基于混合靈敏度設計的結構H∞魯棒半主動控制

林秀芳，陳淑梅，林蔚青

1. 閩江學院 福建省先進運動控制重點實驗室，福州 350108；2. 福州大學 福建省流體動力與電液智能控制重點實驗室，福州 350108；3. 寧德師范學院 信息與機電工程學院，福建 寧德 352000

土木結構抗震性能的優劣關乎人類生命和財產安全，如何提高土木結構的抗震能力一直以來都是工程領域的研究熱點．磁流變阻尼器(MRD)是一種頗具應用前景的智能半主動控制裝置，它兼有主動控制裝置和被動控制裝置的優點．近年來，基于它的振動控制研究已經獲得越來越多的關注[1-2]．為了使MRD的優良減震特性得到充分發揮，基于它的半主動控制研究仍有待進一步深入.

現有的利用MRD進行振動控制的算法主要包括線性最優控制[3]、H∞控制[4]、 滑?？刂芠5]、 模糊控制[6]、 神經網絡控制[7]等．在結構振動控制中，由于存在系統建模誤差和結構參數攝動，難以建立精確的控制模型，因此要求所采用的控制算法具有較強的魯棒性．作為一種魯棒控制方法，近年來H∞控制在MRD半主動振動控制中的研究受到越來越多的關注．Yeganehfallah等[4]為了實現地震波激勵下的斜拉索橋MRD振動控制，設計了一種H∞魯棒控制器．研究結果表明，這種控制方法能夠有效減小參數不確定性對系統地震響應的影響．Wu等[8]針對MRD懸架減振問題，設計了一種考慮時變載荷的H∞半主動控制方法，仿真和實驗結果均表明在不同的路況激勵下，該控制方法都能提升乘坐舒適度和車輛駕駛性能．然而，這些研究中的H∞控制算法更側重考慮系統的魯棒穩定性，控制器的設計相對比較保守.

混合靈敏度H∞控制作為一種典型的H∞控制，可以通過調整控制器結構以及對閉環傳遞函數進行增益成形，滿足系統的動態特性的不同需求，在保證魯棒穩定的同時改善系統的性能指標．張子健等[9]針對機翼顫振問題，設計了一種混合靈敏度H∞控制器，仿真結果表明，相比LQG控制器，該控制方法將顫振速度提高了12.2%，能夠更加有效地抑制機翼顫振．?etin等[10]針對全階-六自由度建筑結構的MR阻尼器振動控制問題，提出一種考慮降階模型的混合靈敏度H∞半主動控制方法，實驗結果表明，這種控制方法具有良好的結構響應控制效果和魯棒穩定性．但是，混合靈敏度H∞控制性能在很大程度上取決于其加權函數的選擇，且當控制對象和控制指標改變時，其加權函數也必須隨之改變．而目前加權函數還沒有確切的選擇方法，函數之間也沒有特定的規律可循，通常需要經過一系列試計算確定．為了克服加權函數的選取對工程經驗的依賴性，采用智能優化算法對其進行優選是一種切實可行的方案[11].

智能優化算法是一類能夠有效求解復雜非線性問題的優化方法，具有很強的通用性和魯棒性[12-14]．鯨魚優化算法(WOA)由Mirjalili等[15]于2016年提出，是一種新興的群智能優化算法．該算法需要調節的參數很少，算法簡單易實現，且具有很強的尋優能力．該文獻研究結果表明，WOA在求解一系列數學優化問題和結構設計問題時所展現的性能均優于差分進化算法和重力搜索算法等多種現有的優化算法．Aljarah等[16]采用WOA訓練多層感知神經網絡，仿真結果表明，針對大部分數據集而言，WOA在收斂精度和收斂速度方面的性能都優于反向傳播算法和包括遺傳算法、 人工蜂群算法以及蟻群算法在內的其他6種智能優化算法．此外，WOA還被成功地用于解決傳感器網絡優化[17]、 電力設備定位優化[18]、 機組組合[19]以及無線網絡資源分配[20]等工程問題.

