風電齒輪箱行星架多圓弧結構的優化設計研究

覃立，陳榮梅，郭勤濤

(1. 南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016；2. 南京安維士傳動技術股份有限公司，江蘇 南京 210019)

0 引言

在大型風電傳動系統中，行星架承擔著主軸傳遞過來的轉矩，是風電齒輪箱中承載最大的零部件，在工程應用中前臂和前軸聯接處時常會發生斷裂、疲勞等故障[1]。行星架作為齒輪箱中最重要的零部件之一，為了保證風力發電機20年的運行壽命，須保證行星架具有足夠的極限強度和疲勞強度[2]，因此行星架的強度設計研究具有重要意義。

在某些雙臂行星架中，在前臂和前軸聯接處設置有階梯軸結構，如圖1所示，以便于對支承行星架的滾動軸承軸向定位。顯然，在階梯軸的1、2兩處存在應力集中現象。在機械零部件中，通常采用過渡圓弧來改善該現象，常見過渡圓弧構型有單圓弧、雙圓弧和三圓弧等[3-4]。鑒于采用單圓弧過渡影響軸承裝配且應力降低效果不明顯。過渡多圓弧被作為一種低應力設計方案，但如何實現多圓弧參數優化設計并提高優化設計效率成為一個研究問題。

圖1 階梯軸結構

本文以兩種圓弧構型即圖1中1處采用雙圓弧、2處采用三圓弧為例進行多圓弧結構優化設計研究。首先對多圓弧參數設計方法進行了研究，利用有限元和編程軟件實現行星架多圓弧結構的參數化建模，最后進行了優化方法的探討。

1 多圓弧曲線的參數設計

為了準確描述多圓弧曲線的形狀和位置并保證設計參數之間相互獨立，以三圓弧曲線為例，推導其通用的幾何關系[5-8]，提取出設計參數。然后，利用該方法確定多圓弧結構的設計參數，為其優化設計提供理論依據。

1.1 三圓弧曲線的參數設計

圖2 三圓弧參數的示意圖

根據幾何關系，可以推出圓心O1(xO1,yO1)、O2(xO2,yO2)、O3(xO3,yO3)的坐標：

(1)

(2)

(3)

根據三圓弧的相切條件，可得

(4)

在圖2中，線段ED為與多圓弧相接的已知結構，以D點為原點，ED為x軸，建立坐標系x1Dy1，α為兩坐標系y軸相交形成的銳角。在三圓弧形狀確定時，α可以控制三圓弧結構的位置，需將其作為獨立變量，用公式(5)可將圓弧上點的坐標從坐標系x2Oy2轉換到坐標系x1Dy1上，即將坐標(x2,y2)轉換成坐標(x1,y1)。

(5)

因此，為了確定三圓弧曲線的位置和形狀，共需采用6個獨立變量。應用該參數設計方法，單圓弧和雙圓弧的獨立變量數目分別為3個和4個。此外，圓弧段數>3的多圓弧曲線也可利用上述方法確定獨立變量。

1.2 多圓弧結構的參數設計

多圓弧結構的母線如圖3所示，結合上一節的參數設計方法和實際位置約束(點A、D、F、H均固定不動)，該母線可用8個獨立參數描述，其中三圓弧段5個，兩圓弧段3個，其參數范圍如表1所示。

圖3 多圓弧結構的示意圖

表1 多圓弧結構的設計參數及范圍

2 行星架的應力分析

2.1 參數化建模及應力分析過程

圖4為聯合MATLAB和HyperWorks兩種軟件對多圓弧結構參數化建模的方法：利用MATLAB編程，用設計變量控制多圓弧曲線的形狀和位置，并調用MESH2D工具箱[9]生成多圓弧結構截面的二維網格模型，在HyperMesh中建立多圓弧結構和整體行星架的三維網格模型，此外還需利用MATLAB程序和HyperWorks的二次開發功能[10]保證參數化建模過程的可重復性。

圖4 行星架參數化建模及應力計算過程

圖5為行星架的有限元模型及邊界條件。許多學者對行星架的極限強度分析做了大量的工作[11-12]，本文不再贅述該過程。行星架的材料為QT700-2A，其疲勞極限為380MPa，材料局部安全系數為1.1，其他安全系數均考慮在載荷中，此時疲勞強度許用應力[σ]為345MPa。同時，分析應力類型為最大主應力[13]，且需用許用應力評判結構是否滿足強度要求。

