t)（i=0,1,…,n）是k次規范B樣條基函數，且有

式中：k-B樣條函數的階數；i-B樣條函數的序列號，記0/0=0。文獻［10］通過關節空間中對應的位置-時間序列點，將其作為型值點反算控制頂點，再利用三次B樣條插值法進行軌跡的擬合，保證了運動軌跡經過所對應的關節空間位置，其第i段曲線的函數表達式為

2.2 改進B樣條插值法

通過上一小節的描述、計算，要使規劃的運動曲線能夠經過焊點所對應機器人關節空間位置，通過反算控制點求得B樣條插值曲線。雖然利用該方法能夠實現運動軌跡經過期望的關節位置，但焊接機器人從一個焊點移動至另一焊點時，要求在到達焊點位置附近時，速度變化平穩，以確保焊接質量。所以說，在上述基礎上通過增加或改變控制點的數目來控制曲線形狀，進而優化軌跡的運動性能。

已知，利用三次均勻B樣條插值法，通過4個控制點可以確定一段曲線，如圖1所示。

圖1 三次均勻B樣條曲線Fig.1 Cubic Uniform B-Spline Curve

依據德布爾遞推法，圖1中的三次均勻B樣條曲線段由是由Q0、Q1、Q2、Q3四個控制頂點確定，該三次曲線的起點是Q0、Q1、Q2構成的三角形的中線Q1Q1′上的一點N1，Q1N1的位長度是ΔQ0Q1Q2中線Q1Q1′長度的1 3，終點是Q1、Q2、Q3構成的三角形的中線Q2Q2′上的一點N2，Q2N2的位長度是ΔQ1Q2Q3中線Q2Q2′長度的1 3，由N1N2構成的三次B樣條插值曲線，且該曲線不經過Q0、Q1、Q2、Q3中的任意控制頂點。假設，當Q1點不斷趨近于Q1′點時，那么N1點則會不斷靠近Q1′點，同理，當Q2點不斷趨近于Q2′點時，那么N2點則會不斷靠近Q2′點。這時，該三次B樣條插值曲線的起點和終點將不斷逼近ΔQ0Q1Q2、ΔQ1Q2Q3的底邊，即Q0Q1、Q2Q3，最終Q1（Q1′），Q2（Q2′）兩兩重合，此時該三次B樣條插值曲線的起點和終點為兩控制頂點。依據此現象，可以得出，3個相鄰等距的控制頂點如果共線，那么該三次B樣條插值曲線的起點和終點曲線會經過中間控制點。為了滿足所有的控制頂點都在該曲線上，則需要在每個控制頂點的兩側再加入兩個控制頂點，用來調整曲線形狀，使之經過原先的控制頂點，新規劃出的曲線較原來平緩，如圖2所示。

圖2 改進B樣條曲線Fig.2 Improved B-Spline Curve

規劃方法具體如下：

（1）如圖2，在Q1兩側增加輔助控制點Q1z、Q1y，使Q1、Q1z、Q1y三點共線，且Q1是Q1zQ1y的中點，同時平行于Q0Q2，由三角形的幾何性質可得Q1zQ1＝Q1Q1y＝hQ0Q2，其中，h為ΔQ0Q1Q2底邊Q0Q2長度的比例系數同理在Q2兩側增加點Q2z、Q2y，使Q2、Q2z、Q2y三點共線，且Q2是Q2zQ2y的中點，同時平行于Q1Q3，可得Q2zQ2＝Q2Q2y＝Q1Q3/6。

（2）為了讓該三次B樣條曲線通過起始和末端的兩個控制點Q0、Q3，依據B樣條曲線特殊的幾何性質，在Q0、Q3點原處增加兩個輔助控制點使之重合，那么能夠使曲線從Q0點出發止于Q3點。

綜上所述，以Q0、Q1z、Q1、Q1y、Q2z、Q2、Q2y、Q3為控制頂點，可以得到三段三次B樣條曲線，且得到的曲線通過Q1、Q2點，若要使曲線通過首尾控制點，則在首尾控制點原處各增加兩個輔助控制點。若曲線需要經過n個關節位置點，則需要添加2n個輔助控制點生成3n-3段曲線，生成的三次B樣條曲線通過所有原始關節位置點。添加的控制點的位姿計算公式如下：