基于上述分析，本文針對地震波激勵下的結構振動問題，考慮到結構模型中忽略的不確定性和減振性能要求，提出一種改進的混合靈敏度H∞魯棒半主動控制方法．其中，鑒于混合靈敏度H∞控制器加權函數難以確定的問題，提出采用WOA對其進行優化設計．雖然WOA已在多領域得到成功應用，但據筆者所知，尚未發現其在H∞控制器優化設計方面的研究．在該半主動控制策略中，首先利用基于WOA優化的混合靈敏度H∞控制器計算主動控制力，然后引入限幅電壓定律(CVL)[1]，使其根據主動控制力計算MRD的控制信號，最終實現基于MRD的半主動控制．為驗證所提出的控制方法的有效性，本文將針對地震波激勵下的Benchmark結構，通過仿真測試，比較所提出的控制方法與現有其他幾種控制方法的控制效果．此外，還將分析地震波和結構參數變化時該控制方法的控制效果.

1 半主動控制策略

本文所提出的H∞魯棒半主動控制策略(簡稱WOA-H∞CVL)框圖見圖1．該半主動控制系統由兩級子系統組成，第一級是混合靈敏度H∞控制系統，其作用是計算閉環控制系統的主動控制力．鑒于全狀態結構響應往往難以直接測量，即使可以全部測量，傳感器的需求量將大幅增加，這將會增加控制成本，同時還有可能降低系統的可靠性，因此，本文采用基于加速度的輸出反饋的控制方式.

圖1 WOA-H∞CVL半主動控制策略框圖

確定了最優主動控制力后，決定MRD輸入電壓的切換方法是MRD半主動控制的關鍵．本控制策略中第二級控制系統是采用限幅電壓定律將主動控制力轉換成MRD的控制信號．其核心控制律[1]是：當MRD的阻尼力f=fc(主動控制力)時，控制電壓u維持原值； 當f

本文采用WOA優化混合靈敏度H∞控制系統，在優化過程中，CVL也參與閉環計算，以獲得更優的主動控制力．由于位移響應和加速度響應分別與建筑結構的安全性和建筑內部人員在地震時的體感舒適度密切相關，故將這兩種結構響應定為WOA優化目標函數(見公式(16))的兩大因素．需要注意的是，在本文中仿真時采用現象模型[1]作為MRD的正向模型，以替代真實的阻尼器，用于計算阻尼力.

2 結構減振混合靈敏度H∞控制

2.1 標準H∞控制

廣義控制對象G和控制器K組成的標準H∞閉環系統如圖2所示．圖中，w，u，y和z分別是外部激勵輸入、 控制輸入、 測量輸出和受控輸出.

圖2 標準H∞控制框圖

廣義控制對象G是一個兩輸入-兩輸出的開環系統，可將其分塊表達為

(1)

受控輸出z和受控輸出y可用如上的分解矩陣表達為

z=G11w+G12u

y=G21w+G22u

(2)

根據圖2，控制輸入u表示為

u=Ky

(3)

如果(I-G22K)是可逆的真實有理矩陣，則

z=(G11+G12K(I-G22K)-1G21)w

(4)

其中，I是單位矩陣．于是，從w到z的傳遞函數Tzw可用線性分式變換表示為

Tzw(s)=LFT(G，K)=G11+G12K(I-G22K)-1G21

(5)

因此，標準H∞控制的設計問題可描述為求解一個正則實有理控制器K，使閉環系統內穩定且閉環傳遞函數Tzw的H∞范數達到最小.

2.2 標準H∞控制混合靈敏度問題

混合靈敏度H∞控制是對傳遞函數Tzw進行加權處理，構建混合靈敏度廣義對象模型．鑒于地震波激勵下的結構的減振控制屬于抗干擾問題，本文采用PS/T型混合靈敏度控制[10]，該混合靈敏度H∞控制標準形式如圖3所示.

圖3 混合靈敏度H∞控制標準形式

圖中，P是名義對象，即真實的控制對象．虛線框所示內容為廣義控制對象．K是控制器系統，u是控制器產生的控制力，w是地震波激勵，y是測量得到的結構加速度響應，z1和z2是評估信號.

W1稱為靈敏度加權函數，用于描述擾動的頻譜，又稱為干擾衰減性能指標，引入該加權函數是為了保證H∞控制系統的魯棒性能，即提高系統輸出信號y抵抗外部擾動w的能力．W2稱為補靈敏度加權函數，它代表系統乘性不確定性的范數界，通過設計合理的W2可以抑制未建模動態不確定性，并限制控制量的大小，以防執行器因控制量過大造成損害.

