基于QFT的永磁同步電機伺服系統PID控制器的設計

劉 冬,李浩東,何焯毅,羅偉維

(廣東工業大學 自動化學院，廣東 廣州 510006)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)因其體積小、結構簡單、功率因素大、轉動慣量小以及易控制等優點廣泛應用于數控機床、航空航天、汽車以及機器人等領域[1]。PMSM伺服系統在運行過程中，系統的轉動慣量會因環境的改變而發生變化，進而影響伺服系統的控制性能。因此，為了獲得良好的控制性能，有必要提升系統的魯棒性來抑制轉動慣量變化給系統帶來的不良影響。

當PMSM伺服系統在運行過程中負載轉動慣量發生變動時，系統的動態響應會受到影響。當轉動慣量增大時，系統加速度會減小，從而使系統的調節時間增大，甚至會出現不穩定現象；轉動慣量減小時，系統加速度會增加，而使系統的超調增大，甚至可能會出現振蕩現象[1]。傳統的PI控制器的參數整定使用的是轉動慣量的初始值，并未考慮系統轉動慣量發生變化的情況。當伺服系統的轉動慣量發生變動時，其控制性能會受到一定的影響。因此，對于伺服系統轉動慣量變化這一問題，有必要采取有效可靠的方法來抑制其帶來的不良影響。

國內外學者對系統轉動慣量變化所帶來的影響的抑制提出了許多解決方法，主要有滑模控制[2-3]、自適應控制[4-7]、智能控制[8]和魯棒控制[9-10]等。文獻[2-3]均使用自適應滑模變結構的速度控制方法，通過模型參考自適應系統(MRAS)辨識出系統的轉動慣量，然后將辨識后的值應用于滑模控制(SMC)中，增強了系統的魯棒性，并抑制了慣量擾動的影響。但該方法實現較為復雜，且控制性能與辨識精度有關。在[4-5]中作者通過辨識方法在線辨識轉動慣量，然后將辨識后的值給PI控制器，得到了可以依據轉動慣量變化在線改變參數的自適應PI控制器，提升了系統的魯棒性。文獻[6]將模糊推理與積分反步控制結合，能夠根據轉速誤差和變化率自調整增益，提高了系統對內部參數攝動的魯棒性，但該結構復雜，不利于工程實際應用。文獻[7]通過梯度下降法在線調整PID控制器的增益，能有效處理系統參數不確定性的問題，但其收斂的快慢對系統的性能有一定的影響。在文獻[8]中作者提出了一種基于直接電壓控制的自適應徑向基函數(RBF)神經網絡的控制策略，該方法無需電流控制回路，且對系統參數攝動具有較好的魯棒性，但該方案的實現過程復雜。文獻[9]中利用H∞控制理論設計魯棒控制器，提升了系統的魯棒性，但該方法設計復雜，需要一定的理論基礎，不利于實際應用。文獻[10]將定量反饋理論(QFT)與H∞控制理論結合，有效抑制了轉動慣量的擾動，但該方法設計的控制器結構復雜，不適合工程應用。

以上文獻實現過程較為復雜或者設計的控制器結構復雜，導致實際應用困難。本文在考慮實際應用的前提下，將系統轉動慣量的變化考慮在內，運用QFT，設計性能指標，在Nichols圖上合成魯棒控制器。最后通過仿真以及試驗，論述了本文所提方案的有效性和可行性。

1 QFT

1.1 簡 介

QFT是由以色列教授Horowitz在20世紀60年代初提出的[11]。起初由于其大量復雜的計算而未受到太多的關注，而后由于計算機和工具包的快速發展才得以廣泛應用。

QFT是一種頻域的設計方法，將經典控制理論中的頻域校正思想推廣應用到了對不確定性系統的魯棒控制率設計，將對象的不確定性用定量的形式在Nichols圖上形成邊界，進而設計控制器[12]。

基于QFT的控制系統通常為二自由度控制系統，其控制結構如圖1所示。

圖1 QFT控制系統結構

其中,R(s)、Y(s)和D(s)分別為給定輸入、輸出和擾動輸入信號，F(s)和G(s)分別為預置濾波器和控制器，P(s)為被控對象。

1.2 QFT魯棒控制器設計步驟

1.2.1 建立標稱模板

將控制對象的不確定性考慮在內建立不確定性模型，得控制對象的集合P(s)，選取能夠表現出對象不確定性的頻率集合ω=ωi,(i=1,2,…,n)，然后將P(s)繪制于Nichols圖中即可得對象模板，取參數變化量的標稱值即得標稱模板，標稱值的選取一般不做特殊要求。特定頻率下標稱模板的示例如圖2所示。

圖2中“○”圍起來的區域體現出對象的不確定性，該區域越大，不確定性越大。“×”代表選取的標稱值，0.5代表所選取的頻率值。

圖2 Nichols示例

1.2.2 設定性能指標

通過設定期望的性能指標可以獲得期望的控制性能。常用的性能指標有魯棒穩定裕度指標、抗擾動指標以及參考跟蹤指標等。

魯棒穩定裕度指標為

(1)

