基于反饋線性化的永磁直線同步電機自適應動態滑模控制

張 康 王麗梅

（沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870）

0 引言

永磁直線同步電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor,PMLSM）與旋轉同步電機相比，具有更高的推力密度，更低的熱損耗，而且不存在機械耦合和滾珠絲杠問題，廣泛應用于高速度、高精度的數控加工領域[1-2]。但其系統存在變量間的耦合及參數攝動、負載擾動等不確定因素，嚴重影響速度跟蹤的快速性和精度[3-4]，因此，采用有效的控制策略，提高PMLSM的速度跟蹤性能，對于提高機床加工精度具有重要的意義。

為了提高永磁直線同步電機在高速、高精度應用場合的速度跟蹤能力，在傳統的直線伺服系統中往往通過派克變換及磁場定向控制，實現系統電流子系統和速度子系統之間的靜態解耦，再對電流和速度構成的雙閉環采用迭代學習控制[5]、H∞控制[6]、內模控制[7]等方法分開獨立控制。但在一些高響應、高精度的場合，電流子系統和線速度子系統各自變化的時間尺度相對接近，這時就不能忽略直交軸電流之間、線速度和電流之間存在的非線性耦合問題，否則系統的動態響應性能將難以得到保證[8]。同時永磁直線同步電機作為一個強耦合的非線性系統，給控制器的設計增加了難度[9]。為此，文獻[10]針對PMLSM伺服系統中速度和電流間存在的耦合問題，采用奇異攝動理論中的對角化方法將系統非線性耦合模型分解成慢變（速度）和快變（電流）子系統，基于子系統分別設計滑模控制律。但該方法分解得到的為非線性子系統，而設計的滑模面為線性滑模面，從理論上說，考慮系統的非線性特性，選取的滑模面也應該是非線性的[11]。

反饋線性化控制（Feedback Linearization Control,FLC）作為以微分幾何為基礎的一種非線性控制方法，通過坐標變換與非線性狀態反饋，可使非線性耦合系統轉換為獨立的線性系統，已在混合勵磁同步電機[12]、無刷雙饋電機[13]和異步電機[14]等交流伺服系統中得到應用。文獻[15-16]將反饋線性化方法應用于直線伺服系統，實現電流和線速度間的動態解耦，然而FLC方法對系統數學模型具有強依賴性，因此魯棒性不強，難以滿足高性能速度跟蹤的要求。滑模控制（Sliding Mode Control,SMC）作為一種常用的魯棒控制方法，具有響應快、魯棒性強、實現簡單等優點，成為提高伺服系統控制性能的有效手段之一[17]。但在傳統滑模控制中，為了保證系統具有較強的魯棒性和穩定性，切換增益的設置要足夠大，以抵消系統的擾動，而較大的切換增益會導致高頻抖振的發生。為此，文獻[18]針對伺服系統提出了一種動態滑模控制方法，動態滑模面可將不連續控制作用轉移到控制量的一階或高階導數中，通過在時間上積分得到連續的動態滑模控制律，進而削弱系統抖振現象。

為了提高PMLSM在高速、高精度應用場合的速度跟蹤能力，本文提出了基于反饋線性化的自適應動態滑模控制（Feedback Linearization-Adaptive Dynamic Sliding Model Control,FL-ADSMC）策略。首先，以直軸電流、交軸電流和線速度為狀態量建立永磁直線同步電機雙輸入雙輸出仿射非線性系統模型，根據非線性系統反饋線性化理論，將 PMLSM非線性耦合系統解耦為獨立的電流子系統和線速度子系統，以降低控制器的設計難度。其次，針對線性子系統，一方面設計動態滑模控制器，提高速度和電流之間的解耦能力，改善系統動態響應性能，增強系統魯棒性；另一方面設計擾動自適應律削弱切換控制引起的抖振。最后，通過實驗驗證所提控制策略的可行性和有效性。

1 永磁直線同步電機動態數學模型

考慮系統的模型不確定性、負載擾動、參數攝動等影響因素，PMLSM在兩相旋轉dq坐標系下的數學模型為[19]

式中，Rs為相電阻；ud、uq分別為d、q軸電壓；id、iq分別為d、q軸電流、Ld、Lq分別為d、q軸電感；φf為勵磁磁鏈；v為動子線速度；fv為負載擾動，主要包括系統模型不確定性、電機動子質量變化；M為動子及所帶負載的總質量；Bv為黏滯摩擦系數；τn為極距；p為極對數。

伺服系統的控制目標為：①將多輸入、多輸出、強耦合的永磁直線同步電機非線性系統解耦線性化為電流子系統和線速度子系統；②在出現參數攝動、負載擾動等不確定因素時，系統輸出可以嚴格跟蹤任意給定輸入。

