基于差分進化算法的三維電場傳感器解耦標定方法

吳桂芳 崔 勇 劉 宏 張 磊

（1.中國電力科學院有限公司 北京 100192 2.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院 北京 100191 3.國網山東省電力公司電力科學研究院 濟南 250003）

0 引言

基于空間電場信息感知的三維電場傳感器在電力、航空航天、氣象和國防等諸多重要領域具有良好的應用前景[1-6]。近年來隨著直流輸電工程的投運，電力系統中的工程設計、電磁環境評價、帶電作業、智能巡檢等重要工作，都對三維空間電場的測量提出了迫切的需求。然而，到目前為止并沒有成熟可靠的空間電場傳感器及該類傳感器的標定方法。

直流輸電線路周邊的電場由兩部分組成，分別是極導線產生的標稱電場（靜電場）和導線電暈放電釋放電荷產生的附加電場，這兩部分電場共同形成了直流電場，因此輸電線路周邊的直流電場又常被稱為直流合成電場。

根據電場傳感器測量原理不同，現有直流電場傳感器可分為旋轉感應式、微機電系統（Micro-Electro-Mechanical System,MEMS）式和光學式。旋轉感應式電場傳感器可以測量直流合成電場[7-11]，也稱為場磨式電場傳感器；基于MEMS技術的電場傳感器的工作原理與旋轉感應式相似[1,7]，但是較多地適用于標稱電場的測量中，光學電場傳感器以基于晶體Pockels效應或電光Kerr效應為主。

傳感器標定就是利用精度高一級的標準器具對傳感器進行定度的過程，從而確立傳感器輸出量和輸入量之間的對應關系，通過標定可獲得三維電場傳感器靈敏度系數等性能參數。因此空間三維電場傳感器的標定/校準方法的研究具有重要意義[12]，而對三維直流合成電場傳感器來說，標定是測量中一個非常重要的步驟，只有通過標定，才能在實際測量中獲得準確的電場信息。

對于直流合成電場傳感器的校準，目前主流的方法仍然是采用平行板電容結構產生標準的均勻靜電場，并利用該靜電場模擬直流合成電場[13-14]。其主要原因在于直流合成電場測量所使用的場磨式電場傳感器在接地時可以有效地釋放積累電荷，因此空間電荷產生的附加場和極導線本身產生的靜電場二者的疊加場可以通過平行板電容結構進行統一模擬。對一維直流電場傳感器進行標定，標準的均勻電場產生通常采用平行板式裝置。其原理是利用兩塊足夠大的平行金屬極板構成一個電容器，然后在兩平行極板之間施加電壓，從而形成一個標準靜電場。根據IEEE關于直流電場強度和離子相關量測量的標準[14]，可設計標定裝置的平行極板尺寸和間距，確保電場傳感器避開標定裝置邊緣，使得傳感器所處電場的均勻性較好。對于三維電場傳感器的標定，可以采用一維標定裝置實現，即在一對平行極板間依次施加三個方向的電壓，同時傳感器需要在標定裝置內配合支撐結構進行相應的旋轉；或者采用三維標定裝置實現，即在三對平行極板間同時或依次施加三個電壓（此時三維傳感器不需要進行空間旋轉，標定過程均保持靜止狀態，僅需要支撐機構確保其處于標定裝置的適當位置）。無論采用哪種標定方式，電場傳感器維間耦合的準確解耦都是傳感器標定的關鍵問題。

