巴哈賽車車架多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

魯春艷，萬長(zhǎng)東，田 菲

（蘇州市職業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 蘇州215100）

1 引言

拓?fù)鋬?yōu)化是在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋找結(jié)構(gòu)的最佳材料分布的優(yōu)化技術(shù)，已成為復(fù)雜結(jié)構(gòu)和部件優(yōu)化的關(guān)鍵技術(shù)［1］。巴哈賽車是一種小型越野車，其行駛環(huán)境十分惡劣。車架是承載基體，在比賽過程中不僅需要有足夠的強(qiáng)度和剛度以承受載荷和沖擊，還需要有較高的動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率避免共振，同時(shí)輕量化的車架可提高賽車的動(dòng)力性和經(jīng)濟(jì)性。因此在對(duì)車架進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，需要綜合考慮多個(gè)性能目標(biāo)。為解決多目標(biāo)的優(yōu)化問題需要協(xié)調(diào)多個(gè)目標(biāo)并進(jìn)行綜合權(quán)衡，工程中經(jīng)常采用折衷規(guī)劃法，將多個(gè)子目標(biāo)函數(shù)加權(quán)，歸一成一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)。

在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，子目標(biāo)權(quán)重系數(shù)的選擇直接影響最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。目前常用的方法有經(jīng)驗(yàn)法、層次分析法［2］和正交試驗(yàn)法［3］。經(jīng)驗(yàn)法是由決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)賦予權(quán)重系數(shù)；層次分析法是通過對(duì)比子目標(biāo)之間的重要程度構(gòu)建決策矩陣，從而求出權(quán)重系數(shù)。這兩者都屬于主觀賦值范疇，對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定的影響。正交試驗(yàn)法是通過對(duì)子目標(biāo)設(shè)置多組權(quán)重值，利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)得出最優(yōu)權(quán)重組合，能避免決策者主觀因素對(duì)權(quán)重的影響，但是計(jì)算量比較大［4］。

為實(shí)現(xiàn)巴哈賽車車架的輕量化設(shè)計(jì)，選擇四種車架的典型工況為剛度優(yōu)化目標(biāo)，以及前六階模態(tài)固有頻率為動(dòng)態(tài)特性目標(biāo)，采用折衷規(guī)劃法，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析法評(píng)價(jià)子目標(biāo)權(quán)重系數(shù)，建立綜合目標(biāo)函數(shù)，對(duì)車架進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得同時(shí)滿足剛度和振動(dòng)頻率要求的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果對(duì)車架進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，在保證車架結(jié)構(gòu)性能的條件下，對(duì)車架管件截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化。分析結(jié)果表明，改進(jìn)后的車架強(qiáng)度、剛度和模態(tài)固有頻率均有提高，輕量化效果明顯。

2 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

折衷規(guī)劃法是將多個(gè)子目標(biāo)函數(shù)正規(guī)化后加權(quán)在一起，形成一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于靜態(tài)多剛度目標(biāo)，可把剛度最大化問題等效為柔度最小化問題來研究。動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率拓?fù)鋬?yōu)化是以提高低階頻率為目標(biāo)而進(jìn)行的優(yōu)化，在優(yōu)化過程中，將個(gè)別階次的頻率作為優(yōu)化目標(biāo)并不能代表其他階次也會(huì)正向變化，因此要對(duì)各階次頻率進(jìn)行必要的協(xié)調(diào)，從而使所有階次的頻率在整體上做到相對(duì)最好。因此引入平均頻率公式［5］，將平均頻率作為優(yōu)化目標(biāo)。

式中：Λ-前n階的平均頻率；λi-第i階特征頻率值；ωi-第i階頻率的加權(quán)值；n-頻率的階次；λ0、s-調(diào)整目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)。

基于變密度法材料插值模型，使用折衷規(guī)劃法結(jié)合平均頻率法，綜合靜態(tài)多柔度目標(biāo)和動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型如下［6］：

