基于局部變形假定的錨固類結構錨固段剪應力分布研究

范俊奇 孔福利 石曉燕 賀永勝

（軍事科學院國防工程研究院，洛陽471023）

0 引 言

錨固類結構是指基于錨固技術的錨桿、錨索和土釘一類巖土工程加固、支護結構。為方便起見，本文將錨桿（索、釘）體表面與注漿體之間的界面稱為“第一界面”，將注漿體與孔壁之間的界面稱為“第二界面”［1，4，7-8］。對于錨桿為代表的錨固結構，其第一、第二界面上的剪應力是工程設計的基本依據和前提。但時至今日，我國有關錨固類結構技術規范，采用的仍然是平均剪應力的概念和方法，這與錨固技術的發展是不相適應的。國內外大量的研究表明［1-16］，剪應力在錨固段并非是均勻分布，而是呈現出單峰或者指數函數的分布形式，但對于錨固段剪應力的具體分布形式，目前仍存在著不同的觀點。文獻［7］通過模擬高、中、低三種強度的圍巖介質錨桿模型拉拔試驗，對錨桿錨固段的軸應變及錨固段剪應力分布規律進行了研究，認為剪應力在孔口處為零，在接近孔口處達到最大值，然后以負指數規律沿錨桿方向衰減。文獻［8］在Mindlin 位移解的基礎上，對全長粘結錨桿錨固段受力進行了理論研究，結果表明錨固段剪應力在起點處最大，向后逐漸衰減并最終趨近于零；張季如等［9］建立了錨桿荷載傳遞的雙曲函數模型，蔣忠信［10］提出了用三參數的高斯曲線來描述錨固段剪應力分布曲線；同時大量現場試驗研究表明［11-12］，剪應力峰值并非出現在錨固段的起點，而是出現在錨固段中的某一處。

綜上所述，雖然國內外關于錨固類結構錨固段剪應力的測量及試驗研究成果較為豐富，但這些研究大多是單獨進行的，缺乏系統性，存在理論分析假設與試驗和工程實際不相符的情況，因此，有必要對錨固段剪應力的分布規律做進一步分析，以便尋求更加符合實際的結論。本文基于全長注漿錨桿的拉拔試驗，在“局部變形假定”的基礎上，對不同介質類型中的全長注漿錨桿內錨固段的軸力及界面剪應力分布規律進行了較深入的研究，推導了穩定介質內錨固段應力、軸力及交界面剪應力分布的理論公式，并將其與試驗結果進行了對比，結果表明，理論解與試驗結果基本吻合。本文分析了以錨桿為代表的錨固類結構第一、第二界面剪應力分布，對工程實踐具有指導參考價值。

1 錨固段受力分布分析

1.1 基于“局部變形假定”計算錨固段應力分布理論解

“局部變形假定”用一系列獨立作用的“切向彈簧”來描述“錨固體”（指錨桿或錨桿與注漿體的“復合體”）同圍巖之間的相互關系［13］，并假定注漿體處于彈性狀態。對于壓力型錨桿，由于錨桿體與注漿體之間沒有粘結作用，可以認為錨索荷載是通過端部的承壓板轉化為壓縮力而全部作用在注漿體上，依據局部變形假定，可以將注漿體與周圍介質之間的相互關系簡化為一系列獨立作用的切向彈簧。若設錨桿錨固段長度為L，在距離錨固端口部（拉力型錨桿）或尾部承壓板（壓力型錨桿）為x的注漿體上取出一微段dx，其受力示意圖如圖1 所示，則該微段上的剪應力（即粘結應力）可由下式計算得到［4，13］：

圖1 錨固段受力分析示意圖Fig.1 Mechanical schematic of the internal anchorage section

式中：τ（x）為x處錨桿體或注漿體周邊粘結應力（kPa）；W（x）為x處注漿體與孔壁或注漿體與桿體間的相對位移（mm）；ks為綜合切向剛度系數，文獻［13］中稱之為巖土層的反力系數（MPa）。

式中：Kr1為注漿體的剪切剛度；Kr2為圍巖體（介質）的剪切剛度。

圖1 中，注漿體口部（拉力型）或底端（壓力型）（x＝0 處）受到一拉力（拉力型錨桿）或壓力（壓力型錨桿）P0的作用，在沿注漿體軸線方向并距離底端x處的一微段dx上，其周邊的粘結應力為 τ（x），兩側所受的軸力分別為P（x）和P（x）-dP（x）。