基于求逆矩陣運算的標定方法是當前國內外常用的三維電場傳感器解耦標定方法[15-17]。自20世紀90年代以來，維間耦合解耦的方法并無太大的變化，仍是使用迭代尋優的辦法，只是在約束條件、目標函數等方面進行了改進[15-20]。2007年，D.M.Mach和W.J.Koshak[19]兩位學者提出了一種方法，不尋找靈敏度逆矩陣，因為該矩陣并不唯一，先求出靈敏度矩陣，使標定工作簡化；同時還為每個場磨賦予一個權重系數，可以在得到的總電場中增強或減弱某一場磨帶來的影響。例如，一旦傳感器陣列（陣列由6～8個一維場磨構成，分布在飛機的不同位置處）中部分傳感器異常，該傳感器的權重值就會降低，從而減弱傳感器異常帶來的影響。除此以外，對于靈敏度矩陣的數值迭代方法，也曾有學者提出其他的解決辦法。聞小龍等[2]于2014年提出的基于共面去耦結構的三維空間矩陣測量方法，將三個傳感器共面不共線放置，保證了靈敏度矩陣的可逆，并對其求逆可以得到實際三維電場強度與傳感器讀數的關系。李冰等[20]于2017年提出使用遺傳算法直接對靈敏度逆矩陣進行優化，該算法有很大概率可以找到全局最優解，還可以跳過矩陣求逆或偽逆，避免在這步驟中可能產生的誤差，但標定體系不夠完善。

本文在三維可調外界電場的情況下建立了同時含有維間耦合和角度偏差的標定模型，提出了在該模型下基于差分進化算法的求解靈敏度系數矩陣的方法，最終實現三維電場矢量傳感器的標定。在三次測量為一組、每組5 000次迭代的設置下，找到靈敏度系數矩陣的較為接近（誤差率＜3%）的解的概率極大。另外，在進行測量校準時，最好角度的范圍滿足α∈[180°,270°]，γ∈[270°,360°]，這樣可以進一步提升算法的精確度。

1 三維電場解耦標定模型

1.1 傳統方法存在的問題

對于三維電場傳感器，其三個感應電極方向分別與笛卡爾坐標系中的X、Y、Z軸方向相對應。三個方向的測量電極可分別感應出電壓信號Ux、Uy和Uz。理論上，三個方向的感應電壓分別對應電場的三個分量。然而，由于傳感器在設計過程中很難做到三個感應電極間完全去耦合，因此會導致在實際電場測量中，Ux、Uy和Uz中也會包括其他方向的電場分量，即某方向的測量電極感應電壓不僅與本方向的電場有關，而且還與另外兩個方向的電場有關。為了準確地得到某一方向上電場測量結果，須對測量結果進行還原，這個過程可稱為電場傳感器解耦。這種耦合關系可以表示為

式中，U為電場傳感器三個測量電極的輸出向量；λ為電場傳感器的耦合靈敏度矩陣，該矩陣是電場傳感器的固有屬性；E′為被測電場向量。

將式（1）展開，可得

式中，λij為測量單元i對j方向電場的靈敏度系數，i=1,2,3，j取1，2和3分別對應X、Y、Z方向。

基于傳統方法，對此三維電場傳感器的標定過程為：將傳感器放置于三維電場標定裝置中，使得傳感器的三個感應電極分別與標定裝置的X、Y、Z方向重合，通過改變標定裝置三個方向的電壓實現標定電場值的變化，進而可以求出電場傳感器的耦合靈敏度矩陣λ。然而，該方法需要在標定過程中確保感應電極與電場方向完全重合，該要求對于標定裝置的設計和標定人員都提出了較高的要求。例如，需要增加額外的對準機構和其他傳感器確保完全重合，將會增加校準裝置設計的復雜度和工作人員的操作難度，不利于傳感器標定結果的一致性和準確性。

本文針對該問題，提出一種新的三維電場傳感器解耦標定方法，其基本思路為：通過建立含有維間耦合和角度偏差的標定模型，結合差分進化算法實現對靈敏度系數矩陣的求解。該方法將簡化標定裝置設計的復雜度，同時降低標定過程的難度。這種模型下，通過傳感器粗略的空間角度信息以及標準電場的電場強度值，就可以根據傳感器的輸出電壓值求解出靈敏度系數矩陣，使得同時考慮維間耦合和空間位置角度偏差成為可能，這是目前廣泛采用的其他模型所不具備的。