式中：δ1(ω)為期望的閉環傳遞函數上限。

通過設定其幅值Ws即可獲得期望的幅值裕度Mg和相位裕度Mp，其關系式如下：

(2)

抗輸入擾動指標為

(3)

式中：δ2(ω)為輸入擾動傳遞函數的期望上限，既可為常數，亦可傳遞函數。

傳遞函數可取：

(4)

式中:ζ2和ωn2分別為阻尼比和自然頻率;K2為一次項系數，與擾動幅值的抑制有關，該值越大，對擾動的抑制越弱，反之則越強。

參考跟蹤指標包含上邊界δup(ω)和下邊界δlo(ω)，如下：

(5)

其中,上下邊界常取標準的二階系統傳遞函數，并在上下邊界分別加入遠離虛軸的零點和極點，以擴大在高頻輸出的設計范圍，上下邊界限制分別如下：

(6)

(7)

式中：z和p分別為遠離虛軸的零極點;ωn_p和ωn_l分別為上下邊界的自然頻率;ζp和ζl分別為上下邊界的阻尼比，且ζp<1，ζl≥1。

1.2.3 合成性能邊界

求解不等式(1)、式(3)和式(5)可得G(s)幅值的取值范圍，在-360°～0°之間按比例選取其相位值，與P(s)的幅值相乘、相位相加即可得開環傳遞函數L(s)的幅值和相位，將該幅值、相位與設定的頻率集ωi繪制于Nichols圖上可得合成控制器所需的性能邊界。

1.2.4 控制器設計

通過給G(s)調整增益、加入零極點等環節，使得開環頻率響應曲線在Nichols圖中的ωi處高于性能邊界即可。

1.2.5 預置濾波器設計

與控制器的設計同理，同樣給F(s)添加零極點等環節。若閉環傳遞函數的Bode圖處于參考跟蹤指標的Bode圖之中，則F(s)設計合理。

2 PID控制器的設計

2.1 性能邊界生成

2.1.1 標稱模板的建立

PMSM伺服系統雙閉環結構如圖3所示。

圖3 PMSM伺服系統雙閉環結構圖

其中，ωref(s)和ωm(s)分別為給定和輸出轉速，ASR為轉速控制器，ACR為電流控制器(本文為PI控制器)，Ks、Kt、Rs、J、B和TL分別為功率變換器放大倍數、轉矩系數、定子電阻、轉動慣量、黏滯摩擦系數和負載轉矩，Ts、Tl、Ttf1、Ttf2、Tcf和Tsf分別為功率變換器延時時間、電磁時間常數、電流采樣延時時間、測速延遲時間、電流濾波時間常數和速度濾波時間常數，α和β分別為速度環反饋系數和電流環反饋系數。

將電流環等效為一階慣性環節，因此速度環的控制對象為

(8)

式中：T∑n為等效時間常數，T∑n=Ttf2+Tsf+1/KI;KI為電流環增益;系統轉動慣量取值為J∈[0.001,0.01]，取轉動慣量標稱值為電機本體轉動慣量J0，即J=J0=0.001 25，此時式(8)為標稱模型。頻率集ωi選取為ωi=[0.1 0.3 0.6 1 4 10 20 50 100 200 500 1 000 2 000]rad/s。

將標稱模型與ωi繪制于Nichols即為標稱模板，如圖4所示。

圖4 被控對象模板

圖4中“○”表示的為被控對象的取值，“×”表示的即為標稱模板。

2.1.2 性能指標的選取及邊界生成

魯棒穩定裕度指標及邊界。取Ws=1.25，由式(2)可得此時Mp和Mg分別為：Mp=5.105 5，Mg=47.156 4°。該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖5所示。

圖5 魯棒穩定裕度邊界

抗輸入擾動指標及邊界。取峰值時間tp≤0.005 s，阻尼比ζ2=0.6，單位階躍擾動輸入信號的輸出幅值小于0.15，則由式(4)可得：

(9)

該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖6所示。

圖6 輸入擾動抑制邊界

參考跟蹤指標及邊界。上邊界,超調量σ≤5%，調節時間ts_u≤0.018 s，零點z=345.745，則由式(6)可得：

(10)

下邊界,阻尼比ζl=1.05，調節時間ts_l≤0.05 s，極點p=1 000，則由式(7)可得：

(11)

該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖7所示。

圖7 參考跟蹤邊界

2.1.3 合成性能邊界

本文性能邊界以及控制器的合成借助Garcia-Sanz教授及其團隊開發的QFT工具箱(QFTCT)[13]。控制器合成的性能邊界為圖5～圖7的交集，邊界合成結果如圖8所示。

圖8 邊界合成

2.2 PID控制器的合成

2.2.1 PID控制器結構

PID控制器的一般結構如下：

(12)

式中：e(s)和u(s)分別為輸入誤差信號和輸出控制信號;Kp、Ki和Kd分別為比例系數、積分系數以及微分系數;Tn為濾波時間常數。

式(12)做等效變換，可得：

(13)

