基于自適應摩擦補償的復合非線性軌跡跟蹤控制*

石 暕, 程國揚

(福州大學 電氣工程與自動化學院，福建 福州 350108)

0 引 言

摩擦現象存在于伺服機構中產生相對運動(或趨勢)的2個接觸表面之間。摩擦力(或力矩)不但與運動速度和位移有關，也與外部作用力有關，體現出復雜的非線性動態特性[1]。特別是，在運動速度趨于零時，摩擦阻力的幅值反而增大，這種Stribeck效應使摩擦在低速區域的影響更顯著，原因是伺服系統在接近目標位置時，運動速度和控制力度通常均要減小，而這時由于摩擦阻力變大，將導致系統減速乃至停頓下來，從而出現了穩態誤差。若控制系統直接采用積分器來補償摩擦阻力引起的靜態誤差，則積分器必須積累到足以克服最大靜摩擦力的數值，系統才能由靜止轉為運動，而系統開始運動之后，摩擦阻力急劇變小(Stribeck效應)，但這時控制力度并未明顯變化，將導致系統加速度增大而出現過沖。這就是伺服系統產生“爬行”現象和極限環振蕩的根本原因。摩擦現象嚴重影響了伺服系統的性能，甚至威脅到系統的穩定性[2-3]，這在實際應用中意味著生產效率的降低和能源的浪費。因此，在設計伺服系統時，必須考慮采用適當的控制與補償方法來消除摩擦對系統的影響，才能實現精確伺服控制[4]。

由于摩擦的非線性、復雜性和可變性，摩擦補償的研究往往存在許多困難，現有研究結果并沒有達到讓人滿意的效果，目前還沒有一種方法能完全消除摩擦帶來的不利影響。研究人員主要從基于模型和不基于模型2方面進行摩擦補償的研究。摩擦的機理較為復雜，難以建模，且摩擦力的大小可能取決于速度、位置、狀態等，因此摩擦模型并不完全準確，又考慮到摩擦具有時變性，可以利用自適應技術對補償器參數進行在線調整，從而改善摩擦補償的效果[5-6]。目前，國內外已經提出了各種各樣的自適應技術，并應用于摩擦補償中。文獻[7]采用雙觀測器估計LuGre摩擦模型中的部分不確定性參數，提出非線性自適應反步摩擦補償控制方法，提高了系統的控制性能。文獻[8]提出基于自適應區間二型模糊邏輯系統對摩擦力進行補償建模，并在該補償方法的基礎上設計一個魯棒自適應控制器，提高了系統的跟蹤性能。文獻[9]提出了一種用于伺服機構速度控制的自適應擾動補償方案，采用基于LuGre摩擦模型設計的摩擦補償器，有效減小了反向運動時經常出現的大輪廓誤差。文獻[10]提出了一種帶有摩擦觀測器的自適應非線性控制方案，用于電動液壓執行器的位置控制。文獻[11]針對數控機床提出了一種對摩擦參數進行在線學習的方法，并生成摩擦補償脈沖幅值函數，實現了摩擦的自適應補償。

本文針對電機伺服系統，采用文獻[12-13]中的控制方法，設計了一個帶有擾動補償的復合非線性軌跡跟蹤控制器，使伺服系統能對給定的目標軌跡信號進行跟蹤。在軌跡跟蹤控制器的基礎上，加入了自適應摩擦補償環節，進一步消除摩擦帶來的不良影響，提升系統的控制性能，并通過對不同類型目標軌跡信號進行軌跡跟蹤試驗的方式驗證該方法的有效性和自適應性。

1 復合非線性軌跡跟蹤控制

本節為電機伺服系統設計一個軌跡跟蹤控制律，實現對給定的目標軌跡的準確跟蹤。系統的簡化模型(假定摩擦力矩已預先補償)如下[13]：

(1)

定義軌跡跟蹤的誤差信號為：

(2)

式中：ey(t)為位置誤差；ev(t)為速度誤差；r(t)為有界的目標軌跡信號，其一階和二階導數均有界。

則可得：

(3)

且有

(4)

則誤差系統的動態方程為

(5)

針對系統式(5)，采用文獻[13]的方法，可設計一個復合非線性控制律，如下：

(6)

式中：F為狀態反饋增益矩陣，使(A+BF)具有穩定的特征值，且系統的輸出響應較快；Fn為非線性反饋增益矩陣。

F、Fn分別如下所示：

(7)

(8)

式中：ζ和ω為閉環主導極點的阻尼和自然頻率。

ρ[ey(t)]為非線性增益函數，可選為

(9)

式中：α、β均為非負的可調參數。

(10)