1.2 標定模型坐標系建立

設XOYZ為自然坐標系，X′OY′Z′為傳感器坐標系。對于確定傳感器所在空間的位置，需要三個角度，用三個旋轉角（α,β,γ）分三步表示。假設電場校準裝置外安裝多自由度旋轉機構，再將該機構通過一非金屬剛體（如木頭、樹脂等）與傳感器夾持連接。由于剛體采用非金屬材料，其本身不會畸變電場。由處于電場校準裝置外部的旋轉機構帶動傳感器發生三種旋轉：剛體在垂直于平行板極板平面方向運動，帶動傳感器繞Z軸（旋轉之前Z軸與Z′軸重合）旋轉α角；剛體自轉，帶動傳感器繞Y′軸旋轉β角；剛體在垂直于紙面方向運動，帶動傳感器繞X′軸旋轉γ角。

首先，記傳感器繞Z軸逆時針轉過的角度為α（順著坐標軸正方向看去），得到第一個坐標系X1OY1Z1，如圖1所示。

圖1 傳感器第1次旋轉角度示意圖Fig.1 Diagram of the first rotation angle of the sensor

該旋轉變換的坐標系轉換方程為

記式（3）右側第一個矩陣為坐標系轉換第一矩陣K1。

同理，記傳感器繞Y1軸逆時針旋轉的角度為β，得到新的坐標系X2OY2Z2，如圖2所示。

圖2 傳感器第2次旋轉角度示意圖Fig.2 Diagram of the second rotation angle of the sensor

可得到坐標系轉換第二矩陣為

最后，繞X2軸逆時針旋轉γ角度，得到新的坐標系X3OY3Z3，如圖3和圖4所示。

圖3 傳感器第3次旋轉角度示意圖Fig.3 Diagram of the third rotation angle of the sensor

圖4 三維電場標定裝置示意圖Fig.4 Diagram of 3D electric field calibration device

可得坐標系轉換第三矩陣為

綜上，得到了總的坐標系轉換矩陣。XOYZ和X′OY′Z′兩個坐標系下電場強度的關系公式為

式中，E′為傳感器所處空間位置處的電場強度；E為標定裝置所產生的電場；坐標系變換矩陣K為

1.3 解耦標定方法

所設計的三維電場標定裝置如圖4所示，該圖為平行于XOY平面的剖面圖（與后極板相對應的前極板未標出，固定及驅動傳感器轉動的裝置未標出）。傳感器在電場標定裝置中的姿態角為α、β和γ。

因此，可以得到傳感器的輸出方程為

上述模型需要求解的是標定方程中的靈敏度系數矩陣。在三維電場標定裝置中，可以給出在三個坐標軸方向均可調的電場的強度，為簡化計算，將(ExEyEz)′取單位電場強度(1 0 0)′，便可得出一組三個方向上的傳感器輸出的電壓值，分別記為Ux1、Uy1、Uz1；同理，再分別令(ExEyEz)′取(010)′和(001)′，得到另外六個電壓值，分別記為Ux2、Uy2、Uz2；Ux3、Uy3、Uz3。將三次輸出寫成矩陣的形式，即可得到出傳感器輸出電壓矩陣。

式中，I為場強組成的單位矩陣，則有

因K是正交矩陣，所以K一定可逆。

理論上，在整個標定過程中，靈敏度系數矩陣是不變的，即多次測量得到的靈敏度系數矩陣應該相同。但在實際中，由于存在測量誤差，每次測量得到的靈敏度系數矩陣都會存在一定差別，因此需要進行多次測量。測量次數越多，得到的靈敏度系數矩陣越接近傳感器的真實值。

1.4 標定流程

根據上述標定方法，可確定如圖5所示標定流程。

圖5 三維電場標定方法流程Fig.5 Flow chart of three-dimensional electric field calibration method

2 基于差分進化算法的解耦方法

在進行多次測量過后，每一組測量數據U都可以通過乘以K-1的方式得到λ矩陣，這些表達出來的λ矩陣應該相同。因此，可以通過數次測量，使用某種尋優算法來獲取靈敏度系數矩陣的近似解。