2 永磁直線同步電機反饋線性化

由式（3）和式（4）可知，根據所選取系統輸出，PMLSM伺服系統相對階分別為r1=1、r2=2，總相對階數為1+2=3，等于系統（2）的維數3。因此，系統可實現狀態反饋線性化。

根據反饋線性化理論與相對階的定義，對輸出函數求對應相對階數的Lie導數。

當k9(k6k10x1+k7k10)≠0時，解耦矩陣B(X)為非奇異矩陣，根據FLC理論，選取坐標變換。

經上述坐標變換后，原非線性耦合系統可變換成兩個獨立線性系統。

式中，v1、v2為新的控制輸入，定義v=[v1v2]T，與系統（2）控制量u的關系為

綜上所述，經過反饋線性化后，原耦合非線性伺服系統解耦線性化為電流子系統和線速度子系統。線性系統式（9）和式（10）的狀態空間平衡點為[z1z2]= [0 0]，因此，PMLSM伺服系統的控制目標轉換為通過設計控制律，使其在平衡點漸近穩定，并具有良好的動態性能，即將系統速度跟蹤問題轉換為系統誤差的收斂性問題。另外，利用微分同胚的映射關系，可在線性系統上設計控制器，實現非線性系統的控制功能[11]。

3 自適應動態滑模控制器

根據第2節可知，對永磁直線同步電機動態數學模型的解耦線性化是建立在其精確模型的基礎上，并且在新的狀態變量中含有系統的未知擾動fv，因此在實際系統應用中存在局限性。

3.1 自適應動態滑模控制器設計

本節將利用動態滑模控制的原理，對線性系統式（9）和式（10）設計動態滑模控制器，減小反饋線性化控制方法對直線電機數學模型的依賴性，同時設計自適應控制律估計系統的不確定性擾動，進一步提高對PMLSM系統的動態控制性能。

首先，定義滑模面為

式中，Sd為電流滑模面；Sv為速度滑模面；cv為嚴格的正常數。

新的動態滑模面設計為

式中，σd為電流動態滑模面；σv為速度動態滑模面；λd、λv為嚴格的正常數。

對S求導，將式（9）和式（10）代入式（12），得

當采用式（13）的動態滑模面時，為了提高系統正常運動段的動態品質，采用指數趨近律設計動態滑模控制器，控制律v1、v2設計為

設計系統擾動fv自適應律為

3.2 系統穩定性證明

在實際系統中，直線電機參數通常是緩慢變化的[20]，故認為=0。因此，對式（14）求導可得

對式（13）求一階導數可得

定義fv的估計誤差，將式（14）和式（17）代入式（18）得

將式（15）的控制律代入式（19）得

定義系統的Lyapunov函數

則由式（16）、式（20）和式（21）可得

因此，基于李雅普諾夫穩定性理論，當σ≠0時，是負定的，表明李雅普諾夫函數Vd、Vv是收斂的，可以確保系統狀態在有限時間內到達滑模面σ=0，線性滑模面S將到達并保持在二階滑模狀態。另外，由于線性滑模面的定義滿足Hurwitz多項式，所以系統狀態z1和z2將漸近收斂到零。

綜上所述，可得永磁直線同步電機控制系統框圖如圖1所示。

圖1 永磁直線同步電機控制系統框圖Fig.1 Block diagram of control system of permanent magnet linear synchronous motor

4 仿真分析與實驗驗證

為驗證FL-ADSMC速度跟蹤控制策略的可行性和有效性，進行仿真分析與實驗驗證，并與基于反饋線性化的線性狀態反饋（FL-LSF）控制策略進行對比分析。電機參數：M= 0.38kg ；τn= 14mm ；Bv= 0.8N? sm；Rs=1.1Ω ；Ld=Lq= 0.02H ；φf= 0.03Wb ；p=3。FL-ADSMC速度控制器的參數為cv=110；λd=85；λv=80；εd=150；εv=180；kd=75；kv=75。

FL-LSF控制律設計為

式中，α、β、λ為配置的反饋極點。

根據Routh Criterion可知，當α＞0，β＞0，λ＞0時系統保持穩定。經過反復配置極點，選取α=300，β=350，λ=90。

4.1 仿真分析

速度給定：初始幅值為0m/s，0.25s發生階躍，階躍幅值為1m/s；給定d軸電流為0A，空載狀態下起動。比較FL-LSF與FL-ADSMC 的階躍響應性能，如圖2所示。由圖2a可以看出，FL-LSF的速度階躍響應出現了輕微的超調現象，且響應時間長。FL-ADSMC速度階躍響應不存在超調，且響應時間短；圖2b可以看出交軸電流在速度變化后幅值增大，且FL-ADSMC的響應時間更快。因此，FLADSMC相比FL-LSF具有較好的速度響應性能。同時從圖2b局部發大圖可知，基于FL-ADSMC的穩態電流波形相對于FL-LSF而言，波動頻率相似，但抖振幅度較小。