系數矩陣如下：

(11)

式中：ζ0、ω0分別為觀測器極點的阻尼系數與自然頻率。

將觀測器估計的值代入式(6)，可得：

(12)

再與式(4)相結合，得到軌跡跟蹤控制律為：

(13)

式中：fd為擾動補償增益系數，是一個可調參數，取值范圍為[0,1]，其值越大，則補償效果越好，但過大的fd會使系統對噪聲干擾較敏感。

2 自適應摩擦補償

復合非線性軌跡跟蹤控制律雖然可以在一定程度上進行擾動補償，提高伺服系統的性能，但是系統中存在的時變非線性摩擦力矩會對系統的性能產生較大的影響。為了消除摩擦帶來的不利影響，需要對摩擦進行補償，本文使用的是自適應摩擦補償方法。

本文中，摩擦力矩建模為一個時變摩擦系數乘以一個分段函數，如下[14]：

(14)

式中：kc(t)為時變摩擦參數，且kc(t)≥0；σ0(·)為一個分段函數。

σ0(·)定義如下：

(15)

雖然該摩擦模型不涉及復雜的數學計算，但它包含了零速度下靜摩擦力矩的主要特性，且摩擦模型中的kc(t)為時變的，因此，該模型可以表示普遍的摩擦行為。

總控制輸入u(t)由軌跡跟蹤控制的控制量uc(t)和摩擦補償動作uf(t)組成，即

u(t)=uc(t)+uf(t)

(16)

其中uf(t)定義為

(17)

(18)

改進的符號函數與標準sgn函數不同的地方是，能確保一個足夠的補償動作。若使用標準的sgn函數，則當速度為零(即系統處于靜止狀態)時，即使當前的位置不是期望的位置，摩擦補償量也將變為零。因此，需要使用改進的sgn函數使系統的補償能力進一步提高，在系統處于靜止狀態時，也能進行適當的補償。只有在系統靜止，且uc(t)為零的時候，才停止補償。

(19)

式中：ey(t)為位置誤差;ev(t)為速度誤差;δ、λ為用戶定義的非負調優參數。

因此，系統的總控制輸入為

(20)

3 仿真驗證

為了驗證軌跡跟蹤控制的效果以及自適應摩擦補償的性能，進行仿真試驗。

在仿真中，設置采樣周期Ts=0.1 ms，二階系統模型參數為,a=-5，b=260；軌跡跟蹤控制算法的參數設置為,ζ=0.3，ω=30 rad/s，ζ0=0.8，ω0=100 rad/s，α=10，β=0.8，umax=12 V；摩擦補償器的參數為,λ=25，δ=40，ε=0.001。

系統中的摩擦模型為

(21)

kc(t)為時變的摩擦參數：

(22)

在仿真中，給定一個正弦輸入信號r(t)=sin(πt+π/6)，系統中存在摩擦環節和一個值為-0.5 V的定常擾動(負載)，通過仿真觀察軌跡跟蹤控制算法和自適應摩擦補償的應用效果。圖1～圖3分別為無補償(fd=0且不補償摩擦)、 僅擾動補償(fd=1且不補償摩擦)、擾動補償加摩擦補償3種情況的仿真結果。

從圖1可以看出，如果既不補償擾動也不加入摩擦補償，系統的輸出信號與目標信號之間將出現明顯的偏差，并且存在平頂現象，擾動和摩擦的存在導致了跟蹤誤差，而平頂現象主要是由摩擦導致的。從圖1中還可以觀察到，第2 s之后的跟蹤效果明顯不如第2 s之前的跟蹤效果，這是因為摩擦力的大小發生了變化，隨著摩擦力的增大，跟蹤誤差也越來越大，軌跡跟蹤性能顯著下降。

圖1 無補償時的正弦波跟蹤仿真結果

從圖2可以看出，擾動補償的加入，減小了跟蹤誤差，但平頂現象仍然存在，這說明了擾動補償雖能對系統中的定常擾動起到良好的抑制作用，但對系統中存在的時變摩擦并不能有效地加以抑制，因此，有必要引入額外的措施對摩擦環節進行補償。

圖2 僅擾動補償的正弦波跟蹤仿真結果

從圖3中可以看出，在擾動補償的基礎上，再加入自適應摩擦補償，系統的跟蹤性能得到了很大的提升，消除了平頂現象，說明該補償器有很好的補償效果，能有效地消除摩擦環節帶來的不良影響。

