一種分析伺服進給系統動態誤差的新方法

赫巍巍，王立平，關立文，李大奇

（1.東北石油大學機械科學與工程學院，黑龍江 大慶163318；2.吉林大學機械與航空航天工程學院，吉林 長春130022；3.清華大學機械工程系，北京100084）

1 引言

伺服進給系統是數控機床的重要組成部分，是連接數控系統CNC和機床主體的關鍵［1］［2］。因此，伺服進給系統的性能優劣是影響數控機床加工效率以及加工工件表面質量和精度的主要因素，所以研究伺服進給系統的動態誤差對于建立機床動態誤差理論研究框架具有十分重要的意義［3-5］。

目前對于機床伺服進給系統的研究有很多，文獻［6］建立了交流伺服進給系統下的XY工作臺的數學模型，并基于該模型，研究了改變間隙、摩擦等因素后對工作臺性能的影響，并將其應用于摩擦補償中，便于提高系統的精度。文獻［7］建立了數控機床伺服進給系統的數學模型，推導了其傳遞函數，并通過仿真得到系統參數與伺服系統性能之間的關系，為改善和提高數控機床伺服系統的性能，提供了一些可靠的理論依據。文獻［8］以龍門機床主軸進給驅動為研究對象，利用虛擬樣機技術建立其多體動力學模型，確定了絲杠、滑枕柔性和導軌-滑塊結合面參數，構建了主軸進給模塊剛柔耦合模型，并在MATLAB/Simulink中建立了永磁同步電機矢量控制模型，從而建立了龍門機床主軸進給驅動剛柔-機電耦合仿真模型，并對三環PID參數進行了整定。文獻［9］建立了CK1416數控車床的進給系統模型，構建了包括剛度、非線性間隙和非線性摩擦的參數化結構。文獻［10］建立了CK78158數控機床伺服進給系統的模型，并根據仿真模型分析了間隙、死區等非線性因素對系統精確度的影響。文獻［11］以五軸機床運動產生的彈性變形為出發點，建立了A/C雙擺頭機床進給系統動力學模型，推導了因進給系統彈性變形導致的輪廓加工誤差，并基于S試件，給出了其數控加工過程的運動控制策略，分析了輪廓度誤差與試件曲率間的關系，得到了數控機床進給系統剛度特性對自由曲面輪廓誤差的影響機理，同時文獻［12］還建立了機械系統和伺服系統的模型，分析了導致S試件動態誤差的動力學因素及其影響。

上述針對機床伺服進給系統的研究中，研究的基本思路為：首先搭建仿真模型，并盡量與實際模型相符合；然后改變仿真模型參數（例如間隙和PID控制參數）研究這些參數對仿真結果的影響；最后調節實際機床的此類參數，以驗證仿真結果的有效性。這種研究思路屬于定性探索。而這里提出的分析五軸機床伺服進給系統動態誤差的新方法屬于定量探索，為五軸機床以及其他動平臺的動態誤差研究提供了新思路，為后續研究五軸機床動態誤差提供了基礎理論支撐，對于提升我國數控機床研發能力和水平具有重要意義。

2 伺服進給系統模型

2.1 平動軸建模

伺服進給系統平動軸模型，如圖1所示。圖中：J1-主動軸轉動慣量；J2-從動軸轉動慣量；Tm-電機輸出扭矩；θm-電機輸出轉角；T2-經過齒輪傳動裝置作用到從動軸的驅動扭矩；Th-從動軸驅動滾珠絲杠的輸出扭矩；θh-從動軸驅動滾珠絲杠的輸出轉角；K2-從動軸的扭轉剛度系數；D2-阻尼系數；Mt-動平臺的質量；Dt-阻尼系數；Xt-位移；ft-所受負載阻力。第一級減速裝置減速比為i，第二級滾珠絲杠減速比為ih，對于單線螺紋的滾珠絲杠ih=2π/Ph，其中，Ph為滾珠絲杠螺距。