圖3虛線框中的名義對象P與加權函數W1和W2組成了標準H∞控制中的廣義對象G，G可表達為

(6)

針對圖3，可以構建一個標準受控系統，則從擾動輸入w到受控輸出z的閉環傳遞函數可表示為

(7)

令

S=(I-PK)-1T=(I-PK)-1PK

則S和T分別稱為靈敏度函數和補靈敏度函數．S越小，對外干擾信號的抵抗能力越強．T越小，系統的魯棒穩定性越強.

因此，閉環傳遞函數可重新定義為

(8)

該混合靈敏度設計的目的是針對控制對象P，通過選擇合適的加權函數W1和W2，找到一個合適的控制器K，使得上述閉環系統的閉環系統H∞范數達到最小.

針對該混合靈敏度H∞控制問題，當將其轉化為標準H∞控制問題后，可以采用線性矩陣不等式(LMI)方法求得控制器K．由上述分析可知，在確定實際受控對象P之后，廣義對象G由加權函數決定，因此控制器設計成功與否的關鍵在于加權函數W1和W2的選擇.

3 基于WOA的半主動控制系統的優化設計

3.1 WOA的工作原理

鯨魚優化算法(WOA)是一種基于座頭鯨Bubble-net捕食方法的新型元啟發式優化算法，在該算法中，每一個鯨魚個體都攜帶一串對應其位置的代碼(即問題的可能解)．基于文獻[14]，WOA的核心數學模型可以描述為搜索和包圍獵物與螺旋更新位置兩個階段，其相應的偽代碼為

初始化鯨魚種群X(0)=[X1，X2，…，XN]

計算每個解的適應度

X*=最優解

開始執行WOA搜索

t=1

當t≤最大迭代次數Tmax時，

更新每個解的a，A，C，l以及p

如果p<0.5

如果 |A|<1，則

用公式(14)更新當前解

如果 |A|≥1，則

選擇一個隨機解Xrand

用公式(10)更新當前解

如果p≥0.5，則

用公式(15)更新當前解

檢驗解中的任何一個參數是否超過給定的搜索空間，如有，對其進行修正

計算每個解的適應度

如果有更優解，則更新X*

t=t+1

結束循環

返回X*

結束程序

1) 搜索和包圍獵物

搜索獵物的數學模型表達為

D=|C·Xrand-X|

(9)

X(t+1)=Xrand-A·D

(10)

其中t表示目前迭代次數，X表示該個體的位置向量，Xrand是從當前種群中選取的隨機位置向量．在每次迭代后如果有更優解，位置向量X將被更新．A和C是系數向量，表達為

A=2a·r-a

(11)

C=2·r

(12)

式中，a在整個迭代過程中沿著2～0線性下降，r是一個變化范圍為[0，1]的隨機向量.

需要注意的是，按照公式(9)和公式(10)執行獵物搜索的前提條件是|A|≥1，該搜索機制側重算法的全局搜索．當|A|<1時，將執行收縮機制以便包圍獵物，這是局部深度搜索階段．此時，根據如下公式進行解的更新：

D′=|C·X*(t)-X(t)|

(13)

X(t+1)=X*(t)-A·D′

(14)

其中，X*表示目前為止最優的位置向量(即最優解).

2) 螺旋更新位置

座頭鯨在收縮包圍獵物的同時，還作螺旋式上升運動．為了模擬這種運動行為，假設采用收縮包圍機制和螺旋上升機制更新解的概率均為50%．該過程的數學模型如下：

(15)

其中p是一個[0，1]之間的隨機數，根據這個值，算法能夠在螺旋和圓周運動之間切換，其中，后者也是一種局部深度搜索過程．D″=|X*(t)-X(t)| 表示第i個鯨魚個體迄今為止與最佳獵物的距離．b是用于定義對數螺旋線的常量，l是一個[-1，1]之間的隨機數.

3.2 半主動控制系統的優化流程

WOA-H∞CVL控制系統的具體設計流程描述如下：

1) 確定優化目標函數：

Obj=αO1+(1-α)O2

(16)

式中，

2) 根據名義受控對象和MRD的數量，確定控制系統的輸入和輸出的數量，并確定加權函數的結構及其待優化參數．其中，為使所設計的控制器結構簡單且在工程上易于實現，令加權函數均為對角化的實有理函數陣，即

W1=diag(w11，w12，…w1m)

(17)

W2=diag(w21，w22，…w2n)

(18)

為便于解耦計算，令該m輸入-n輸出的混合靈敏度H∞控制系統的加權函數上述元素的結構均為一階正則形式，見第4.1節.