式中：ρ-材料密度；ρmin-材料為空的最小密度值；ρ0-初始單元密度；n-單元總數(shù)；F()ρ-綜合目標(biāo)函數(shù)；ω-柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重；k-工況個(gè)數(shù)；ωj-第j個(gè)工況的權(quán)重系數(shù)，Cj()ρ-工況j的柔度目標(biāo)函數(shù)工況j下柔度目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值；Λ()ρ-平均頻率目標(biāo)函數(shù)；Λmax和Λmin-平均頻率最大值和最小值；V0和V-優(yōu)化前、后的體積；a-約束的體積分?jǐn)?shù)，0＜a＜1。

3 灰色關(guān)聯(lián)分析法

灰色關(guān)聯(lián)分析法是分析和確定系統(tǒng)因素間的影響程度的一種方法。系統(tǒng)因素關(guān)聯(lián)度的確定完全依靠客觀數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，對(duì)樣本量及樣本有無規(guī)律沒有要求，而且計(jì)算量少，不會(huì)出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況［7］。采用灰色關(guān)聯(lián)分析法，計(jì)算各子目標(biāo)的關(guān)聯(lián)度，可確定各子目標(biāo)的權(quán)重。灰色關(guān)聯(lián)分析法分析步驟如下［8］：

（1）根據(jù)單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建比較序列X。

式中：Xi-第i（i=1，2，...，m）個(gè)子目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果序列；m-子目標(biāo)總數(shù)；n-子目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果總數(shù)。

（2）根據(jù)各子目標(biāo)最優(yōu)值構(gòu)建參考序列X0。

（3）對(duì)比較序列進(jìn)行無量綱化，無量綱化后形成的序列為X′。

可以采用均值化法進(jìn)行無量綱化：

（4）分別計(jì)算每個(gè)比較序列與參考序列對(duì)應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)：

（5）計(jì)算比較序列與參考序列的關(guān)聯(lián)度：

4 車架拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 車架拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立

巴哈車架為金屬桁架式，由鋼管焊接而成，選用材料為30CrMo，其泊松比為0.279，彈性模量為211GPa，密度為7850kg/m3。根據(jù)原始車架，填充設(shè)計(jì)區(qū)域，建立車架拓?fù)鋬?yōu)化有限元模型，如圖1所示。深色為不可設(shè)計(jì)區(qū)域，淺色為設(shè)計(jì)區(qū)域，采用殼單元對(duì)車架的初始輪廓進(jìn)行設(shè)計(jì)。車架前環(huán)、車架后部防滾環(huán)、防滾環(huán)頭頂構(gòu)件以及前端支撐構(gòu)件是車架的主要構(gòu)件，防滾環(huán)頭頂構(gòu)件之間的橫向管件是用來支承車架頂部的，均設(shè)置為不可設(shè)計(jì)區(qū)；懸架與車架的連接點(diǎn)采用REB2剛性單元連接，也設(shè)置為不可設(shè)計(jì)區(qū)域。

圖1 車架拓?fù)鋬?yōu)化有限元模型Fig.1 Frame Topology Optimization Finite Element Model

4.2 靜載工況單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

巴哈賽車需要進(jìn)行繞樁、跑坡等極限越野項(xiàng)目的比賽，因此選取了彎曲工況和左前輪懸空、右后輪懸空以及左前輪、右后輪同時(shí)懸空三種扭轉(zhuǎn)工況進(jìn)行多柔度拓?fù)鋬?yōu)化［9］。車架承受的載荷及約束方式，如表1所示。

表1 載荷和約束Tab.1 Load and Constraint

以柔度作為優(yōu)化目標(biāo)，約束體積分?jǐn)?shù)不大于0.3，對(duì)以上四種工況分別進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，各工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖2～5。從out文件中可查看各工況優(yōu)化前后的最大最小柔度值