圖1 平動軸模型Fig.1 Model of Translational Axis

將平動軸模型中的主動軸與從動軸的力矩平衡方程進行拉氏變換，得到系統的傳遞函數為：

Xt(s)受Ft(s)影響部分的傳遞函數為：

根據勞斯判據，兩部分的系統皆穩定，因此兩者綜合的系統也是穩定的。最終可以得到平動軸系統模型為：

2.2 轉動軸建模

伺服進給系統轉動軸模型，如圖2所示。動平臺的轉動慣量為Jt，轉角為θt，所受負載阻力為Tt，第二級蝸輪蝸桿減速比為ih。

圖2 轉動軸模型Fig.2 Model of Rotary Axis

將傳動機構的動力學平衡方程拉氏變換后可以得到轉動軸系統傳遞函數為：

轉動軸系統的數學模型表達式為：

其中，

2.3 伺服系統建模

在五軸數控機床加工的過程中，大多數使用的電機為永磁同步交流電機（PMSM），而這里將使用直流電機的電流環等效為交流電機的電流環。將其等效的依據為：（1）PMSM的建模存在一個解耦的過程，并且控制參數的整定較為不便；（2）考慮到直流電機與交流電機的基本控制結構都是電流環、速度環、位置環，具有一定的相似性；（3）PMSM控制參數調節參考的是二階系統的調節方式，而直流電機在不考慮控制的情況下，正是一個典型的二階系統。

如圖3所示，為電機的物理模型圖。圖中：ei(t)-電機電樞的輸入電壓；La-電樞電感；Ra-電樞電阻；em(t)-電機旋轉時產生的反電動勢；ia(t)-流過繞組的電流；T(t)-電機的輸出轉矩；θ0(t)-電機的輸出轉角；Je-電機軸的轉動慣量；MC(t)-負載轉矩。由動力學和電磁學等物理規律可以得到輸入輸出之間的關系，進而通過拉氏變換得到Θ0(s)受Ei(s)影響的傳遞函數為：

圖3 電機模型Fig.3 Model of Motor

Θ0(s)受MC(s)所影響部分的傳遞函數為：

如圖4所示為電機的控制模型，電機控制模型對應的有兩個輸入，即輸入電壓Ei(s)和負載力矩MC(s)，輸出為電機轉角Θ0(s)。

圖4 電機控制模型Fig.4 Model of Motor Control

考慮速度環得到的傳遞函數為：

其中，

2.4 單軸機電耦合模型

伺服進給系統模型不能直接將進給模型和電機模型拼接在一起，否則會產生兩個方面的問題：其一是仿真模型的代數環問題；其二是電機位置環的反饋信號檢測問題。

針對第一個問題，可以將J1折合進入Je中，從而使得該代數環等效轉化為非代數環，系統整體的傳遞函數和性質并未因此發生改變，由于不存在傳動比關系，所以折合系數為1，即Je=Je+J1。同時電機模型中Je也不是原來的Je，而是加入了主動軸轉動慣量J1的新Je，然后將J1記為0，即可避免在仿真時產生代數環。針對第二個問題，可以將伺服進給系統的位置環進行修改，即電機位置環的反饋信號改成檢測平動軸或轉動軸的最終位移。最終得到單軸機電耦合的仿真模型如圖5所示：