結合式（3）、（4）可得改進后的三次B樣條曲線方程為：

其中，i=0,1,…,n-1

由于所有的輔助控制點都可以由最初的控制點求得，故將式（4）代入式（6），可得由Q0，Q1，Q2，…，Qn表示的改進三次B樣條曲線方程：

注：式（7）中的i不取0和n-1，因為始末兩端點的新增輔助點不按照上述方程求解，但滿足式（6），可從此求解。

3 約束條件

點焊機器人最優軌跡規劃就是要求各個關節在滿足運動學約束條件的情況下，確保焊接的準確性，同時以較高的速度從焊點移出，并以較小的速度變化移至下一個焊點。所以說，在實際運動控制過程中，機器人受到驅動機構性能等因素的制約，具體體現在角度約束、角速度約束和角加速度約束這三方面。利用改進三次B樣條插值法進行軌跡規劃，通過對控制頂點的約束來實現對機器人運動軌跡的約束。

假設機器人每個關節的角變化、速度、加速度約束分別為θm、ωm、am（m=1，2，…，6）。可以求得各關節的位置、速度、加速度曲線方程為：

式（8）還要滿足以下約束條件：

4 仿真結果分析

以Panasonic TA1800G2型焊接機器人為研究對象，該機器人機構特點滿足Pieper原則，其D-H參數，如表1所示。

表1 機器人運動參數和關節變量Tab.1 Motion Parameters and Joint Variables of the Robot

根據表1中D-H參數使用如下指令，利用MATLAB中的Robotics Toolbox建立Panasonic TA-1800G2機械臂模型，示例代碼如下：

示例代碼中的Link指令中的各參數，從左到右，第一位表示扭轉角α，第二位表示連桿長度a，第三位表示關節角θ，第四位表示連桿偏距d，最后一位表示關節角類型，由于是6R機器人，故都為0，默認采用標準D-H法進行建模，如圖3所示。

圖3 Panasonic TA-1800G2模型Fig.3 Model of Panasonic TA-1800G2 Robot

在以機器人的基座為原點建立的空間坐標系中，在(100×100×100)cm的坐標空間中提取了5個焊點的空間位姿，記為piont=［30，0，-30；26，50，-33；22，15，-27；26，35，-35；42，39，-24］，如圖4所示次序進行焊接。

圖4 焊點空間位置及焊接次序Fig.4 Spacial Location and Welding Sequence of Welding Spot

機器人的末端執行器在移動過程中必經焊點的位置，將焊點的位姿信息轉化為機器人末端位姿，通過運動學逆解得到每個焊接位姿對應的關節角，如表2所示。

表2 焊接位姿對應的關節角Tab.2 Joint Angle Corresponding to the Welding Pose

以表2中的數據作為型值點，利用改進的三次B樣條插值法，在兩側添加輔助控制點，對曲線進行擬合。為了能更直觀的看出各關節的軌跡規劃效果，與三次樣條插值法進行對比，結果如圖5所示。通過對比可發現，在滿足焊接準確性的前提下，部分關節的速度、加速度曲線均有波峰，加速度曲線出現尖點，通過改進三次B樣條插值后的關節速度波動范圍以及關節加速度波動范圍較之三次樣條插值法顯著降低，同時，型值點附近的速度、加速度曲線變得更加平緩，驗證了機器人進入焊點位置和焊完離開焊點位置時，運動過程的穩定性，減小了運動過程出現的沖擊，保證了焊接的質量。

圖5 各關節位移、速度、加速度曲線（為型值點）Fig.5 Curves of Displacement，Velocity and Acceleration for Each Joint（were recognized as the value points）

5 結論

針對焊接機器人中焊槍進出焊點時運動過程的平穩問題，先求解出各個焊點對應的機器人各關節的空間位置，然后以此為控制頂點，通過添加輔助控制點的方法，對三次B樣條插值法進行了改進，生成平滑的運動。通過與三次樣條插值法在不同時刻的位移、速度、加速度的對比，驗證了經過改進三次B樣條插值法平滑后的軌跡保證了焊接的準確性，同時運動過程的平穩性也得到顯著提高。