2.1 算法設計

給出若干組電壓測量值，算法從若干組隨機的角度點對（α,β,γ）開始，分別用對應的電壓測量值矩陣乘以對應的坐標系轉換矩陣的逆，得到若干靈敏度系數矩陣；可以將其寫成一個向量，計算這些靈敏度系數矩陣之間的L距離，定義目標函數。

以三次測量為一組，記第i次測量值給出的數據計算得到的λ矩陣為λi，定義目標函數F為

由于角度變化如何影響坐標系轉換矩陣的變化尚未明確，因此考慮使用隨機搜索算法。隨機搜索算法常見的有遺傳算法（Genetic Algorithm,GA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization,PSO）、差分進化算法（Differential Evolution,DE）和模擬退火法（Simulated Annealing,SA）等。

在文獻[21-23]中，分別對DE、GA、PSO、SA算法進行了系列實驗分析，DE算法均獲得了最優的性能。DE算法簡單強大，收斂迅速穩定，控制參數少，且參數設置對結果影響不明顯因而易于實現，可以快速準確地解決高維問題。在本算例應用中，坐標系轉換矩陣中的元素均為三角函數的四則運算，在形式上更接近多峰函數，DE算法由于變異過程的存在，有一定概率跳出局部最優值，具有強大的全局尋優能力，更適合多峰函數的情況[24]。

綜合以上因素，選擇使用隨機搜索算法中的差分進化算法。

2.2 算法步驟

DE算法步驟包括解向量的變異（Mutation）、交叉（Crossover）、選擇（Selection）三種操作。

DE算法的主要思路是：

1）種群初始化。在求解空間中隨機并且均勻地產生若干個體，每個個體xi(0)在本例中都由9維向量構成。

2）向量變異。在第g次迭代中，從種群中隨機選擇三個個體在尋優策略下，生成變異向量Hi(g)。其中，縮放因子的最大值為1，縮放因子最小值為0.5；初始縮放因子取0.5，能夠將上述隨機選擇的三個個體進行適應度從優到劣的排序。

3）向量交叉。選取變異向量Hi(g)與種群中的同代個體xi進行交叉。本例中交叉概率的值為0.7。

4）最優個體選擇。比較試驗個體與原父代個體的適應度函數，實現最優個體的選擇。

DE算法的流程如圖6所示，其中，滿足終止條件指達到最大迭代次數，在本例中設置為5 000。

圖6 差分進化算法流程Fig.6 Flow chart of differential evolution algorithm

在使用該方法校準傳感器時，只需將傳感器任意方向地在標準電場中旋轉n組，每組三次旋轉，得到3n個電壓值；同時，粗略地測量這3n個角度，得到3n個角度的粗略值；輸入3n個電壓值和3n個角度的角度范圍，比如粗略值左右各20°。這樣，經過許多次迭代，算法就能找到靈敏度系數矩陣的近似值。

3 三維電場精確度分析

3.1 算法精確度檢驗

本文中使用python中Scipy庫。Scipy庫可以處理優化、插值、常微分方程數值解的求解等問題。使用Scipy庫中的Optimize模塊，參數設置如下：取初始種群大小為50；取變異時的縮放因子為（0.5,1）中的值，并隨每一代個體進行自適應性調整；取交叉時的交叉概率為0.7。

矩陣之間的距離，定義為矩陣對應元素做差所得到的差矩陣的度量。根據不同的范數定義如L（1各元素絕對值之和），L2（各元素平方和的平方根），可以相對應地得到矩陣的L1距離和L2距離分別為