圖5 單軸機電耦合模型Fig.5 Electromechanical Coupling Model of Single Axis

3 伺服進給系統動態誤差分析的延時連續法

3.1 伺服進給系統的動態誤差函數

由2.1和2.2節的分析可知，平動軸與轉動軸的表達式在形式上是一致的，所以只需要分析平動軸即可類比至轉動軸。根據平動軸伺服進給系統的模型可得：

其中，

由此得到動態誤差表達式為：

由上述推導的動態誤差表達式可知，動態誤差函數受兩部分影響，一部分是輸入另一部分是加工過程中的切削力其中受輸入影響的部分為的表達式經過簡化繁分數可得分子的部分為：

分母的部分為：

這里根據由沈陽第一數控機床廠提供的門式五軸加工中心VMC0656e的相關參數值，如表1所示。得到了高階表達式的零極點圖，如圖6所示。

表1 伺服進給系統仿真參數表Tab.1 Simulation Parameter Table of Servo Feed System

圖6中的偶極子總是可以相消的，因此可以得到：

圖6 零極點圖Fig.6 Pole-zero Map

式中：參數u由系統特性決定，在這里給定的參數下，u=19.9794。將簡化后的1-GXt1(s)帶入（14），可以得到由輸入引起的動

態誤差表達式為：類似地，GXt2()s也可以用類似的方法進行化簡，其反映的是切削力部分的動態誤差，由于此部分不是這里的主要分析內容，故在此不多贅述。為了驗證簡化后的有效性，進行了兩個實驗，其一是單位階躍響應（t=1s時階躍）在簡化前和簡化后的動態誤差圖，如圖7所示；其二是周期為1s的正弦響應在簡化前和簡化后的動態誤差圖，如圖8所示。由圖不難發現，在化簡前和化簡后的伺服進給系統的動態誤差十分接近，即便時略有出入的地方，也相對于動態誤差值而言可以忽略。所以將伺服進給系統動態誤差受Xi()s影響的部分轉化為s/s+u是完全可行的。

圖7 單位階躍響應在簡化前和簡化后的跟蹤誤差圖Fig.7 Tracking Error Map of Unit Step Response before and after Simplification

圖8 周期為1s的正弦響應在簡化前和簡化后的跟蹤誤差圖Fig.8 Tracking Error Map for Sinusoidal Response with Period 1s before and after Simplification

3.2 延時連續法的數學定義

通常的動態誤差分析都是采用“搭建模型—改變模型參數—獲取輸出的動態誤差”的形式來研究特定參數對于系統動態誤差的影響程度，或者是采用終值定理的方式來分析穩態誤差。對于機床或者自行搭建的動平臺而言，采用第一種方法分析的確可以較好地達到設計參數的目的。

然而，如果要從理論上研究影響動態誤差的因素，就必須試圖獲取帶有數學解析形式的誤差表達，第一種分析方法是無法獲取這樣的理論支撐的。由于存在伺服周期的原因，所以輸入是離散的，可以將其看作是帶有零階保持特點的連續階躍輸入。如果將看成連續階躍輸入，可以寫為如下形式：

根據拉氏變換的延時定理可得：

因此輸入引起的動態誤差為：

轉化到時域上為：

上述將離散輸入轉化為延時階躍輸入形式的分析方法稱為“延時連續法（DCM，Delay Continuous Method）”，最后可以得到系統動態誤差關于輸入的表達式（22）。該方法能夠數學解析的表達動態誤差，從而為理論分析動態誤差提供支撐。推導過程為時域和頻域的互相轉化，整個轉化過程不涉及近似處理，因而是絕對準確的。根據DCM方法得到的表達式，可以得出以下結論：

（1）式（22）中ti序列由伺服周期決定，在系統給定情況下，伺服周期通常是確定的。參數u由系統特性決定，在系統給定的情況下，僅僅能夠通過調節PID的控制參數來調節u。因此在給定PID參數下，輸入引起的動態誤差僅取決于Δxi。試件若要有效地檢測系統的動態誤差，Δxi應當涉及一定的范圍，并且與Δyi、Δzi、ΔAi、ΔBi、ΔCi形成多種多樣的組合，從而可以確保加工任意其他零件都能夠合格。

（2）一旦檢測試件涉及了多種范圍和多種組合，加工該試件后發生了超差現象，則在伺服周期無法改變的情況下，可以采取調節系統的控制參數，以達到將參數u調大的目的。如果反復調節機床控制參數仍不能取得較好效果，此時說明機床本身動態性能較差，在這種情況下，可以考慮降低進給速度，因為在G代碼一定的情況下，線性插補后才獲得每個伺服周期的位置指令，G代碼一定，進給速度越小，則相鄰兩段代碼之間的插補越密，從而插補出來的Δxi會偏小，進而降低動態誤差。

