基于兩桿張拉整體結構的可展機構設計*

孫建偉，趙浩然，孫金榮

（1.長春工業大學機電工程學院，長春130012；2.錢潮軸承有限公司智造工程中心，杭州311215）

0 引言

在航空航天工程技術的發展中，由于運載火箭的儲存空間有限，在設備未到達工作位置時，應當以較小的體積儲存運輸，當到達指定工作地點時，能進行展開，并保持穩定，所以可展機構得以大力發展[1-2]。常見的可展機構分為一維的伸展臂結構、二維的星載平面天線結構以及三維的空間可展開天線結構[3-5]。其中圓形可展開結構是空間可展開天線結構的主要表現形式，最早的固體反射面可展天線[6]由美國的TRW公司研制的Sunflower空間可展天線，展開狀態為空間拋物面，收攏時為圓柱形。

近年來，中國地質大學的丁華鋒團隊[7-8]對傘狀可展機構進行了研究，通過一類雙層雙環的連桿結構建立了可展機構的可展單元，再通過結構拓撲獲得了一系列的傘狀可展機構。胡甜甜[9]根據星載可展天線提出了一種設計方案，并對其方案進行了ADAMS仿真分析。

張拉整體結構[10]是由美國建筑大師富勒（R B Full?er）提出的，最早應用于建筑方面，由于張拉整體結構與傳統剛性結構不同，具有自平衡、可變形等優點，與可展機構具有相似的特性，為本文的可展機構的設計提供了新的設計靈感。Liu等[11]分析了軸向拼接張拉整體單元的方法，通過兩個三桿張拉整體結構拼接成球形張拉整體機器人。Nagasea等[12]利用相同的張拉整體單元，結合連接矩陣，構建復雜張拉整體結構的系統化建模方法。Sulatan[13]通過對拉索長短的變化控制張拉整體的展開，并分析了由上下兩層張拉整體組成的可展機構的展開路徑。Tibert等[14]將六棱柱張拉整體作為基本單元，設計并制作了可展天線，可應用于小型衛星。

本文的主要研究目標是將平面兩桿張拉整體的結構特點應用于可展機構的設計，基于平面兩桿張拉整體結構的自平衡、自穩定的優點，對可展機構進行幾何參數設計，使機構具有可展機構的功能同時可以快速展開，并在展開到穩定狀態時，能夠具有一定的穩定性。

1 可展單元設計與分析

1.1 可展機構單元設計

張拉整體結構是一些離散的受壓構件包含于一組連續的受拉構件中形成的穩定自平衡結構。兩桿張拉整體結構是最基本的平面張拉整體結構，通過改變張拉整體結構中拉簧與受壓桿的相對位置關系提出一種由張拉整體結構組成的可展單元結構。圖1（a）所示為平面兩桿三索張拉整體結構，將平面兩桿三索張拉整體結構中兩個受壓桿下端A、B向中間靠攏鉸接于一點，彈簧DE、CF位置保持不變得到圖1（b）。將此張拉整體結構應用到可展機構中，作為可展機構的可展單元使用。由于張拉整體結構具有可變形、自適應、自穩定、柔性的特點，所以作為可展單元時，相對于目前的可展機構，可以使可展機構具有快速展開并保持穩定的特點。

圖1 可展單元結構變化過程

1.2 兩桿張拉整體結構找形

圖2 所示為兩桿張拉整體的結構簡圖。由2根受壓桿AC、BD和3根受拉彈簧ED、DC、CF組成。桿AC、BD的長度分別為LAC、LBD。彈簧DE、CF固定于點E、F，EF的長度可以調整，令EF=ρ，且AE和AF距離相等。彈簧ED、DC、CF的長度分別為LED、LDC、LCF，彈簧剛度系數為K。C、D兩點的高度y相同，并且∠DAE=∠CAF=θ。機構自由度F=1，機構形狀由廣義坐標參數θ決定。

圖2 兩桿張拉整體結構

通過對提出的可展單元，即平面兩桿張拉整體進行找形分析，把ρ看作輸入，把y看作輸出，不同的ρ值對應不同的y。通過輸出參數即彈簧穩定時的長度y，證明張拉整體結構存在自穩定平衡狀態，進而得出可展單元自穩定平衡狀態時的幾何參數與尺寸參數。

根據結構的幾何關系可得彈簧長度：

機構的勢能（重力忽略）為：

根據最小勢能原理得：

由式（4）可得：

通過式（5）可以求解廣義坐標θ的值，以此來確定結構的形狀。

1.3 兩桿張拉整體結構奇異性分析

將式（5）代入y=Lsinθ得：

為了證明一個結構是否存在奇異性，因此對結構進行奇異性分析很有必要。奇異性分析的數學描述是：“一個結構或者系統的奇異構型對應其雅可比矩陣J的行列式等于零、趨于無窮、或者是不確定的情況。”本結構中只有一個輸入參數，故雅可比矩陣是一個標量數。

由式（8）可推出：

由式（6）和式（9）得：

為了研究機構的奇異形，將雅可比矩陣分解為兩部分。

該張拉整體結構的奇異形對應著R=0或S=0的情況，這時ρ=4K3L/K1或ρ=0。當ρ=0時，y=L，此時兩桿重疊并垂直X軸。當ρ=4K3L/K1時，y=0，此時兩桿共線并垂直Y軸。為避免奇異形，所以ρ的取值范圍為0＜ρ＜4K3L/K1。

2 可展機構的運動學分析

2.1 可展機構幾何參數設計

可展機構在完全收攏、逐漸展開到完全展開的過程中，機構的每個可展結構單元相對于底座機架都具有相同運動狀態。因此選擇機構中任意兩個連接的可展單元，通過底座機架為正六邊形的性質，可以得出可展機構完全展開狀態下的機構參數，圖3所示為可展機構完全展開狀態下的參數模型。

