基于Galerkin 法研究應力波作用下復合材料板的動力學失穩

王志鵬，韓志軍，王龍飛

（1. 太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024；2. 太原理工大學生物醫學工程學院，山西 太原 030024）

復合材料板具有較高的強度質量比、良好的耐腐蝕性和優異的可設計性，被廣泛應用于航空航天和工業制造等領域[1]。在實際使用中復合材料板經常受到不同形式的沖擊荷載，從而產生振動和屈曲問題，因此沖擊載荷作用下復合材料板的動力穩定性問題備受關注。

近年來關于復合材料板的研究越來越多，尤其是沖擊荷載作用下復合材料板的動力穩定性問題研究[2]，對工程部件結構設計和使用具有重要的意義。Sun 等[3]研究了在加熱環境中應力波對功能梯度圓柱殼軸向沖擊屈曲的影響；毛柳偉等[4]對彈性直桿在應力波作用下的動力分叉屈曲進行了分析與探討，提出了求解應力波作用下直桿動力屈曲的數值方法；Lepik[5]討論了在應力波影響下軸向壓縮的彈塑性梁的屈曲；Zhang 等[6]分析了不確定初始幾何缺陷對薄板屈曲的影響；Abdelaziz 等[7]利用雙曲線剪切變形理論，分析了在各種邊界條件下復合材料板的彎曲變形和屈曲；Kouchakzadeh 等[8]采用線性和旋轉彈簧的均勻分布來模擬邊界條件，對矩形層壓復合板的屈曲進行了分析；Czapski 等[9]通過數值和實驗方法，研究了殘余應力對壓縮至破壞期間薄壁層壓板屈曲性能的影響。

在實際工程中，復合材料板多應用于振動環境，其在動力響應下的動態特性和振動分析是必不可少的，因而對該類材料的振動屈曲研究至關重要。Kuo[10]研究了兩種非均勻分布纖維復合材料板的振動屈曲問題，Villarreal 等[11]對典型正交異性板的本征頻率和振動屈曲進行了理論分析，Eftekhari 等[12]提出了通過組合應用有限元方法和微分正交方法求解矩形板的振動屈曲問題，Rehman 等[13]探討了殼體結構的缺陷和損壞對結構振動屈曲的影響，Sayyad 等[14]將三角剪切變形理論應用于復合板的變形和振動屈曲研究。

關于復合材料板的振動屈曲問題已開展了較多的研究，但大多未考慮應力波效應對振動屈曲的影響，而動力屈曲一般與應力波相聯系且具有局部發生的特點，研究含初始缺陷的復合材料板能更好地揭示實際工程中復合材料板在不同工況下發生動力屈曲的機理。基于此，本研究利用Kirchhoff 薄板理論和Hamilton 原理，考慮應力波效應，建立含初始幾何缺陷的四邊簡支復合材料板的振動控制方程，得到板的屈曲臨界荷載表達式，在此基礎上通過數值計算討論初始幾何缺陷、振型函數初相位、鋪層角度、屈曲模態階數和鋪層層數對復合材料板振動屈曲臨界荷載的影響，為工程實際提供理論依據。

1 復合材料板的控制方程

復合材料板在x=La處為固定邊界條件，其余3 邊為簡支邊界條件，在z= 0 的中性面上受x方向的面內階躍荷載N作用，如圖1 所示。板在z方向上含初始幾何缺陷w1，且x、y、z方向的位移分別為u、v、w。復合材料板的長度、寬度和厚度分別為La、Lb、h，由n層單層板組成， θ為單層板的鋪層角度，即纖維材料鋪設方向與x方向的夾角（見圖1）。

圖1 復合材料板結構示意圖Fig. 1 Schematic diagram of composite plate structure

根據Kirchhoff 薄板理論及經典彈性理論，復合材料板的位移與應變、彈性曲面的曲率和扭率的表達式為

復合材料板在左端受面內沖擊荷載N作用（見圖1）時，應力波沿x方向在板內傳播，其應力變化如圖2 所示。

圖2 應力波傳播示意圖Fig. 2 Schematic diagram of stress wave propagation

當應力波傳播至波陣面位置Lcr（臨界長度）時，板發生振動屈曲，板的內力Nt和應力波波速c分別表示為

板發生振動屈曲時的變形能可以表示為

根據 Kirchhoff 薄板理論及經典彈性理論，薄板中面在變形過程中沒有伸長變形，將板的本構關系代入式(16)～式(18)中，略去含u0和v0的項，得到復合材料板在面向階躍荷載激勵下的控制方程

給予對照組的120例孕婦常規孕期護理,其主要護理內容為飲食、行為、常規檢查、一般治療等。而對照組的120例孕婦,則是以常規孕期護理為基礎,增添孕期健康教育,其主要內容如下。

由屈曲模態確定的缺陷分布形式是板結構最有可能發生的屈曲形式，能夠很好地確定結構的缺陷敏感性[18]。對于復合材料板在制造過程中出現的初始幾何缺陷，引入屈曲模態的 ε倍變形作為初始幾何缺陷[19]，可以表示為

式中：i、j為屈曲模態階數，i,j=1,2,3,···；Rij為板的第(i,j)階模態幅值； ε表示初始幾何缺陷系數。

根據式(21)和式(22)，利用棣莫弗公式對控制方程式(20)中的各項進行求導并化簡，得到

2 算例分析

利用MATLAB 數值分析應力波未反射時初始幾何缺陷、初相位、鋪層角度、屈曲模態階數、鋪設厚度以及鋪層層數對復合材料板振動屈曲臨界荷載的影響，使用的材料參數見表1[21]。

