晴朗天氣下全天空域偏振定向方法*

蔡 弘，張 然，關 樂，萬振華，褚金奎※

（1.大連理工大學機械工程學院，遼寧大連116023；2.大連大學機械工程學院，遼寧大連116622）

0 引言

非偏振的太陽光傳輸到大氣中，會被大氣中的塵埃、分子以及氣溶膠等微粒散射和吸收，從而變成部分偏振光[1]。晴朗天空的偏振模式符合瑞利單次散射理論，在某一時刻某一位置對應的天空偏振模式是穩定的，太陽的位置隨著時間及觀測地點的變化而有規律的移動，因此在天空偏振模式下獲取載體坐標系下太陽方位角可以用于導航定向[2-3]。

當前天空偏振導航系統主要分為點源式和圖像式。本課題組較早使用點源式偏振導航系統，并基于瑞利散射理論獲取載體坐標系下太陽方位角[4-7]。但由于點源式偏振導航系統局限于測量天空某幾個點的偏振信息，不能很好地測量全天空域的偏振信息，易受環境噪聲的影響。于是開發了圖像式偏振導航系統[8-9]。國防科技大學使用分通道式的圖像偏振導航系統在晴朗天氣下最大定向誤差為0.5°[10]，由于多個通道不是經過同一鏡頭入射到CMOS焦平面上，存在瞬時視場誤差。

當前在晴朗天氣下利用天空偏振場圖獲取太陽方向的算法主要為識別太陽子午線，因為在晴朗天氣下偏振方位角關于太陽子午線具有很好的對稱性。清華大學提出基于霍夫線變換提取太陽子午線的方法，在晴朗無云天氣下精度為0.313°[11]。中北大學使用分通道式的圖像偏振導航系統基于最小二乘法擬合太陽子午線[12]，本課題組提出分箱法擬合太陽子午線[13]。

由于太陽子午線上偏振光信息并沒有天空圖像中全局偏振光信息豐富，利用擬合太陽子午線方法比基于瑞利散射理論獲取太陽方向方法所使用的天空偏振光束少，擬合太陽子午線方法在完全被遮擋情況下可能會失效，同時研究表明，生物中昆蟲的復眼也是利用多個方向的偏振小眼感知大視場天空區域的偏振光[14-15]。本文為了獲取更大視場的天空偏振光，使用魚眼鏡頭結合偏振相機搭建圖像式偏振定向測量系統，提出一種以信標發光二極管為基準的魚眼鏡頭天頂角標定方法，利用瑞利散射理論和太陽矢量約束計算載體坐標系下的太陽方位角。室外實驗表明本文方法比擬合太陽子午線的兩種方法（最小二乘法、分箱法）誤差更小。

1 理論

1.1 獲取天空偏振場圖

圖1 所示為實驗所用設備，實驗時主要使用三腳架支撐偏振探測系統，通過網口連接電腦采集天空圖像。偏振探測系統包含魚眼鏡頭和偏振相機，偏振相機主要由微透鏡陣列、偏振片陣列以及像素陣列組成，其中偏振片陣列包含0°、45°、90°和135°共4個偏振方向。

圖1 實驗設備

斯托克斯矢量表達式如下：

I、Q、U三個變量的獲取如下：

偏振度DOP表征天空偏振態，計算如下：

偏振角AOP是載體坐標系中天空觀測點的偏振方向矢量與載體（相機）體軸的夾角，計算如下：

偏振方位角AOE是天空觀測坐標系中天空觀測點的偏振方向矢量與當地子午線切線方向的夾角，計算如下：

式中：（i,j）為像素點坐標；h為圖像的高；w為圖像的寬。

1.2 獲取載體坐標系下太陽方位角

圖2 所示為晴朗天空偏振分布模式，以地面觀測點為原點建立載體坐標系（即相機坐標系XcYcZc），在載體坐標系中太陽方向矢量OS與軸Zc的夾角γs為太陽天頂角，OS與軸Xc的夾角a′s為載體坐標系下太陽方位角。天空觀測方向矢量OP與軸Zc的夾角γ為天空觀測點天頂角，OP與軸Xc的夾角a為天空觀測點方位角，天頂角的角度范圍為閉區間[0°，90°]，方位角以軸Xc正方向為0°，逆時針方向為正，順時針方向為負，角度范圍為閉區間[-180°，+180°]。

