單向板在任意曲線荷載作用下的彎矩分布計算與配筋設計

劉 偉 于 越 李遇春

（同濟大學水利工程系，上海200092）

0 引 言

板是土木工程中常用的一種結構形式。在實際工程中，在板結構上常常作用有線荷載，板的結構設計需要分析線荷載作用下薄板上彎矩分布。謝 子 洋［1］、曾 大 明［2］基 于 Navier 解 法［3］，結 合MATLAB［4］和 ANSYS［5］有限元軟件分析單向板主次方向彎矩分布關系。臧正義［6］采用基于最小勢能原理的 Rayleigh-Ritz 法［7］分析對邊簡支板在線荷載作用下的彎矩。但該文分析的均為直線荷載作用下的單向板，而在實際工程中線荷載的形式復雜，甚至存在曲線形荷載。

當板結構上的線荷載為曲線荷載時，例如：鐵路涵洞頂板上的鐵路線為弧線時，樓板上砌筑曲線形的墻體時，板上的荷載均可以看成曲線荷載，在一般的結構計算手冊以及常見的結構分析文獻上難以查到曲線荷載作用下的板內彎矩計算公式，結構工程師需要采用通用商業軟件來進行板的抗彎計算，然而在結構有限元計算中，曲線荷載的輸入是一件相當麻煩的事情，需要耗費大量時間與精力。鑒于此，本文給出單向板在一般曲線荷載作用下的彎矩計算公式，編制簡單易行的Matlab 程序，從而可迅速得到板結構內的彎矩分布，為結構工程師設計此類板結構提供參考。

1 任意曲線線荷載作用下單向板的彎矩計算公式

如圖1所示的四邊簡支矩形板，當長邊b比短邊a大三倍時，可認為矩形板為單向板。板上受到任意的曲線線荷載q（q=常數）如圖1所示，曲線形狀由函數y=f（x）確定。坐標系建立如圖1所示。

圖1 四邊簡支矩形板承受任意線荷載作用Fig.1 Four-side simply-supported slab under arbitrary line load

根據薄板理論［3，7］，當簡支矩形薄板上任意位置（x0，y0）作用有集中荷載P時，板內任一點（x，y）的彎矩為

對于任意曲線線荷載q而言，作用在曲線任意位置［ξ，f（ξ）］上微段 ds的集中荷載為 dP=dξ（見圖1），根據式（1），該集中荷載產生的彎矩如式（2）所示。

于是整條線荷載q在任意一點（x，y）所產生的彎矩，通過積分式（2）可得式（3）。

式中：ξ為選取的微元荷載在x方向上的坐標；ν為單向板材料的泊松比，對于混凝土材料而言，ν=1/6；f′（x）為線荷載函數曲線y=f（x）的導數。

對于一般的曲線函數而言，式（3）的積分式難以得到解析解答，可通過數值積分得到解答。本文編制了數值計算MATLAB程序列于附錄。

2 算例分析

2.1 曲線線荷載作用下單向板的彎矩計算

單向板彎矩算例：某混凝土單向板，矩形板長邊b=12 m，短邊a=3.6 m，厚度t=0.2 m，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比ν=1/6。板上作用有曲線荷載q=80 kN/m，曲線荷載函數為

板內彎矩可以分別采用MATLAB 程序及ANSYS軟件計算。

將以上數據及曲線函數代入式（3）積分，根據附錄MATLAB 程序，計算得到板內的彎矩分布如圖2 所示。曲線線荷載所產生的彎矩最大值均出現在線荷載作用的中心位置。主方向彎矩最大值（Mx，max）=38.40 kN·m，次方向彎矩最大值（My，max）=26.70 kN·m。

圖2 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布（MATLAB）Fig.2 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load（MATLAB）

在ANSYS 軟件中，根據以上數據建立相同的計算模型，彎矩計算結果如圖3 所示，主次方向彎矩最大值分別為38.70 kN·m，25.83 kN·m。根據圖2、圖3 結果，可以發現本文MATLAB 程序計算結果與ANSYS 結果很吻合，表明本文MATLAB 計算方法和程序可靠，對于曲線線荷載作用下的彎矩計算結果足夠精確。

2.2 單向板次方向配筋分析

在單向板設計中，結構工程師一般主要關注短跨（主方向）上的配筋計算，通常按計算最大彎矩（Mx，max）進行配筋計算，然后根據計算的配筋在全跨布置受力鋼筋。本文對于主跨方向的配筋設計不再贅述。

實際工程中，結構工程師容易忽視長跨（次方向）的彎矩分布與配筋計算，長跨方向常常可能采用構造配筋。由圖2、圖3 可以看出，主次方向最大彎矩位置接近，大小也接近，所以根據設計規范［8］，在次方向按構造布置的分布鋼筋一般難以滿足最大彎矩的承載力要求，會導致荷載裂縫，危及結構安全。因此考慮在單向板次方向最大彎矩處布置一定長度的附加短鋼筋，保證次方向滿足板的抗彎承載力要求。為了更直觀地觀察到次方向附加鋼筋的配筋要求，截取曲線荷載作用下單向板最大彎矩附近的幾個剖面進行彎矩分布計算，由此進行配筋分析，剖面位置分別為：x=1.2 m（1-1 剖面）、x=1.4 m（2-2 剖面）、x=1.6 m（3-3 剖面）、x=1.8 m（4-4 剖面）、x=2.0 m（5-5 剖面），如圖4所示。

圖3 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布圖（ANSYS）Fig.3 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load（ANSYS）

圖4 剖面位置Fig.4 Section position

各個剖面上的彎矩分布如圖5 所示，對于短跨的抗彎鋼筋，可以根據主方向最大彎矩Mx，max的配筋進行通長配置。對于次方向的彎矩，由圖5可以看出，在主方向最大彎矩處，次方向的彎矩遠超出了分布鋼筋的抗彎能力（實際工程中分布鋼筋的配筋量一般要求取主方向鋼筋15%左右［8］），需要額外配置附加鋼筋，附加鋼筋配置如圖6所示。

由于構造鋼筋的配筋量一般取主方向鋼筋的15%左右，所以為了不造成浪費，附加鋼筋只需要配置在次方向彎矩大于15%Mx，max的部分就足以滿足承載力要求了，如圖6 所示，其中20d為鋼筋在影響范圍以外增加的錨固長度［8］。

圖6 單向板附加鋼筋配筋簡圖Fig.6 Reinforcement diagram of one-way plate with additional reinforcement

本文僅給出了板內主次彎矩的計算大小和分布情況，具體配筋量計算可參照《混凝土設計規范》（GB 50010—2010）［8］執行，相應的構造要求可參照規范及以上本文的要求辦理。

3 結 語

本文給出的任意曲線荷載下板內彎矩計算公式具有很好的計算精度，給出的Mablab 計算程序可為結構工程師處理此類復雜曲線荷載問題的配筋計算提供參考。附錄中的MATLAB 程序在針對實際問題時，只需要修改單向板尺寸（a，b），曲線荷載線荷載大小以及函數形式（q，load），就可以得到需要的彎矩分布。