表1 復合材料板參數[21]Table 1 Material parameters of composite plate[21]

圖3 顯示了復合材料板的模態階數i為1、2、3，j為1 時的屈曲模態。當板的x方向模態增大時，x方向的屈曲模態第一峰值增大且波數增加，而y方向的屈曲模態呈正對稱分布。模態階數的增加使板振動的屈曲模態變得更復雜。

圖3 x 方向模態取值增大時板的屈曲模態Fig. 3 Buckling mode of composite plate with increasing mode value in x direction

設置7 組算例，分別以初始幾何缺陷、初相位、鋪層角度、x和y兩個方向屈曲模態階數、鋪層層數及鋪設厚度為變量進行算例分析，研究以上因素對板振動屈曲臨界荷載的影響，算例參數見表2。

表2 算例分析參數表Table 2 Example analysis parameter table

將A 組數據代入式(25)中，可以得到不同初始缺陷系數對復合材料板振動屈曲的影響，如圖4所示。由Lcr-Ncr曲線可知：在應力波傳播過程中，Ncr呈指數下降，分為敏感區和非敏感區。應力波在Lcr＜ 0.4 m 區域傳播時，Ncr的變化較陡峭，該區域為敏感區；應力波在Lcr＞ 0.4 m 區域傳播時，Ncr的變化趨于平緩，該區域為非敏感區，因此敏感分界點為0.4 m。當選取的初始缺陷系數增大時，臨界荷載Ncr也隨之增大。在敏感區，初始缺陷系數對臨界荷載Ncr的影響較大，且隨應力波傳播呈減小趨勢。此外，初始缺陷系數對非敏感區的影響較小。圖4 表明，初始幾何缺陷系數越大，板越容易發生屈曲。

圖4 不同初始缺陷系數條件下Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 4 Relationship between Ncr and Lcr under different initial defect coefficients

圖5 x 方向模態階數不同時Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 5 Relationship between Ncr and Lcr with different order of modes in x direction

將C 組數據代入式(25)中，可以得到不同的y方向模態階數對復合材料板振動屈曲的影響，如圖6 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：當選取的y方向模態階數增大時，臨界荷載Ncr也隨之變大。在應力波傳播過程中，在敏感區y方向模態階數對臨界載荷基本沒有影響，而在非敏感區有極小的影響。圖6 表明，y方向模態階數的變化對板屈曲臨界荷載基本沒有影響。

圖6 y 方向模態階數不同時Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 6 Relationship between Ncr and Lcr with different order of modes in y direction

將D 組數據代入式(25)中，得到不同鋪層角度對復合材料板振動屈曲的影響，如圖7 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：在敏感區，不同的鋪設角度對臨界荷載Ncr的影響較大，且隨應力波的傳播不斷減小，到達非敏感區后趨于穩定。圖7 表明，鋪層角度小的單層板的層數越多，板的臨界屈曲荷載越大，說明復合材料板的鋪設角度直接影響板的屈曲臨界荷載。

圖7 不同鋪層角度條件下Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 7 Relationship between Ncr and Lcr under different laying angles

將E 組數據代入式(25)中，得到不同初相位對復合材料板振動屈曲的影響，如圖8 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：振型函數的初相位越大，對應的臨界荷載越大。在敏感區，振型函數的初相位對臨界荷載Ncr的影響較小，且隨應力波的傳播不斷減??；到達非敏感區之后，影響趨于平緩。圖8 表明，振型函數的初相位越大，板的屈曲臨界荷載越大。

圖8 不同初相位條件下Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 8 Relationship between Ncr and Lcr under the condition of initial phase of different mode functions

將F 組數據代入式(25)中，得到不同鋪層層數對復合材料板振動屈曲的影響，如圖9 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：當按照不同層數鋪設時，敏感區的臨界荷載Ncr的變化較大，且隨應力波的傳播不斷減?。坏竭_非敏感區之后變化較小并趨于平緩。圖9 表明，對于厚度固定且對稱鋪設的板，當鋪設層數達到7 時，其屈曲荷載隨層數增加趨于穩定。

圖9 不同鋪層層數下Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 9 Relationship between Ncr and Lcr under different laying modes

將G 組數據代入式(25)中，得到不同鋪設厚度對復合材料板振動屈曲的影響，如圖10 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：板的鋪設厚度越大，對應的臨界荷載越大。在敏感區，不同的板厚對臨界荷載Ncr的影響很大，且隨應力波的傳播不斷減小，到達非敏感區后趨于穩定。圖10 表明，復合材料板的鋪設厚度將直接決定板的屈曲臨界荷載。

圖10 不同鋪設厚度下Ncr 與Lcr 的關系曲線Fig. 10 Relationship between Ncr and Lcr under different thicknesses

3 結 論

基于Kirchhoff 薄板理論和Hamilton 變分原理，建立了具有初始幾何缺陷的四邊簡支復合材料板的振動控制方程。采用伽遼金法，選取符合邊界條件的振型函數求解控制方程，得到屈曲臨界載荷表達式。數值計算結果表明：應力波在未發生反射前的傳播過程中，復合材料板的振動屈曲臨界載荷隨著臨界長度的增大、鋪設厚度的減小、初始幾何缺陷系數的增大、振型函數初相位的減小而減?。粡秃喜牧习宓母鲗愉亴咏嵌扰c荷載作用方向的夾角越小，屈曲臨界載荷越大，當對稱鋪設層數達7 層時，臨界荷載趨于穩定。研究結果可為工程中復合材料板的結構設計與應用提供一定的參考。