因此，由式(13)可知，在合成PID控制器時，只需要給控制器G(s)調整增益K、添加零點z1和z2、極點p以及積分環節1/s即可獲得PID控制器。

2.2.2 PID控制器合成步驟

未加入控制器G(s)(或G(s)=1)的開環頻率響應曲線L(s)與性能邊界的Nichols圖如圖9所示。

圖9 開環頻率響應曲線與性能邊界Nichols圖

基于QFT的PID控制器的合成分為調整增益K、添加積分環節1/s、零點z1、零點z2以及極點p5個環節，其合成步驟如下。

(1)給控制器添加積分環節1/s。

(2)調整控制器增益K，直到L(s)在頻率點ωi處高于性能邊界。

(3)加入零點z1。零點的加入會增加系統的相位，可以讓L(s)向右邊移動，且零點較小時主要影響L(s)的低中頻，較大時則影響高頻。z1取值較小，先滿足低中頻要求。

(4)加入零點z2。z2取值較大，滿足高頻要求，且L(s)在高頻處不應穿越穩定裕度邊界。

(5)加入極點p，給PID控制器增加濾波環節。極點會降低系統的相位，使L(s)向左邊移動，p取值通常較大。

PID控制器的設計結果如下：

(14)

圖10為PID控制器合成結果。

圖10 PID控制器合成結果

2.3 預置濾波器的設計

通過給預置濾波器添加零極點等環節，系統閉環傳遞函數的Bode圖處于參考跟蹤指標的Bode圖之中，如圖11所示。

圖11 參考跟蹤指標與閉環傳遞函數Bode圖

F(s)的設計結果如下：

(15)

3 仿 真

基于MATLAB/Simulink的仿真平臺搭建PMSM伺服系統仿真模型，采用id=0的控制策略，電流環采用PI控制器，電機參數如表1所示。

表1 PMSM參數

給定轉速0.24pu(600 r/min)，速度控制器采用QFT控制器，系統轉動慣量J分別取1倍標稱轉動慣量J0、3倍標稱轉動慣量3J0和5倍標稱轉動慣量5J0時轉速波形如圖12所示。

圖12 不同轉動慣量下的轉速波形

由圖12可知，系統轉動慣量取1～5倍的標稱慣量時，系統的輸出均處于上邊界和下邊界之間。因此，該控制器設計合理。

當J=5J0時，將QFT速度控制器與速度PI控制器對比，分別采用兩者速度控制器的轉速波形如圖13所示，其他慣量下的轉速波形比較如表2所示。

圖13 J=5J0時轉速比較

表2 不同轉動慣量下轉速波形比

從圖13和表2可知，在加載不同的轉動慣量時，基于QFT設計的PID速度控制器相比PI速度控制器具有更小的上升時間和調節時間，且無超調，擁有更好的魯棒性能。

4 試 驗

試驗采用GSK公司的130SJT-M075D (A4I)型PMSM(電機參數同表1)、GR2050T型驅動器以及TI公司的TMS320F28377S型DSP處理器搭建PMSM伺服系統的試驗平臺。PMSM伺服系統平臺與慣量臺如圖14所示。

圖14 PMSM試驗平臺

電流環采用PI控制器，速度控制器使用QFT控制器，采樣頻率為16 K，給定轉速為0.24pu，分別給系統從零加到4個慣量盤(一個慣量盤等于一倍的電機本體慣量)時，系統電流和轉速波形分別如圖15(a)和圖15(b)所示。

圖15 不同轉動慣量下的波形比較

圖中JL為所加的慣量盤的大小，J0為一個慣量盤的大小。由圖15可知，當系統從零增加四個慣量盤時，系統的轉速均未產生超調，q軸電流和轉速波形的穩態均沒有大的波動。可以看出該控制器具有較強的魯棒性，能夠有效抑制轉動慣量的擾動。

同樣的條件下將QFT速度控制器與PI速度控制器進行比較，其中系統未加慣量盤的轉速波形比較如圖16所示，加入不同個數慣量盤時的數據情況如表3所示。

圖16 未加慣量盤時轉速波形比較

表3 不同控制器下的轉速波形數據比較

由圖16和表3可知，與PI控制器相比，使用QFT速度控制器時系統的上升時間、超調量和調節時間在不同的JL下均要優異，且均未產生超調。由此可知使用QFT速度控制器比使用PI速度控制器的魯棒性強，對負載轉動慣量的擾動具有更好的抑制效果。

將所得結果與文獻[14]相比較而言，本文所提方法設計的控制器不僅結構簡單、確定，設計目標明確，且具有較強的魯棒性，更適合工程應用。

5 結 語

本文提出了一種基于QFT的PID控制器設計方法，設計過程不涉及較深的理論，實現過程簡單，不僅適用于實際應用，而且能有效改善系統的魯棒性。最后，在不同的負載轉動慣量下進行了仿真和試驗，驗證了本文所提方法對轉動慣量擾動抑制的合理性。此外，還將該方法與傳統的PI控制器進行對比，結果表明所提方法的魯棒性更為優異，對轉動慣量擾動的抑制更加明顯。