式中，cij為兩個矩陣對應元素做差所得到的差矩陣C(m×n）的第i行第j列的元素。

使用同一組數據分別定義式（12）和式（13）的兩種目標函數，獲得采用距離L1和距離L2定義的靈敏度系數差值的對比數據，如圖7所示，以測試更適合的目標函數的定義。

圖7 使用不同距離計算出的誤差值Fig.7 Comparison chart of different distance

圖7中，λ代表原給定的靈敏度系數矩陣，λ1代表以L1距離為優化函數求得的靈敏度系數矩陣；λ2代表以L2距離為優化函數求得的靈敏度系數矩陣。橫軸共有9個離散的點，分別為靈敏度系數矩陣中相應元素的L1或L2距離值。可以看出，基于L1距離定義的目標函數效果較好。其原因在于，在三維空間中，到某一定點P的L2距離小于某一定值的點比L1距離下要多。除此以外，增加每組測量的測量次數、增加最大迭代次數等方法也可以提升算法的精確度。

以三次測量一組為例，檢驗該方法的精確性。

首先，假設

靈敏度系數的選取考慮了三維傳感器的維間耦合，因此在靈敏度系數矩陣λ0的非對角線設置了較強的耦合。分別設定三組傳感器的擺放角度，并基于該角度進行校準（每組三次）。

經過計算得到電壓值矩陣的具體數值為

將電壓值矩陣代入本文所述的解耦算法中，運用程序計算靈敏度系數矩陣，得到三個靈敏度系數矩陣，其值十分接近，僅在個別值的小數點第四位上有差異，取平均值可得

誤差率σ% 定義為9個系數之間最大的誤差，在本例中則為

經過多輪測試，在最大迭代次數為5 000的情況下，該方法均找到了誤差率不大于3%的解。

3.2 標定方法優化

利用計算機仿真的便利，討論精確度隨角度取值范圍的變化，優化標定方法。

由于α,β,γ∈[0,2π]，將每個角度的范圍平均分成四份，測試角度在4×4×4個不同區域內算法的精確度，繪制α、β、γ屬于不同范圍時的誤差率圖像。

圖8為誤差率隨α、β、γ取值變化范圍。圖中橫坐標分別為α、β、γ取值；縱坐標為λ的三個值中最大的相對誤差。

圖8 誤差率隨角度的變化范圍Fig.8 Variation of error rate with angle

由相對誤差率的最大值點的變化可以看出，在進行標定時，最好角度的范圍滿足α∈[180°,270°]，γ∈[270°,360°]，β的取值范圍對相對誤差率的影響則不如前兩者顯著。這樣可以進一步提升算法的精確度，避免出現某些個別值的誤差率大于3%的情況。

將本文所提方法與其他方法對比，如遺傳算法和模擬退火算法。不同算法之間的對比結果見表1。遺傳算法和模擬退火算法的平均誤差率和最大誤差率均大于差分進化算法，其主要原因在于差分進化算法使用了變異和交叉策略，實現了新個體取代較劣個體，有助于跳出局部最優值，實現全局最優。

表1 不同算法誤差率Tab.1 Comparison between algorithms

4 結論

為實現三維空間電場傳感器的標定，本文構建了靈敏度系數與維間耦合和空間位置角度關系的數學模型，提出了一種基于差分進化算法的求解靈敏度系數矩陣的方法。該方法能夠進行電場矢量傳感器的維間耦合解耦及傳感器校準的角度偏差校正，并簡化標定裝置設計的復雜度和難度，這是目前廣泛采用的其他模型所不具備的。該方法也可為其他類型的三維傳感器標定提供參考。研究結果表明：

1）在三維電場傳感器的標定中，通過傳感器空間角度信息及標準電場的電場強度值，就可以根據傳感器的輸出電壓值求解出靈敏度系數矩陣。同時，為減少測量誤差，需要進行多次測量校準。

2）通過選擇恰當的目標函數和約束條件，構造運算效率高、魯棒性強的差分進化算法，完成三維空間電場傳感器靈敏度特性尋優，能較為精確、穩定和快速地求解。

3）在進行標定時，角度范圍滿足α∈[180°,270°]，γ∈[270°,360°]，可以進一步提升算法的精確度和標定的準確性。