電勵磁直線同步電機磁懸浮系統自抗擾控制*

李 楓, 藍益鵬

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

數控機床直線電機直接驅動系統，與傳統驅動系統不同，省掉了中間傳動環節，具有運動慣量小，結構簡單，高精度和高速度等優點。但是運動部件與導軌之間的摩擦問題依然存在，影響直線伺服系統的性能，為了解決這個問題采用磁懸浮電勵磁直線同步電機(EELSM)，消除摩擦對系統的影響，從根本上改善系統的性能[1-3]。EELSM水平方向上產生電磁推力驅動平臺直線運動，垂直方向產生可控懸浮力使平臺懸浮于導軌上，實現無摩擦進給[4]。由于EELSM系統省掉了中間傳動環節，端部效應等不確定擾動會直接作用在直線電機上，對系統性能影響更加顯著，控制變得困難。因此，如何選擇合適的控制方法提高系統的魯棒性受到廣泛關注。

目前，直線電機控制系統中，PI控制器仍然占有主要地位，其原理是“基于誤差反饋來消除誤差”。針對PI控制存在“快速性”和“超調”的矛盾問題，1998年韓京清[5]提出自抗擾控制(ADRC)。多年來對ADRC研究已取得豐碩的成果。文獻[6]針對線性擴張狀態觀測器的估計能力和閉環系統的穩定性問題分析，論證構造出適合的線性擴張觀測器可使估計誤差趨于零。文獻[7-8]從頻域分析方法入手，基于頻帶特性曲線，提出一種新的非線性ADRC參數整定公式，簡化了非線性擴張觀測器參數整定。文獻[9]對ADRC的原理進行系統性地理論分析，進一步論證參數對系統穩定性及性能的影響，闡述了ADRC所蘊含的思想。文獻[10-11]設計速度環ADRC，通過試驗證明當負載變化時，電機轉速仍可以穩定。文獻[12]提出一種二階NLADRC實現位置和速度的復合控制，簡化了伺服系統的調試過程且提高了系統動態響應速度。

綜上所述，NLADRC具有更高的控制精度和更強的抗擾能力，其控制效果與非線性函數選取、參數調整大小有直接關系。本文針對EELSM數學模型的特點，設計了三階NLADRC，并對其抗擾原理進行研究。通過對比和分析非線性函數參數變化對系統性能的影響，歸納和揭示出參數的物理意義及其整定方向。最后通過仿真表明，本文所提出的三階NLADRC控制對EELSM懸浮系統有很好地抑制非線性因素和內外擾動的效果。

1 構建EELSM磁懸浮系統數學模型

1.1 EELSM磁懸浮進給平臺構成

本文選取EELSM磁懸浮進給平臺如圖1所示，由EELSM、平臺基座、輔助導軌、電渦流傳感器、運動平臺、光柵尺組成。

圖1 EELSM磁懸浮進給平臺結構圖

EELSM懸浮系統驅動原理：電樞繞組通入三相電流，會在氣隙中產生水平方向的行波磁場。勵磁繞組中通入直流電流，會在氣隙中產生勵磁磁場。行波磁場與勵磁磁場相互作用產生電磁推力，推動平臺直線運動。垂直方向上，勵磁磁場與動子鐵心之間產生磁懸浮力與懸浮平臺重力相等時，實現平臺穩定懸浮[13]。根據此原理推導出垂直方向的狀態方程。

1.2 EELSM磁懸浮系統狀態方程

EELSM磁懸浮系統在dq軸系下的數學模型[14]如下。

電壓方程：

(1)

(2)

(3)

式中：ud、uq、id、iq為dq軸系下的電壓與電流；uf與if為勵磁電壓和勵磁電流；Rs與Rf為推力繞組的電阻和勵磁繞組；τ為電機的極距；v為電機運行速度。

磁鏈方程：

ψd=id(Lmd+Lσ)+ifLmd

(4)

ψq=iq(Lmq+Lσ)

(5)

ψf=if(Lmd+Lσf)+idLmd

(6)

式中：ψd、ψq為dq軸系下的磁鏈；ψf為勵磁磁鏈；Lmd、Lmq為d、q軸主電感；Lσ為推力繞組的漏電感；Lσf為勵磁繞組的漏電感。

采用id=0的矢量控制方式，得到電機的懸浮力方程:

(7)

式中：Z為懸浮高度。

(8)

式中：Fy1是Fy中第2項當作擾動處理后的磁懸浮力。

懸浮方向的運動方程：

(10)

式中：k為磁懸浮系數，數值為5.659×10-6。

以此完成數學模型構建，將其中不確定性因素視為擾動處理。

2 EELSM磁懸浮ADRC控制器設計

2.1 EELSM磁懸浮ADRC結構

針對EELSM系統存在非線性以及不確定性擾動的特點，本文采用三階NLADRC控制器，控制其懸浮高度，所采用標準型為串聯積分型(并非實際結構)。總擾動除了包括實際結構與標準型結構的差別外，還包括系統中不確定因素以及內外擾動[15]。圖2為本文設計的基于NLADRC控制的EELSM懸浮系統原理框圖。虛線框內為三階NLADRC控制器，分別由跟蹤微分器(TD)、擴張狀態觀測器(ESO)以及非線性狀態誤差反饋控制律(NLSEF)組成。

圖2 EELSM磁懸浮ADRC結構圖

2.2 跟蹤微分器設計

對于初始狀態，誤差過大會導致控制量過大進而對系統有沖擊影響，可以利用TD在系統輸入前安排過度過程，消除超調的同時保證快速性，并且給出輸入給定值的近似微分信號。

根據推導出狀態方程選取最速跟蹤微分器表達式為

(11)

式(11)非線性TD采用的fhan函數形式。其表達式如下：

式中：e為輸入信號與跟蹤信號的誤差；h為采樣周期；參數r為決定跟蹤速度的因子。

為了消除進入穩態時出現超調現象，將最速跟蹤微分器fhan(e,x2,r,h)函數中的h換成h0，只要取h0為適當大于h的參數就會消除超調現象[16]。

通過仿真實驗可知，h0的大小影響跟蹤微分器的響應快慢，當參數r不變時，改變h0大小來跟蹤響應快慢的變化，如圖3所示。

圖3 h0不同時跟蹤曲線

由圖3可知，給定值為2.5×10-3m時，不同的h0過度時間不同，當h0為2、3、4時，過度時間分別為0.517、0.839、1.122 s，由此可見h0值越小響應速度越快。

2.3 非線性擴張狀態觀測器設計

非線性ESO通過對系統輸入量與輸出量測量進而確定內部各狀態量，測出系統被施加的總擾動，再通過控制器進行擾動補償，使系統穩定。

要實現我國山區玉米的高產栽培，首先需要對玉米種子和山區種植的基礎設施進行完善，充分結合山區的氣候因素和環境因素，選擇合適的種子進行推廣，需要注意的是，即使是同一個地區的土壤也會存在著一定的差異，需要對種植區域的土壤等因素進行詳細的分析，并針對性的采用科學的種植方法。例如可以采取輪作等方式來有效的提升玉米產量，同時不斷的改良土壤，從而更好的提升農戶的經濟收入。

(13)

則對應的擴張狀態觀測器：

(14)

(15)

式中：α為冪次；δ為線性區間。fal函數在原點附近為線性的連續冪次函數。

在式(10)中g為已知重力加速度，為了觀測未知擾動，需要將已知部分放進擴張狀態觀測器中。最終建立的懸浮方向上的三階擴張狀態觀測器為

(16)

式中：β01、β02、β03、a、δ、b0為系統可調參數；z3為系統中被擴張的狀態觀測量。

2.4 非線性狀態誤差反饋控制律選取

式(17)中e1和e2是TD的輸出與ESO的輸出之間的誤差，通過e1和e2計算誤差反饋控制量u0，其中k1、k2為可調參數，然后通過ESO觀測出總擾動進行補償，得到最終的控制量u，實現被控對象的反饋線性化，得出NLSEF的數學模型：

(17)

3 非線性函數fal參數α與δ的整定

對式(15)作如下變換[18]：

(18)

此時fe(t)與fe1(t)是式λ(e)與誤差e乘積。參數α與δ分別對系統有影響，兩者之間又相互關聯。分析δ的影響，當α=0.5時不同的δ值函數輸出曲線如圖4所示。