3) 對代表加權函數參數完整信息的待優化參數進行編碼．為了同時保證控制系統的抗干擾能力和穩定魯棒性，分別將加權函數W1和W2選為低通濾波器和高通濾波器．在此基礎上，根據受控對象屬性界定待優化參數的搜索空間.

4) 算法初始化：隨機生成鯨魚個體的位置信息X=[X1，X2，…，XN]，將其作為初始的待優化參數，并初始化算法參數，包括種群大小N和迭代次數Tmax.

5) 計算適應度：首先根據步驟2和3確定每個鯨魚個體對應的加權函數W1和W2，然后求解廣義對象G，接著基于LMI方法求解相應的控制器K，最后根據公式(16)計算第i個個體位置向量Xi的適應度F(Xi)．由于WOA-H∞CVL半主動控制系統是由混合靈敏度H∞主動控制系統和CVL組成的閉環系統，即使主動控制閉環系統穩定，其開環控制系統也可能失穩．因此計算適應度F(Xi)時，首先判斷混合靈敏度H∞開環系統是否穩定，如果否，則該解無效，令F(Xi)=1； 否則，繼續判斷H∞CVL閉環半主動控制系統中任意一個主動控制力是否超過MRD的出力量程，如果是，則該解也無效，令F(Xi)=1； 否則，根據公式(16)計算F(Xi)； 令t=0，進入步驟6.

6) 開始迭代計算：令t=t+1，更新a，A，C，l以及p.

7) 更新解Xi：如果p<0.5，則執行如下操作：如果|A|≥1，執行獵物搜索操作，即在當前種群范圍中隨機確定一個位置Xrand并根據公式(10)更新Xi； 如果|A|<1，執行獵物包圍操作，即利用公式(14)更新Xi.

如果p≥0.5，則根據公式(15)執行螺旋更新操作.

8) 判斷解的有效性：更新完每個個體的位置后，判斷是否有任何參數超出預定的范疇，如果存在大于上限值(或者小于下限值)的參數，則用上限值(或者下限值)取代該參數.

9) 更新整個種群的最優解：如果新種群的最優解優于原種群的最優解，則將前者替代后者； 否則，保持后者不變.

10) 判斷是否滿足算法終止條件：如果t

11) 求解MRD阻尼力：利用最優參數求解加權函數，繼而求解出最優主動控制力，結合CVL計算半主動閉環控制系統中MRD所需的控制電壓，并基于MRD正向模型計算減振所需的阻尼力.

4 數值計算及分析

4.1 系統建模及優化結果

減震對象是一個在地面和第一層之間安裝一個MRD的三層剪切框架Benchmark結構，對該結構采用前20 s的El-Centro地震波激勵，按照相似準則，將地震波的時間歷程縮短為原來的五分之一[1，21-22]．該結構的質量矩陣M、 剛度矩陣K和阻尼矩陣C分別為

MRD-受控結構系統的標準狀態方程為

(19)

y(t)=Cz(t)+Du(t)

(20)

針對本文減振對象，上述公式中的n=3，m=1，Λ=[-1，-1，-1]T，Γ=[-1，0，0]T，如令該控制器的輸入僅為第三層的加速度，則該混合靈敏度H∞控制器是一個單輸入-輸出系統．優化時，令目標函數的權重α=0.8，WOA的種群大小N和迭代次數Tmax分別為100和150．為了進行算法性能的比較，分別采用遺傳算法(GA)和差分進化算法(DE)進行控制器設計，其中GA的交叉率和變異率分別為0.7和0.02，DE的交叉概率和變異放大因子分別為0.1和0.4．這兩種算法的種群大小和迭代次數均與WOA相同．圖4是3種優化算法的收斂曲線比較結果．可見，WOA的尋優能力更強，它能夠獲得比GA和DE更優的目標值．而且從迭代次數的角度而言，WOA的收斂速度也是最優的．經過WOA優化得到的加權函數W1和W2分別為