圖2 晴朗天空偏振分布模型

圖中的偏振方向矢量E在載體坐標系中表示為cE，在天空觀測點坐標系中表示為iE。在相機坐標系中天空觀測點P位置的偏振方向矢量cE表示為：

以天空觀測點P為原點建立天空觀測坐標系XiYiZi，P位置的偏振方向矢量iE與軸Xi正方向的夾角φ為偏振方位角即AOE，該矢量表示如下：

cRi表示天空觀測坐標系相對載體坐標系的旋轉矩陣，包含了天空觀測點方位角a和天空觀測點天頂角γ的具體展開形式為：

由于魚眼鏡頭采集的圖像存在較大的徑向畸變，徑向畸變主要影響天空觀測點的天頂角，因此為了獲取準確的天空觀測點的天頂角，對像素距離（圖像中像素點與圖像中心的距離）與天空觀測點的天頂角進行標定。圖3所示為魚眼鏡頭的天頂角標定原理，固定偏振相機與魚眼鏡頭，將發光二極管與魚眼鏡頭的光軸對齊，并繞鏡頭的光心逆時針旋轉，每旋轉一次對應的觀測點的天頂角γ累加10°并采集圖像，共旋轉9次，旋轉角度范圍為閉區間[0°，90°]，模擬了半球狀的天空分布。每一位置的發光二極管在圖像中對應一個像素點，例如位置A處的發光二極管在圖像中對應著像素點A′，同理B對應著B′。要標定觀測點的天頂角γ與像素距離（圖像中像素點與圖像中心A′的距離）的映射關系。將實際得到的觀測點的天頂角γ作為因變量，對應的像素距離作為自變量，可以得到9個點：（36.0,10），（73.0,20），（110.0,30），（146.0,40），（182.0,50），（219.0,60），（255.0,70），（291.1,80），（327.1,90）。用Matlab曲線擬合工具箱擬合觀測點的天頂角γ與像素距離（dis）之間的映射關系，當γ=0.2688dis∧1.004時，均方根誤差最小，為0.105。

圖3 魚眼鏡頭天頂角標定原理

根據瑞利單次散射理論，任意天空觀測點P的偏振方向矢量cE垂直于由天空觀測點P、太陽S及地面觀測點O組成的平面，則cE垂直于OS。天空中所有符合瑞利散射的點在相機坐標系中的偏振方向矢量組成矩陣理想情況下：

但實際由于誤差存在，需對太陽方向矢量作最優估計：

式（13）為對式（12）中函數f(OS)求導，為了獲取該函數的最小值，令導數等于0。由于OS不為零向量，則則f(OS)min=λmin，則太陽方向矢量OS的最優估計為矩陣的最小特征值λmin對應的特征向量。

2 實驗與結果

實驗時間為2020年12月19日，天空晴朗無云，實驗地點為大連理工大學機械學院2號樓樓頂，坐標為（121.538 857，38.886 469）。實驗時用圖1所示設備采集11：25—14：16這一時間段的天空強度圖。大概是每隔10 min采集一次，如表1所示，共采集了14組數據。實驗過程以11：25時采集的天空圖像獲取載體坐標系下太陽方位角為例，如圖3所示。

表1 實驗數據（°）

圖4 包含4張圖像，均裁剪為400×400大小并做偽彩色處理。第一張為天空強度（Image）圖，為斯托克斯矢量中的I變量，第二張為偏振度（DOP）圖，第三張為偏振角（AOP）圖，第四張為偏振方位角（AOE）圖，AOE圖中Xc軸為載體體軸，圖中標記的黑線表示太陽子午線的位置，夾角a′s為載體坐標系下太陽方位角。圖4中Image圖顯示了存在太陽過曝區域，該區域對應的DOP=0，實驗時將DOP=0的像素點過濾，然后用本文提出的算法獲取載體坐標下太陽方位角。

圖4 獲取太陽方向實驗過程

表1 所示為14組實驗數據，每一組標注了地理坐標系下太陽方位角和太陽天頂角，通過查閱天文年歷可以獲得。并列出了最小二乘法擬合太陽子午線[12]、分箱法擬合太陽子午線[13]以及本文算法這3種方法獲取的載體坐標系下太陽方位角。

圖5 所示為14組數據的太陽相對轉角的曲線，其中▇曲線表示理想太陽相對轉角，通過將每組的地理坐標系下太陽方位角與第一組作差得到，●曲線表示用最小二乘法得到的太陽相對轉角組成的曲線，▲曲線表示用分箱法得到的太陽相對轉角組成的曲線，▼曲線表示用本文算法得到的太陽相對轉角組成的曲線，這3種方法獲得的太陽相對轉角均是將每組的載體坐標系下太陽方位角與第一組作差得到?？梢钥闯鰣D中的4條曲線具有相同的變化趨勢，但其中●曲線與▇曲線（理想太陽相對轉角）每組數據有較大偏差，而▼曲線相比于▲曲線，其與▇曲線每組數據更較為接近，說明本文算法獲取的太陽相對轉角更加準確。

圖5 太陽相對轉角

為了更好地說明本文算法的優越性，對上述3種算法分別與理想太陽相對轉角作差并擬合了3條曲線，如圖6所示。由誤差曲線圖可以看出▼曲線波動最小且一直在0附近變化。又分別計算3種算法的均方根誤差（RMSE），最小二乘法為3.12°，分箱法為0.9°，本文算法為0.28°。本文算法的均方根誤差最小，因此，本文算法要優于另兩種算法，在晴朗無云的天氣下具有可行性。

圖6 誤差曲線

3 結束語

本文首先基于斯托克斯矢量獲取天空偏振場圖，然后提出一種以信標發光二極管為基準的魚眼鏡頭天頂角標定方法，利用瑞利散射理論和太陽矢量約束計算載體坐標系下的太陽方位角，最后進行實驗分析。通過與擬合太陽子午線的兩種算法（最小二乘法和分箱法）比較，本文算法具有最小的均方根誤差，在實際的晴朗無云天氣下進行導航定向具有可行性。