圖4 δ不同時λ(e)函數變化曲線

由圖4可知，當α=0.5時，δ越小其線性階段越小，誤差越小時函數λ(e)值就越大，但是δ取值過小，增益會過大造成系統不穩定。δ取值過大顯示不出非線性的優勢。因此，在實際應用中要根據具體的系統選取合適的線性區間，本文對EELSM懸浮系統驗證，δ取值范圍在0.000 1～0.005之間線性區間最好。

當α=0.5，δ=0.001時，λ(e)函數曲線如圖5所示。

圖5 λ(e)函數曲線

當誤差值在δ區間內，函數輸出為線性恒定值，此時表現為“小誤差大增益”；當誤差大于δ區間時，隨著誤差的增大增益逐漸減小，表現為“大誤差小增益”。

α值同樣影響系統性能，當δ=0.001時，不同的α值λ(e)函數曲線如圖6所示。

圖6 α不同時λ(e)函數變化曲線

由圖6可知，α值越小，函數λ(e)的恒值越大，非線性的“大誤差，小增益；小誤差，大增益”特性越明顯。但是當α取值過小會導致控制量高頻振顫，取值過大會影響誤差衰減性能以及抗擾能力。本文選擇α為0.25和0.5。

4 仿真研究

由于ADRC需要整定的參數比較多，式(16)中控制增益b0整定可按照模型計算得出，也可試湊整定，已有研究表明總擾動中就包含控制增益b0的不確定性，b0也具有較強的魯棒性，可大范圍調節而不會引起系統的不穩定[8]。

本文通過模型計算得出b0=0.1。采用仿真試驗得到β01=6 000,β02=200,β03=10 000,k1=20 000,k2=1 600。對控制系統進行計算機仿真，電流環采用PI控制，位置環采用NLADRC控制，與PI控制算法進行對比。

分3種情況對EELSM懸浮系統進行分析：

(1) EELSM的起動性能。圖7為起動時PI控制與ADRC對比下懸浮氣隙高度響應曲線。采用PI控制的系統，響應過程無超調，約0.12 s達到給定的磁懸浮氣隙高度，但存在穩態誤差，調節時間長。采用ADRC的系統，響應過程無超調，約0.053 s達到給定氣隙高度，無穩態誤差，調節時間短。因而ADRC控制比PI控制響應速度快，性能優越。

圖7 起動時磁懸浮氣隙高度響應曲線

(2) EELSM系統對負載擾動的抑制能力。系統穩定時，在0.3 s加上f=20 N的負載擾動，在0.6 s時卸掉負載。圖8、圖9分別是加入負載擾動后PI控制與ADRC對比下磁懸浮氣隙高度響應曲線和勵磁電流響應曲線。采用PI控制時，加入擾動后，動態降落為4.32×10-5m，恢復到給定值時間為0.2 s。采用ADRC系統動態降落為7×10-6m，恢復時間為0.05 s。說明ADRC的系統抗干擾能力強，對外界擾動不靈敏，在加入擾動后的穩態誤差為0，反映了系統具有良好的擾動抑制能力。

圖8 加入擾動時磁懸浮氣隙高度響應曲線

圖9 加入擾動時勵磁電流響應曲線

(3) EELSM系統對直線電機特有端部效應的抑制能力。采用正弦函數f=15sin(20t)N模擬端部效應。圖10為正弦擾動下的氣隙高度響應曲線。采用PI控制時，加入正弦擾動后，波形波動劇烈抗干擾能力差。采用ADRC的系統沒有明顯的波動，抗擾能力優于PI。

圖10 正弦擾動下磁懸浮氣隙高度響應曲線

5 結 語

(1) 分析EELSM磁懸浮系統的結構以及運行機理，構建電壓方程、運動方程，以及系統狀態方程，將其中的不確定性因素視為擾動處理。

(2) 設計三階NLADRC控制器。選取最速跟蹤微分器，對給定信號進行跟蹤濾波的同時給出微分信號，然后，通過構建的狀態方程，設計三階非線性擴張狀態觀測器，最后，構建出合適的非線性狀態誤差反饋律。分析NLADRC中的非線性函數fal的參數整定方向和規律。

(3) 通過對控制系統的計算機仿真，與PI控制器對比，三階NLADRC應用于EELSM磁懸浮系統的抗擾性、穩定性和響應的快速性均具有明顯優勢。