由dx微段的軸向平衡條件∑x=0，可得微段上的軸力 dP（x）與剪應力 τ（x）之間存在如下關系：

式中，d為桿體的直徑，對壓力型錨桿，d應為注漿體直徑D。

在x處桿體（注漿體）的應變ε（x）與其相對位移w（x）及軸力存在如下關系：

代入邊界條件：當x＝0時，P（x）=P0；x＝l時，P（x）=0。則有

代入式（5）可得出軸力的計算公式：

將式（6）的結果代入式（2）可以得：

同樣，根據式（3）可得：

在式（6）和式（7）中，關鍵是綜合切向剛度系數ks的確定。綜合切向剛度系數ks其實應該包括兩部分，即由注漿體變形引起的組分kbond和由巖土體變形引起的組分kr：

kbond可根據彈性力學中的厚壁圓筒解求得：

式中：G、E和μ分別為注漿體的剪切模量、彈性模量和泊松比；d和D分別為錨桿（鋼筋）和注漿體的直徑。

對于巖石中錨桿，由于巖石的彈性模量遠大于注漿體的彈性模量，可忽略巖體的變形，將巖體視為絕對剛體，即ks＝kbond。同樣，而對于土中錨索，注漿體的彈性模量遠大于土體，可忽略桿體的變形，將桿體和注漿體組成的復合體作為錨固體，切向剛度系數主要由土體的變形特性確定，即ks＝kr。表1為文獻［13］建議的各類不同巖土體的綜合切向剛度kr的經驗值。

1.2 第一、第二界面剪應力公式的推導

由以上推導可知，依據局部變形假定推導的剪應力計算公式只有一個。要使其結果能同時計算第一界面和第二界面的剪應力，需對公式的適用性進行拓展分析討論。由式（7）的具體形式可知，計算界面的剪應力時，關鍵在系數ks和a的確定，其中綜合切向剛度系數ks可參照表1 進行取值，其他參數取值如下：

表1 文獻［13］建議的各類巖土的切向剛度Table 1 The suggested shearing rigidity from document［13］

錨桿體：直徑d=0.018 m；彈性模量E=2.1×105MPa。

注漿體：直徑d=0.047 m；彈性模量E1=1.5×103MPa；泊松比μ1＝0.3。

高強介質：彈性模量E2=2.8×103MPa；泊松比μ2＝0.3。

中強介質：彈性模量E1=1.5×103MPa；泊松比μ1＝0.3。

低強介質：彈性模量E3=5.0×102MPa，泊松比按堅硬的黏性土取值μ3＝0.25。

因此各介質的切向剛度計算結果如下：高強介質，kr=5 287.5 MPa；中強介質，kr=3 776.8 MPa；低強介質，kr=1 309.3 MPa。

計算中，第一、第二交界面的系數a分別記作a1、a2。在計算a1時，公式中的參數d、E分別取錨桿體的直徑和彈性模量；在計算a2時，公式中的參數d、E分別取注漿體的直徑D和錨桿與注漿體的“復合體”彈性模量Es，其算式為［13］

式中：E為錨桿體的彈性模量；E1為注漿體的彈性模量；A為鋼筋的截面積；A1為注漿體承壓面積。

則對式（7）中的綜合切向剛度系數ks及系數a的值可分別計算如下：

由于本文討論的錨桿是作用力接近使錨桿屈服時，即桿體上應變接近為0 的錨桿長度，一般情況下，應有l≥50 mm。則式（6）中：

此時，式（6）-式（8）可分別簡化為

將計算出的a值分別代入式（9）-式（11）中，即可求出各類錨桿在不同的荷載下軸應變與界面剪應力值分布，計算中各參數取值如下：在計算桿體軸應變以及第一交界面的剪應力時，式中d取錨桿體的直徑d=0.018 m；在計算第二交界面的剪應力時，式中d取注漿體的直徑D=0.047 m。圖2為依據上述公式分別計算所得的中強介質錨桿桿體軸應變與第一、第二交界面的剪應力分布。

從圖2 可知，錨桿軸應變及第一、第二交界面的剪應力分布的共同特征為：

圖2 錨桿桿體軸應變及剪應力分布圖Fig.2 The strain&shear stress distribution under different stretching forces

（1）在桿端處（x/d=0），應變、軸力為最大值，其后沿軸線方向按負指數規律迅速衰減。

（2）錨桿第一、第二交界面的剪應力分布規律是相同的，只是剪應力集度不同（計算結果相差約2.5 倍）。剪應力在孔口處最大，然后以較快的速率按負指數規律沿錨桿方向衰減。

（3）由于軸力和剪應力衰減很快，因此錨桿軸力和有效剪應力值僅分布在桿體的有限長度范圍內（約40d），錨桿的主要承力部位在其內錨固段的前部大約40倍錨桿直徑，即在距離口部700 mm左右。

（4）錨固段剪應力具有同步轉移特性，隨著拉拔荷載增大，其零值剪應力向桿體深部的轉移，即剪應力影響逐漸增大，這是由于砂漿體局部產生破損的結果。

2 不同類型介質中錨固類結構錨固段剪應力的分布分析

錨桿錨固段的剪應力分布區域直接決定著錨桿的有效錨固長度，從式（10）、式（11）可知，錨固段剪應力的大小及分布受介質性質的影響，圖3分別列出了高強巖體介質、風化巖體介質和土體介質三種不同強度介質類型中錨桿錨固段剪應力分布計算結果對比。