圖5 行星架的有限元模型及邊界條件

2.2 多圓弧參數與應力、質量的變化關系

基于表1中的設計參數和圖4的應力分析過程，可以開展多圓弧參數與多圓弧結構上最大應力、質量之間的變化關系研究。

三圓弧的形狀和位置由5個獨立設計參數R1、R2、R3、α1和β1確定，固定兩圓弧的設計參數，此時可取R5=18mm，α2=80°，β2=18°。在設計參數的取值范圍內取等距的7個值，探究σl,max、σs,max和質量隨單一參數的變化規律，如圖6-圖8所示。

圖6 兩圓弧處最大應力與參數的變化關系

圖7 三圓弧處最大應力與參數的變化關系

圖8 參數化部分質量與參數的變化關系

從圖6-圖8中可以看出，兩圓弧處的應力值明顯高于三圓弧處，并可能超過許用應力值；質量和σl,max應力隨著參數R2、β1的增大而增大，隨著參數R1、R3、α1的增大而減小，σs,max的變化規律與之相反；5個參數對兩個圓弧段上的應力均有影響。其中，σl,max表示兩圓弧段上最大應力，σs,max表示三圓弧段上最大應力。另外，兩圓弧的參數也符合類似規律。

3 多圓弧結構的優化設計

3.1 優化問題的建立

基于2.2節中多圓弧參數與質量的變化規律可知，當R1=35mm，R2=15mm，R3=8mm，α1=65°，β1=7°，R5=14mm，α2=60°和β2=40°時，質量取最小值0.231 8 t，此時應力σl,max=375.3MPa，σs,max=261.7MPa。σl,max超出了許用應力，因此不滿足疲勞強度要求。為了對多圓弧結構進行低應力和低質量設計，本文以多圓弧結構的8個參數作為設計變量，應力滿足疲勞強度要求作為約束條件和參數化部分質量最小作為目標函數建立優化問題，數學模型如下所示。

3.2 多種代理模型的實現

行星架有限元模型每進行一次靜力學分析需耗費時間為5 min左右。由于涉及8個設計變量，在優化過程中可能會迭代計算成千上萬次，若基于有限元模型反復計算響應，必將產生巨大的時間成本。為了減少仿真計算時間，可采用代理模型技術[14]，它可以代替實際物理模型的計算過程。

在建立代理模型時，試驗設計方法和近似模型直接影響代理模型的精度[15]，可對比不同試驗設計和近似模型下代理模型的精度選出最優方案。采用正交設計、拉丁超立方和優化超立方三種試驗設計方法獲取模型樣本點，樣本點數如表2所示，并利用該樣本點分別構建多項式響應面模型、Kriging模型和徑向基模型，然后使用測試點驗證方法[15]對模型精度進行檢驗，其中驗證樣本點為同一組拉丁超立方抽樣的樣本點。圖9為σl,max應力代理模型精度對比圖。在模型樣本點數相當的情況下，正交試驗設計的代理模型精度明顯優于其他兩種設計方法，所以試驗設計方法選用正交設計。在正交設計下，σl,max應力的三階多項式響應面模型精度最高，σs,max應力的徑向基模型精度最高，質量的徑向基模型精度最高，依此可以確定各目標量最優的近似模型。各目標量代理模型的優選方案如表3所示。

表2 試驗和驗證的樣本點數

圖9 σl,max應力代理模型的精度對比

表3 各目標量代理模型的優選方案及精度

3.3 基于粒子群算法的結構優化

在建立高精度的代理模型后，可采用優化算法求解優化模型的最優解。粒子群算法在求解優化問題時表現出良好的尋優能力，通過迭代尋優計算能夠迅速找到最優解，因此粒子群算法在工程計算中廣泛應用[16]。本文將質量最小時的參數作為優化初始值，采用粒子群算法對優化問題進行求解。

優化前后的結果比較如表4所示。從表中可以看出，優化后兩圓弧段的應力值為338.5MPa，比優化前降低了9.8%，三圓弧段應力變化不大，均滿足疲勞強度條件，同時多圓弧結構質量降低了5.7%。

表4 優化前后的變量值及變化量

4 結語

本文提出了基于代理模型和粒子群算法的多圓弧結構優化設計方法，并將其應用在風電齒輪箱中行星架上，具體的研究內容及后續研究任務如下：

1)推導了雙圓弧和三圓弧通用的幾何關系，為多圓弧結構的參數設計提供了理論依據，并基于MATLAB和HyperWorks聯合建模方法建立了多圓弧結構的參數化模型；

2)結合粒子群算法和代理模型進行多圓弧結構的優化設計，降低了多圓弧結構上應力的最大值，并顯著提高了優化效率；

3)由于時間和經濟等原因，尚未制造出優化后的物理模型以對該套方法進行驗證，之后可進一步研究試驗驗證的工作。