圖2 階躍響應Fig.2 Step response

PMLSM伺服系統以1m/s的給定速度穩態運行，在0.25s突加200N負載擾動。比較FL-LSF與FLADSMC 對突加負載擾動的魯棒性能，速度響應和電流響應如圖3所示。從圖中可以看出，當電機穩定運行時突增負載擾動，FL-LSF速度波形下降約0.08m/s，恢復時間約為0.07s；FL-ADSMC速度響應曲線下降0.04m/s，恢復到穩態的時間約為0.05s，電流增加約4A，用來補償負載擾動，且穩態電流抖振幅度下降。因此，FL-ADSMC對突加負載擾動具有較好的魯棒性，能削弱系統抖振幅度。

圖3 突加負載響應Fig.3 Sudden load response

圖4 突減負載響應Fig.4 Sudden reduction of load response

PMLSM伺服系統帶載200N，以1m/s的給定速度穩態運行，在0.25s突減200N負載。突減負載時，FL-LSF速度波形上升約0.09m/s，恢復時間為0.11s；FL-ADSMC在突減負載擾動時速度波動約為0.04m/s，恢復時間約為0.9s。由此可知，針對解耦后的線性系統設計自適應動態滑模控制器，能削弱滑模控制的抖振現象，提高系統對突減負載擾動的魯棒性。

4.2 實驗驗證

基于數字信號處理器的PMLSM伺服系統實驗硬件結構圖如圖5所示。實驗選用TMS320F28335作為核心控制單元，系統采樣周期為0.5ms，系統主要由永磁直線同步電機、PC+DSP運算控制單元、固定分辨率為0.05μm的直線光柵尺、霍爾電流傳感器和智能功率模塊（Inteligent Power Module,IPM逆變器組成。利用匯編語言實現控制算法及電流矢量控制，輸出6路PWM波控制IPM 模塊的導通。圖6為基于DSP的PMLSM實驗系統實物圖。在實驗中，控制器參數設置與仿真實驗相同。

圖5 基于DSP的PMLSM控制系統硬件結構圖Fig.5 Hardware block diagram of PMLSM control system based on DSP

圖6 基于DSP的PMLSM實驗系統實物圖Fig.6 Photograph of PMLSM experiment system based on DSP

圖7為采用FL-LSF與FL-ADSMC策略時的速度階躍響應。速度在0m/s和0.3m/s之間階躍，FLLSF的速度響應存在0.01m/s的超調，并且調節時間較長為0.21s；而采用FL-ADSMC策略實現了速度無超調，且調節時間為0.18s。因此，FL-ADSMC策略在滿足速度無超調的同時實現了系統快速響應，具有良好的穩態精度。

圖7 階躍響應Fig.7 Step response

為驗證FL-ADSMC策略對負載擾動的魯棒性，在速度0.4m/s 時進行突加和突減負載實驗且和FL-LSF進行了對比分析。實驗結果如圖8和圖9所示。

圖8 突加負載響應Fig.8 Sudden load response

圖9 突減負載響應Fig.9 Sudden reduction of load response

由圖8和圖9可知，采用FL-LSF時，突加200N負載擾動，速度響應曲線下降了約0.1m/s，穩態恢復時間約為0.4s；突減200N負載擾動，速度響應曲線上升了約0.09m/s，恢復到穩態的時間為0.3s。而采用FL-ADSMC策略時，速度波動分別為0.07m/s和0.06m/s，恢復時間分別為0.17s和0.18s。可見，相比FL-LSF策略，FL-ADSMC策略對負載擾動具有較好的魯棒性，且在系統受到擾動時，能保證速度穩態誤差抖振幅度較小。

5 結論

為了提高永磁直線同步電機速度跟蹤性能，提出了基于反饋線性化的自適應動態滑模控制策略。通過仿真分析與實驗驗證得到以下結論：

1）將考慮參數攝動和未建模動態的PMLSM非線性耦合系統解耦成獨立的電流子系統和線速度子系統，降低了速度控制器的設計難度。

2）針對線性子系統分別設計動態滑模控制器，減小了反饋線性化控制對系統數學模型的強依賴性，并設計自適應律估計擾動，提高了控制性能。

3）FL-ADSMC對突加和突減系統負載擾動都具有很好的魯棒性，能夠保證電機速度跟蹤精度和響應速度，改善直線伺服系統的動態和穩態性能。