圖2 彎曲工況Fig.2 Bending Condition

從圖2彎曲工況拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可知，材料主要分布在座艙底部及兩側(cè)，前后艙均沒有出現(xiàn)較完整材料分布，這是因?yàn)樽摮惺芰舜蟛糠值恼囕d荷。如圖3～5所示，座艙底部均沒有材料分布。如圖3所示，出現(xiàn)了較清晰的車架前部抗扭桁架結(jié)構(gòu)。如圖4所示，出現(xiàn)了較清晰的車架后部抗扭桁架結(jié)構(gòu)。如圖5所示，出現(xiàn)了較清晰的車架中部抗扭桁架結(jié)構(gòu)。拓?fù)浣Y(jié)果與邊界條件的施加相一致。

圖3 左前輪懸空Fig.3 Left Front Wheel Dangling

圖4 右后輪懸空Fig.4 Right Rear Wheel Dangling Right Rear

圖5 左前、右后輪同時(shí)懸空Fig.5 Left Front and Wheels Dangling

4.3 動(dòng)態(tài)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化

動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的主要目標(biāo)是為了提高車架的低階固有頻率。定義一個(gè)加權(quán)特征頻率響應(yīng)，設(shè)定前6階頻率的權(quán)重值均為1/6，使用該響應(yīng)可以增加低階模態(tài)頻率的提高對(duì)目標(biāo)函數(shù)所產(chǎn)生的影響。以前6階平均頻率最大為優(yōu)化目標(biāo)，約束體積分?jǐn)?shù)，提交計(jì)算，得到結(jié)果如圖6所示。從out文件中可獲得Λmax和Λmin的值。

從圖6的優(yōu)化結(jié)果可以看出，在車架中部?jī)?yōu)化出了比較清晰車架上、下邊梁結(jié)構(gòu)，在車架的前環(huán)、防滾架與下車架邊梁之間出現(xiàn)了一些小尺寸的孔洞，其作用類似于為提高固有頻率所增加的加強(qiáng)筋。

圖6 車架固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.6 Results of Frame Natural Frequency Topology Optimization

4.4 車架多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，采用灰色關(guān)聯(lián)分析法來確定各子目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。將各子目標(biāo)優(yōu)化后的結(jié)果形成的序列作為比較序列，每一行表示單目標(biāo)優(yōu)化時(shí)各子目標(biāo)對(duì)應(yīng)的性能值，各子目標(biāo)最優(yōu)值形成的序列作為參考序列。由于柔度和頻率量綱不同，不便于比較，采用均值化法對(duì)參考序列的數(shù)據(jù)無量綱化處理。調(diào)節(jié)系數(shù)θ取0.5，計(jì)算出各個(gè)子目標(biāo)的綜合關(guān)聯(lián)度，如表2所示。

表2 灰色關(guān)聯(lián)序列Tab.2 Grey Relational Sequence

根據(jù)關(guān)聯(lián)度計(jì)算各子目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)分別為0.187，0.194，0.196，0.194，0.229。

將各項(xiàng)數(shù)據(jù)帶入綜合目標(biāo)函數(shù)F（ρ）中，約束體積分?jǐn)?shù)，經(jīng)過55步迭代，綜合目標(biāo)函數(shù)逐漸減少并最終達(dá)到穩(wěn)定值，如圖7所示。

圖7 綜合目標(biāo)函數(shù)迭代歷程Fig.7 Comprehensive Objective Function Iteration Process

從圖8可以看出，各目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的工況都有相同的波動(dòng)趨勢(shì)；隨著迭代過程的進(jìn)行，各個(gè)工況的柔度值平穩(wěn)降低。

圖8 各工況柔度迭代歷程Fig.8 Iteration Course of Flexibility In Various Operating Conditions

由圖9可以看出，前六階固有頻率逐漸增加，且各階頻率之間無交疊現(xiàn)象，證明以平均頻率作為優(yōu)化目標(biāo)是可行的。由圖8、9可知結(jié)構(gòu)的剛度和頻率都有所提高。

圖9 各階頻率迭代歷程Fig.9 Iteration Process of Each Order Frequency

從圖10可以看出，車架前部、中部、后部都拓?fù)涑鰜肀容^清晰的材料分布路徑，車架的輪廓基本形成。

圖10 車架拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖Fig.10 Results of Frame Topology Optimization

