三角函數背景的導數壓軸題的解題策略

謝望春

摘 要：本文通過對與三角函數交匯的導數壓軸題的解法探究分析，提出幾種較為實用的解題策略。通過探究與分析，活躍思維，同時更好的讓高中學生掌握這一類的知識點，讓三角函數交匯的導數壓軸題不在是學生心中的難點。

關鍵詞：三角函數;導數;壓軸題;解法

導數是高中數學的重點，同時也是大學高數的研究方向之一，導數為高中初等數學的學習及解題提供了便捷的思維，同時也是大學中進一步學習微積分的基礎，站在高的角度去看待導數問題，可以更加清楚的看出問題本質，解決導數問題更加便利。

導數類問題同樣也是各類高考壓軸題的常客，也是很多高中學生眼中令人頭疼的一個知識點。因此，如何破解導數壓軸題，是現如今高中數學教學的一大難點。但是高考的命題人非常中意于此類題目，于是涌現出了一個又一個的經典題目，也是這些題目豐富了高中數學的教學內容，對學生綜合素養的提高起到了很大的作用。

在這類題目中，與三角函數交匯的導數壓軸題更可謂是豐富多彩，在全國卷和各地模擬卷中已逐漸成為考察熱點，需要引起我們重視。學生遇此類問題，普遍得分率較低。主要原因是三角函數求導依然帶有三角函數，使得求導、探點過程較復雜，一般需要分類討論，其解題切入點較難。對此，筆者通過對近幾年來的數學三角函數交匯的導數壓軸題的各類解法進行探索和分析，總結出此類問題的幾種解題策略，以期拋轉引玉，供大家參考并斧正。

一、利用泰勒公式對函數進行放縮

函數的不等式類問題，一般都是轉化為導數的零點問題然后就行分類討論，對與三角函數的有關不等式證明的題目的常見方法也是一種常見的方法，但由于分類討論比較繁瑣，并且分類討論中也可能會涉及到一定的放縮問題，所以此時，使用泰勒公式對函數進行放縮是一種簡單快捷的解題方法。

例1? （2019年石家莊一模節選）已知函數f（x）=lnx+;g（x）=（a∈R），求證：當-1≤a≤1時，f（x）>g（x）

解析? 令F（x）=f（x）-g（x）=，x∈（0，∞），當-1≤a≤1時，要證f（x）>g（x），即證F（x）>0，即xlnx-asinx+1>0。即證xlnx>asinx-1

①x>1時，明顯xlnx>0，再由于-1≤a≤1，-1≤sinx≤1，asinx-1≤0，此時明顯不等式成立。

②【下面我們就想到題目中有ex，cosx，lnx，我們可以用泰勒不等式，三角函數有關不等式進行放縮，常用不等式ex≥x+1，這里提出幾種該式子的變形不等式，變形1：e-x≥1-x;變形2：e-x≤（x>-1）;變形3：lnx≤x-1（x>0）;變形4：ln≥-x+1（x>0）;變形5：lnx≥-+1（x>0），變形6：ln（x+1）≤x（x>-1），這里我們用到變形5】

當0asinx-1，由于-1≤a≤1，只需證明xlnx>sinx-1，xlnx>sinx-1可以得出xlnx+1>x，由于變形6得出只需證明x>sinx，顯然成立，綜上原不等式成立。

提示：相關不等式在做題時要給出證明。

點評：本題的參考答案是采用比較標準的放縮法，但是高中放縮法比較抽象，學生難以想到放縮的程度，導致能順利解答出來的學生不多。但是若學生能提前掌握泰勒公式延伸出的相關放縮的不等式，直接采用放縮法解決，該題目就顯得簡潔容易很多，是一種值得提倡的做題方法。

二、利用洛必達法則求解

遇到含有參數的導數問題的時候，比較常見的思路就是優先將參數分離出去，然后利用不含參數的函數性質去解決，這對一些含有參數的三角函數導數問題是比較好的解決方法，但是不是所有的含有參數的三角函數導數問題在分離參數后，就能利用函數的性質去解決問題的，此時，洛必達法則可派上用場。

例：（2008全國Ⅱ理22題）已知函數f（x）=

（1）求f（x）的單調區間

（2）若f（x）≤ax在[0，∞﹞恒成立，求a的取值范圍。

解析

（1）f'（x）=，f（x）在區間（2kπ-π，2kπ+π）（k∈Z）上是增函數，在區間（2kπ+π，2kπ+π）（k∈Z）上是減函數。

（2）令g（x）=ax-，

得g'（x）

當x=0時，a∈R

當x>0時，，

則g'（x）=，令h（x）=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x，

h'（x）=2sinx（sinx-x）

當x∈（0，π）時

h'（x）=2sinx（sinx-x）<0，使用洛必達法則得

當x∈（π，+∞）時，

綜上所述a≥

提示：洛必達法則為高數必修知識點，用于解決高中數學題目方便簡潔明了，但也要求學生超綱學習高數相關知識點，比較費時間。

點評：本題目首先應用了比較常見的分離參數的方法，這一步很多學生都能做到，但是在后面的分類討論中應用到洛必達法則，作為高數知識點，能應用的同學不多，雖然本題也能應用常規方法做出，但是洛必達法則的解題步驟簡單明了，是一種非常值得推廣的一種方法。

三、充分利用三角函數性質求解

三角函數主要有三大性質，分別為：有界性、單調性，周期性。與三角函數交匯的導數壓軸題除了會注重考導數知識點的掌握應用程度外，也有一些題目會注重考三角函數的性質相關類題目，遇到這種題目應當熟悉三角函數三大性質，靈活應用。常見的需要應用三角函數性質的壓軸題為“零點”、“極值”類問題。

例3：（2019全國Ⅰ文科20題）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）為f（x）的導數。

（1）證明：f'（x）在區間（0，π）存在唯一零點;

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，求a 的取值范圍。

解析 （1）f'（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1

令g（x）=cosx+xsinx-1，則g'（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

當x∈（0，π）時，令g'（x）=0，解得x=

∴當x∈（0，）時g'（x）>0;當x∈（，π）時g'（x）<0

∴g（x）在（0，）上單調遞增，在（，π）上單調遞減

又∴g（0）=1-1=0，g（）=-1>0，g（π）=-1-1=-2

即當x∈（0，）時，g（x）>0，此時g（x）無零點，即f'（x）無零點

∵g（）·g（π）<0???? ∴x0∈（，π），使得g（x0）=0

又g（x）在（，π）上單調遞減

∴x=x0為g（x），即f'（x）在（，π）上的唯一零點。

綜上所述：f'（x）在區間（0，π）存在唯一零點

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，即f（x）-ax≥0恒成立

令h（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-（a+1）x

則h'（x）=cosx+xsinx-1-a，h''（x）=xcosx=g'（x）

由（1）可知h'（x）在（0，）上單調遞增，在（，π）上單調遞減

且h'（0）=-a，h'（）=-a，h'（π）=-2-a

∴h'（x）min=h'（π）=-2-a，h'（x）max=h'（）=-a

點評：該類題目難度并沒有太高，但是考驗學生的細心及耐心程度以及對三角函數性質的熟悉程度。做題時需小心謹慎。

總之，含有三角函數的導數壓軸題難度比較大，泰勒公式高中教材中雖然涉及，但是并沒有要求學生掌握，洛必達法師屬于高數所學內容，高中生想要學透并且靈活應用起來比較難，最常用的就是應用三角函數的性質去解決問題，一般解題思路較為繁瑣，需要學生對三角函數性質方面有比較透徹的了解，教師在講課方面應當注重該知識點的掌握及應用。

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