從圖3 可知，對于不同介質類型中的錨桿，其剪應力分布形態是相同的，只是其衰減速率和受力區域不同，高強巖體介質中錨桿的受力區域為距孔口深度約30d的長度區域上；中強風化巖體介質中錨桿的受力區域為距孔口深度約40d的長度區域上；低強土體介質中錨桿的受力區域為距孔口深度約50d的長度區域上。由此可以得出：介質強度越高錨桿所受的剪應力、軸力越大，剪應力軸力的分布范圍越小，越集中，錨桿的有效錨固長度也就越??；介質強度越低，錨桿所受的剪應力、軸力越小，剪應力軸力的分布范圍越大、越均勻，錨桿的有效錨固長度也就越大。因此從某種意義上說，用全場粘結錨桿加固軟巖和土體的效果比加固硬巖更好。

圖3 不同介質中錨桿剪應力分布Fig.3 Variations of shear stress distribution of bolt in deference medium

3 理論分析解與試驗結果對比分析

為驗證理論結果的可靠性，特將理論結果與文獻［7］的試驗結果進行對比，文獻［7］的試驗中，用φ18 mm 的螺紋鋼筋制作錨桿，注漿體為水泥砂漿，其直徑為47 mm，28天強度為32.2 MPa；高、中、低三種強度圍巖介質分別用28 天強度為53.2 MPa、32.2 MPa、7.2 MPa的水泥砂漿和水泥拌合土來模擬，通過WES-50B 型萬能材料試驗機對其進行拉拔試驗。圖4 為本文推導所得的當桿端拉力為40 kN 時中強介質中錨桿體軸應變和剪應力分布結果與文獻［7］中相同條件下的試驗結果在同一坐標系的對比。

通過圖4 的對比可知，本文推導的理論解與試驗所得的桿體軸應變的分布形態吻合較好，即桿體軸應變在孔口最大，之后隨距孔口距離的增大按負指數規律迅速衰減，并很快趨于零，只是應變的衰減速率不同。本文依據“局部變形假定”所推導的計算結果在錨固段前半部衰減較塊，在后半部衰減較慢，軸應變分布區域較大。

圖4 理論解與根據試驗推導結果對比Fig.4 Comparisons between results of analytic solution and the experiment

理論解和試驗所得錨桿錨固段剪應力分布形態也基本相同，僅在口部部位略有差異，即峰值剪應力出現位置略有差別，根據“局部變形假定”所計算的峰值剪應力位于孔口受力點（x/d=0）處，之后以較快的速率按負指數規律沿錨桿方向衰減。而依據試驗所得剪應力在孔口處（x/d=0）為零，在非常接近孔口處達到最大值，然后以較快的速率按負指數規律沿錨桿方向衰減。不同的是，兩種結果所得的剪應力峰值出現的位置不同，而其大小約為3 500 kPa，分布區域較大（約為40d）；而依據試驗所的結果在受力點處剪應力為零，峰值剪應力位于非常接近于受力點位置（在受力點后約2d處），大小為3 400 kPa，分布區域相對較?。s為35d）。

通過以上對比分析可知，本文基于“局部變形假定”得到的錨桿體軸應變分布的結果與依據試驗測試所得結果基本吻合；所得到的桿體軸應變及剪應力的分布形態與試驗擬合結果較類似。僅在峰值剪應力大小、出現位置和分布區域上略有差異，從結果來看基于“局部變形假定”所得結果略偏向于保守，但這對實際工程來說無疑是有利的。

4 結 論

本文基于“局部變形假定”對不同類型介質中錨桿錨固段在理想狀態下的軸力及界面剪應力分布規律進行研究分析，初步得到如下結論與認識：

（1）通過理論分析與試驗結果對比分析表明，本文基于“局部變形假定”所推導的錨桿內錨固段剪應力理論解，能較好地反映錨桿內錨固段的實際受力情況，對分析實際工程中錨桿錨固力分布狀態、指導錨桿設計等都具有一定的參考價值。

（2）依據本文結果，以錨桿為代表的錨固類結構錨固段第一、第二界面的剪應力分布規律是相近的，只是剪應力集度不同。其共同特征為：剪應力在孔口處為最大值，然后以較快的速率衰減。因此有效剪應力值分布在桿體的有限長度范圍內，錨桿的主要承力部位在內錨固段的前部。

（3）基于“局部變形假定”計算得到的桿體軸應變與實測結果基本吻合。得出的錨固段剪應力分布與試驗擬合結果也較類似，僅在形態上有微小差異，因此，本文所推導的理論解對于計算錨固類結構內錨固段的受力狀態、指導工程實踐均具有一定的理論和實用價值。