4.5 提取拓?fù)浣Y(jié)果與車架建模

根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)車架進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，對(duì)于單元密度大的區(qū)域采用管徑大、壁厚的鋼管，對(duì)于單元密度小的區(qū)域采用管徑小、壁薄的鋼管。原始車架采用了3種不同型號(hào)的鋼管，因此新設(shè)計(jì)的車架鋼管型號(hào)沿用原始車架，如圖11所示，主要結(jié)構(gòu)件（深色）采用1號(hào)鋼管，鋼管外徑為31.75mm，壁厚1.8mm；次主要結(jié)構(gòu)件（次淺色）采用2號(hào)鋼管，其外徑為25.4mm，壁厚1.6mm；次要結(jié)構(gòu)件（最淺色）采用3號(hào)鋼管，其外徑為25.4mm，壁厚1.3mm。

圖11 拓?fù)鋬?yōu)化后設(shè)計(jì)的車架三維模型Fig.11 Three-Dimensional Model of Vehicle Frame Designed After Topology Optimization

5 車架輕量化設(shè)計(jì)

5.1 尺寸優(yōu)化

對(duì)二次設(shè)計(jì)的車架進(jìn)行強(qiáng)度分析，發(fā)現(xiàn)存在較大的應(yīng)力富余，在保證車架性能的同時(shí)，對(duì)車架鋼管進(jìn)行尺寸優(yōu)化。設(shè)定管件的外徑不變，選取三種類型的鋼管內(nèi)徑作為優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量（外徑尺寸不變，改變內(nèi)徑即改變厚度），采用響應(yīng)面法對(duì)車架質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化［10］。設(shè)定設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化尺寸范圍為原尺寸的（90～110）%。設(shè)置目標(biāo)函數(shù)：車架質(zhì)量最小，車架扭轉(zhuǎn)變形最小，最大彎扭應(yīng)力在一定范圍內(nèi)最小，車架一階固有頻率在一定范圍內(nèi)最大。計(jì)算得到的優(yōu)化數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 尺寸優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Size Optimization Results

從表3的結(jié)果來看，第一組數(shù)據(jù)為最優(yōu)，得到的車架質(zhì)量最小，考慮到實(shí)際的鋼管型號(hào)，對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了調(diào)整，最終采用的管件厚度，如表4所示。

表4 優(yōu)化后管件尺寸Tab.4 Optimized Pipe Fitting Size

5.2 車架結(jié)構(gòu)性能分析驗(yàn)證

根據(jù)調(diào)整后的管件尺寸，修改車架三維模型，重新建立了車架的有限元模型，對(duì)尺寸改進(jìn)后的車架進(jìn)行強(qiáng)度、剛度、模態(tài)分析。車架優(yōu)化前后的仿真結(jié)果，如表5所示。

表5 車架優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)性能對(duì)比Tab.5 Structural Performance Comparison Before and After Frame Optimization

經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化和尺寸優(yōu)化后的車架在各工況下的應(yīng)力均小于原始車架，且遠(yuǎn)小于材料的屈服強(qiáng)度；各工況的形變也小于優(yōu)化前；一階固有頻率為59.28 Hz，比原始車架的39.25 Hz大幅度增加；車架的質(zhì)量由原來的42.526kg減少至32.275kg，減輕了24.1%。在車架輕量化的同時(shí)改善了車架的結(jié)構(gòu)性能，表明拓?fù)鋬?yōu)化是成功的。

6 結(jié)論

（1）將折衷規(guī)劃法引入到巴哈車架的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，建立了綜合剛度和頻率的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了車架的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。

（2）采用灰色關(guān)聯(lián)分析法確定子目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，避免了主觀因素對(duì)于權(quán)重的影響，使子目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)分配更加合理，為處理多目標(biāo)優(yōu)化問題提供了參考。

（3）根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果對(duì)車架進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，并對(duì)車架管件的截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化，通過對(duì)優(yōu)化前后車架結(jié)構(gòu)性能分析可知，優(yōu)化后的車架剛度、強(qiáng)度、固有頻率均有提高，車架質(zhì)量減輕24.1%，證明了優(yōu)化的可行性。