圖4 3種優化算法的迭代曲線對比

4.2 控制結果討論

為了驗證所提出的WOA-H∞CVL半主動控制算法的有效性，本節將其控制結果與未經優化的H∞CVL控制以及現有文獻中的LQR-CVL控制[1]、 模糊控制[21]、 模糊GH2[22]的控制結果進行比較．其中，通過試算法，確定未經優化的H∞CVL控制中的加權函數的參數如下：

b11=1 000b21=10b31=10

b41=1 000a11=1 000a21=0.001

由表1可知，雖然LQR-CVL控制對最大位移的控制效果略優于本文提出的WOA-H∞CVL控制，但其最大加速度減小率僅為50%．雖然模糊GH2控制對加速度的控制效果是所有控制方法中最佳的，但是其對各層位移的控制效果均不如WOA-H∞CVL控制．通過綜合分析可知，在5種控制方法中，本文提出的WOA-H∞CVL方法對最大位移和最大加速度響應的綜合控制效果最佳，這兩個值相對于無控時的減小率分別為77%和64%．說明控制器的設計滿足了優化目標函數的要求，證明了基于WOA的優化方法的有效性．圖5顯示了在WOA-H∞CVL控制下的各層響應峰值控制效果．由表1和圖5可見，WOA-H∞CVL方法還可以顯著減小其他樓層的位移和加速度響應峰值以及所有樓層的層間位移響應峰值．另一方面，除了模糊GH2控制以外，WOA-H∞CVL控制所需的最大阻尼力小于另外3種控制方法．為了更直觀地說明本文控制算法的減震效果，圖6和圖7分別比較了無控時和WOA-H∞CVL控制時第三層的位移時程響應和加速度時程響應，由圖可見，這兩種響應均得到明顯的抑制.

表1 不同控制策略下各層的響應峰值

圖5 不同控制方法下的響應峰值控制效果

圖6 第三層位移時程響應的控制效果

圖7 第三層加速度時程響應的控制效果

接著，為了評估所設計的WOA-H∞CVL控制器對未受訓地震波激勵時的結構振動控制效果，分別采用TianjinNS地震波和Taft地震波對上述結構進行動態激勵，圖8和圖9分別顯示了在這兩個地震波激勵下的結構響應峰值的控制效果.

圖8 地震波變化為TianjinNS時的響應峰值控制效果

圖9 地震波變化為Taft時的響應峰值控制效果

由圖可見，在El-Centro地震波激勵下所設計的控制器仍然可以有效控制未受訓地震波激勵下的所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應.

最后，為了分析結構參數變化對WOA-H∞CVL控制效果的影響，假設該結構所有樓層的剛度都變化+10%和+30%，這兩種工況下的控制結果分別見圖10和圖11.

圖10 剛度變化+10%時的響應峰值控制效果

圖11 剛度變化+30%時的響應峰值控制效果

由圖可見，針對原始結構設計得到的WOA-H∞CVL控制算法仍能有效地控制現有結構所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應．其中，當剛度變化率為+30%時，控制效果雖然有所下降，但所有樓層的位移、 層間位移和加速度響應仍然得到非常顯著的抑制.

5 結 論

1) 使用WOA優化混合靈敏度H∞控制的加權函數參數，克服了普通H∞控制系統設計的保守性，避免了傳統的人工試湊．此外，WOA的尋優能力和收斂速度均優于遺傳算法和差分進化算法.

2) 所設計的WOA-H∞CVL控制能夠使最大位移和最大加速度分別比無控時下降77%和64%，同時還能有效地降低所有樓層的層間位移響應．這種控制方法對結構響應的綜合控制性能優于未經優化的H∞CVL控制以及現有文獻中的LQR-CVL控制、 模糊控制、 模糊GH2控制.

3) WOA-H∞CVL控制方法所需要的最大阻尼力小于其他3種所比較的控制方法，說明了該算法在保證良好的結構響應控制效果的同時，還具有較優的節能性.

4) 以TianjinNS和Taft地震波為例，證明了針對El-Centro波激勵所設計的WOA-H∞CVL控制算法仍然能夠有效控制未受訓地震波激勵下的結構響應．以剛度變化+10%和+30%為例，證明了針對原始結構所設計的WOA-H∞CVL控制算法也具有較強的抵抗結構剛度變化的魯棒性.