圖3 擾動補償加摩擦補償的正弦波跟蹤仿真結果

為了驗證摩擦補償方法的適應性，現將目標軌跡信號改為超越函數信號r(t)=2·esin πt來測試軌跡跟蹤效果，仿真結果如圖4～圖6所示。從圖4可以看出，無補償時，系統的跟蹤性能較差，存在較大的跟蹤誤差和平頂現象。從圖5可以看出，加入擾動補償后，顯著地減小了跟蹤誤差，但依然存在平頂現象。從圖6可以看出，加入摩擦補償后，原先存在的跟蹤誤差和平頂現象均被消除，系統能很好地對超越函數信號進行軌跡跟蹤，摩擦補償起到了令人滿意的效果。仿真結果證明了該控制方法在不同的目標軌跡下也能實現摩擦補償，具有自適應性。

圖4 無補償時的仿真結果(超越函數)

圖5 僅擾動補償的仿真結果(超越函數)

圖6 擾動補償加摩擦補償的仿真結果(超越函數)

4 試驗驗證

利用TMS320F28335DSP對復合非線性軌跡跟蹤控制和自適應摩擦補償算法進行編程，并通過一個直流電機伺服系統進行試驗驗證，如圖7所示。

圖7 直流電機伺服系統

為了驗證控制律中擾動補償與自適應摩擦補償的效果，將分別進行無補償、有擾動補償、擾動補償加自適應摩擦補償3種方案下的軌跡跟蹤試驗。試驗中給定的輸入信號為r(t)=πsin 2πt，并在程序中設置了一個方波信號，當方波處于高電平時，控制電機對目標軌跡進行跟蹤，當處于低電平時，電機位置回零。既能看到完整的正弦波軌跡，又能看到軌跡跟蹤的瞬態和穩態過程。試驗的采樣周期設為Ts=2 ms，模型參數和控制律的參數設置均與仿真中相同，自適應補償器的參數設置為，λ=60，δ=4，ε=0.001。各方案的試驗結果分別如圖8～圖10所示。

由圖8可以看出，當控制律中無補償(fd=0)時，系統的跟蹤性能較差，存在較大的穩態誤差和明顯的平頂現象。由圖9可以看出，加入擾動補償(取fd=0.95，在控制精度和噪聲敏感度之間折中)，能明顯地改善系統的跟蹤性能，但仍然會存在平頂現象。由圖10可以看到，在擾動補償的基礎上加入自適應摩擦補償之后，幾乎完全消除了平頂現象，并且能夠很好地進行軌跡跟蹤，降低了穩態誤差，提高了跟蹤精度，證明了所提摩擦補償方法的有效性。

圖8 無補償時的正弦波跟蹤試驗結果

圖9 僅擾動補償的正弦波跟蹤試驗結果

圖10 擾動補償加摩擦補償的正弦波跟蹤試驗結果

為了進一步驗證該摩擦補償方法的自適應性，將輸入信號改為超越函數信號r(t)=esin(4πt)，再進行軌跡跟蹤試驗。試驗結果如圖11、圖12所示。從試驗結果可以看出，加入摩擦補償后，消除了原來存在的平頂現象和穩態誤差，使系統能對超越函數信號很好地進行軌跡跟蹤，說明該控制方案對不同類型的目標軌跡也能達到很好的跟蹤效果，體現了摩擦補償方法的適應性。

圖11 僅擾動補償(摩擦不補償)時的超越函數信號跟蹤的試驗結果

圖12 擾動補償加摩擦補償的超越函數信號跟蹤的試驗結果

5 結 語

針對電機伺服系統，設計了一個帶有擾動補償的復合非線性軌跡跟蹤控制器，又考慮到系統中存在的非線性摩擦環節將導致系統性能的下降，使其不能很好地對目標軌跡進行跟蹤。因此，在軌跡跟蹤控制的基礎上，加入一個自適應摩擦補償環節，以消除摩擦力對系統產生的不良影響。為了觀察摩擦補償的效果，在無補償、僅擾動補償、擾動補償加自適應摩擦補償3種情況下，進行了軌跡跟蹤的仿真與試驗。仿真與試驗結果一致表明，復合非線性軌跡跟蹤控制中的擾動補償能有效改善系統的跟蹤性能，但并不能很好地消除峰頂和谷底的平頂現象。而自適應摩擦補償的加入，則消除了平頂現象，明顯降低了系統的穩態誤差，幾乎完全消除了摩擦力帶來的不良影響，實現系統對目標軌跡的準確跟蹤，體現了該自適應摩擦補償方法的有效性，并且通過給定一個不同類型的目標軌跡信號再次進行軌跡跟蹤試驗，證明了該方法對不同類型的目標信號也能很好地進行軌跡跟蹤，具有期望的適應性。