圖3 可展機構的參數模型

O為 機 架 重 心，C1、C0、C2為 機 架 的 頂 點，C1C0、C0C2為機架的邊。OA1⊥C1C0、|C1A1|=|A1C0|、OA2⊥C0C2、|C0A2|=|A2C2|。∠C1OC0=∠C0OC2=2μ，為機架的邊對應的圓心角，2β為機架相鄰兩邊的夾角，OC0為2β的角平分線，∠C1C0O=∠OC0C2=β。C1D1、C0D0、C2D2為受拉構件（彈簧）分別與OC1、OC0、OC2共線；A11B11、A12B12、A21B21、A22B22分別為受壓構架（桿）；桿的一端A11、A12、A21、A22連接在機架上，由齒輪E11、E12、E21、E22完成同步展開收攏功能，其中|A11A1|=|A1A12|、|A21A2|=A2A22|。C1D1D0C0、C0D0D2C2分別為相鄰的兩個可展單元，相鄰的兩個可展單元共用受拉構件（彈簧）C0D0。

根據前文對張拉整體結構的分析及計算，設計得到可展機構的尺寸參數如表1所示。

表1 可展機構尺寸參數表

2.2 可展機構運動學模型分析

本文中，運用傳遞矩陣法對所設計的可展機構進行運動學分析，如圖4所示，建立空間直角坐標系。其中Σ0O0-x0y0z0為全局坐標系；ΣiOi-xiyizi（i=1,2,…,6）為每個可展結構單元所對應的局部坐標系。局部坐標系Σi相對于全局坐標系Σ0的旋轉角度為：即：

圖4 可展機構

與底座轉軸相連的為轉動套筒，α為轉動套筒的轉角，轉動套筒的角速度為：

轉動套筒初始相位角為0，轉角α為：

對t進行二階求導，得到轉動套筒的角加速度為：

2.3 可展機構運動學分析

在各個局部坐標系Σi中，均有兩個關于xiOizi面對稱的受壓桿件，在此分析桿件末端坐標x為正的受壓桿件。可展機構中受壓桿件i（i=2,…,6）的轉動角度與轉動套筒的轉動角度相同，范圍為α∈[0,π/2]，各個局部坐標系Σi相對于全局坐標系Σ0的齊次變換矩陣為：

任意局部坐標系Σj與全局坐標系Σ0的齊次變換矩陣的關系式為：

由公式：

得到該時刻點N在全局坐標系Σ0中的坐標列矢量0N，由此可得點N在全局坐標系Σ0中相對于坐標原點O0的位移。

在任意時間點，可展機構的桿件末端點Ni（i=1,2,…,6）在與相應的局部坐標系Σi中的坐標列矢量為：

根據式（20）可得桿件末端點Ni（i=1,2,…,6）在全局坐標系Σ0中的坐標列矢量為：

用si=[six,siv,siz]T表示點Ni在全局坐標系Σ0中相對于坐標原點O0的位移，則有si=0Ni。對時間t求一階導數，可得點Ni在全局坐標系Σ0中的速度為：

同理，對時間t求二階導數，可得點Ni在全局坐標系Σ0中的加速度為：

3 仿真分析及結果對比

3.1 MATLAB運動仿真分析

根據上述的運動學方程，將公式通過MATLAB編程，得到各受壓桿件末端點Ni（i=1,2,…,6）在全局坐標系Σ0中的位移s、速度v、加速度a與時間t的關系曲線。其中位移、速度、加速度與時間的關系曲線分別如圖5~7所示。

圖5 末端點Ni的位移曲線

圖6 末端點Ni的角速度曲線

圖7 末端點Ni的加速度曲線

3.2 ADAMS運動仿真分析

基于張拉整體結構的可展機構模型以及相關尺寸參數建立可展機構ADAMS仿真模型并進行仿真試驗，驗證仿真模型能夠實現可展機構的快速展開，觀察可展機構從完全收攏到完全展開的全過程。基于ADAMS進行仿真分析，可得各個受壓桿件末端點Ni在全局坐標系Σ0中位移、速度、加速度與時間的關系曲線如圖8~10所示。

圖8 末端點Ni的位移曲線

圖9 末端點Ni的角速度曲線

圖10 末端點Ni的角加速度曲線

通過仿真試驗驗證了樣機模型能夠實現可展機構的運動。從仿真分析結果可以看出受壓桿件末端某一點的位移、速度、加速度與時間的關系理論計算結果和模型仿真結果大致相同。也可以看出可展機構能夠有效的快速的展開，說明所提出的理論方法的有效性和計算的正確性。

4 可展機構的樣機試制及展開實驗

根據對可展機構的設計，通過3D打印技術搭建了可展機構的實物模型，用于驗證可展機構的實際可行性。圖11（a）所示為可展機構實物模型的完全收攏狀態，圖11（b）所示為可展機構實物模型的完全展開狀態。機構的有效展開與收攏證明該可展機構的制造是可行的。

圖11 可展機構的展開過程

5 結束語

本文提出了一種以平面兩桿張拉整體結構作為可展單元結構的可展機構，該機構具有張拉整體結構的特性。基于平面兩桿張拉整體結構模型，對可展單元結構進行找形分析，奇異性分析，得出可展單元結構的幾何尺寸參數。通過三維仿真軟件對建模好的可展機構進行運動學仿真，驗證前文所提出的理論模型的合理性。通過3D打印機打印可展機構零件，并通過彈簧以及螺釘螺母緊固件進行拼裝連接，通過實物模型的展收實驗，驗證前文提出機構的可行性。通過一系列的實驗得出該機構理論實踐均可行，可應用于航空航天中。