（3）與G代碼的疏密關系不大，G代碼較疏時，特定進給速度下直線插補將會插補較多，G代碼較密時反之，因此總體而言在G代碼合理情況下差別不大，僅有的差別存在于疏密不同插補的點的坐標可能有所不同，但都是位于相鄰兩段G代碼之間的線性區域，因此影響較小，可以忽略不計。

DCM方法在穩態時與終值定理得到的結論也基本一致，根據終值定理，接近穩定時s→0，因此：

即輸入引起的動態誤差主要與輸入速度項和參數u息息相關，輸入是連續階躍形式，因此其速度可以認為就是與Δxi正線性相關的一個量。而穩態誤差與u負相關，也與DCM方法得出的結論吻合。

此外，DCM方法不僅在系統化簡為一階的時候可行，只要系統能簡化成較為簡單的形式，都可以用DCM方法推導，從而獲得動態誤差的解析表達式。

4 延時連續法有效性驗證

DCM方法的推導過程在理論上是沒有問題的，本節對推導結果進行仿真分析，以進一步驗證DCM方法的有效性。通過對比分析仿真實驗結果和理論推導得到的動態誤差值，可以對DCM方法的有效性進行驗證。

首先需要搭建DCM驗證實驗的Simulink仿真環境。在實際的五軸數控機床加工過程中，各個軸的伺服進給系統輸入由不同的G代碼的插補數據得到，一般伺服周期在4ms左右，調整時間大致為（20～100）ms之間。為了更好的還原實際加工中輸入信號的各種連續階躍形式，這里采用正弦函數作為實驗的目標函數。給定輸入的目標函數為然后假定伺服周期為4ms對該輸入目標函數采樣后作為實際輸入［Time，X］，其中Time為伺服周期采樣的時間序列，X為采樣后的輸入值。如圖9所示，為將離散輸入轉換成連續階躍輸入的示意圖。同時設定傳遞函數為u/s+u，其中，u采用得到的數值19.9794。此時動態誤差可以表示為sXi()s/s+u的形式，與上一節DCM方法推導時所使用的形式一致。Simulink仿真模型如圖10所示，ei跟蹤誤差的時域輸出。

圖9 DCM驗證實驗的連續階躍輸入Fig.9 Continuous Step Input for DCM Verification Experiments

圖10 DCM驗證實驗的Simulink仿真模型Fig.10 Simulink Model for DCM Verification Experiment

采用DCM方法推導的動態誤差數學表達式直接計算出誤差值，該實驗輸入為目標函數在伺服周期作用后產生的連續階躍函數。如圖11所示，可以看出Simulink仿真與DCM方法計算結果基本完全重合，在DCM方法的理論推導過程中未有任何的近似處理，因此理論上就應當完全重合，由此實驗結果可以證明DCM方法的有效性。

圖11 Simulink仿真與DCM方法計算結果比較Fig.11 Comparison of Simulink Simulation and DCM Method

5 結論

（1）根據五軸機床進給系統的實際機械結構建立了進給系統的數學模型，同時用直流電機模型近似替代PMSM作為伺服系統的電機模型，從而構建了伺服進給系統的數學模型和Simulink仿真模型。

（2）基于建立的動態誤差傳遞函數特性，對其進行偶極子相消，獲得了簡化形式的動態誤差傳遞函數。基于這一簡化的誤差函數，提出了分析伺服進給系統動態誤差的DCM方法。

（3）通過Simulink仿真實驗驗證了DCM方法理論推導的有效性。實驗結果顯示，Simulink仿真與DCM方法計算結果基本完全重合。

（4）提出的DCM動態誤差研究方法可以建立進給速度、伺服周期和調整時間之間的數學關系，從而可以進一步建立模型的物理參數與上述因素之間的關系，達到建立動態誤差研究理論支撐的目的，此外還可以用于插補方法和進給速度的選擇研究。