X射線超反射鏡魯棒性膜系設計

陶保全，郭祥帥，李博涵，匡尚奇，李超逸

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

近年來，X射線超反射鏡已成功應用于X射線天文學、光譜學和同步輻射等相關研究領域。X射線超反射鏡是一種非周期的多層膜，其膜系的各個膜層具有不同幾何厚度，可以使不同入射角度或入射能量的X射線在膜系各層獲得不同的反射，通過相干疊加獲得反射平臺。與傳統等周期多層膜構成的光學元件相比，X射線超反射鏡具有更寬、更平坦的反射平臺，能增加掠入射光學系統的掠入射角或擴展其能量工作范圍，可用于星載X射線望遠鏡、同步輻射裝置和X射線顯微成像等等，并可顯著地提升這些裝備的性能［1-2］。2000年以來，X射線超反射鏡的設計方法主要有三種：經驗公式的解析方法［3］、解析加數值優化的方法［4-6］和全數值計算方法。前兩種方法設計的膜系，反射平臺通常有比較大的振蕩，但受當時計算機性能和算法的限制，最后一種方法應用較少。近幾年，隨著計算機技術的發展，完全基于優化算法的設計方法開始被廣泛使用［7-10］，計算所需的時間與計算量變得越來越能夠接受，各種優化算法的出現極大地提升了超反射鏡設計的光學性能。

雖然X射線多層膜系統的設計在光學性能方面取得了成功，但在實際制作中仍存在問題。相比用于可見光波段的多層膜，X射線超反射鏡的膜層厚度薄約100倍，膜層數多約10倍［11］，即各膜層的厚度都非常薄，通常只有幾納米，并且膜系結構往往比較復雜，這使得超反射鏡的膜層厚度控制在實際制備中并非易事，極小的鍍膜誤差都會造成反射性能嚴重退化，因此極高的膜厚控制要求使得只有少數高水平機構能夠制造。此時，光學性能不再是多層膜設計的唯一追求，還應該引入薄膜實際可鍍性的主動優化設計思想，將膜系對膜厚誤差的靈敏度加以優化和控制。

對此，多目標優化算法有希望獲得掠入射X射線反射性能優秀并且對膜厚誤差敏感度更低的魯棒性超反射鏡設計。此前的魯棒性設計研究在正入射極紫外多層膜系統中進行了一些嘗試［12-14］。然而，對于波長更短的X射線，掠入射X射線多層膜的魯棒性設計與之前的設計不同。在以往的多層膜設計中，默認入射光為不發散的平行入射光。而在掠入射反射的X射線多層膜反射鏡設計中，入射光的發散角對超反射鏡反射率的影響不可忽視，需要在反射率計算過程中加以考慮。X射線超反射鏡魯棒性膜系的設計方法基于非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ），這是一種基于Pareto最優解的多目標優化算法［15-16］。以X射線多層膜常用的W和C作為膜層設計的材料對設計魯棒性X射線超反射鏡，并與基于傳統方法的膜系設計進行對比，研究結果證明魯棒性設計方法在提升超反射鏡的可制備性、降低其光譜性能退化方面具有獨特優勢。

1 設計方法

特征矩陣法是計算多層膜系統反射率的一種常用方法，同時由于反射率對界面粗糙度非常敏感，在模擬中考慮了界面粗糙度對反射率的影響。計算光學常數的原子散射因子數據從文獻［17］中獲得，多層膜系統反射率計算的具體細節可參見文獻［12，18，19］，多層膜表面反射率用R表示。在實際情況中，掠入射到超反射鏡的X射線具有一個發散角，實際測得的反射率為反射率和光強分布函數的卷積［20］。因此，在模擬中將算得的反射率修改為R'（θ0），其表示為：

其中，θ0為掠入射角；θmin和 θmax為發散角 θ的邊界。描述X射線掠入射光強分布的函數G（θ）呈正態分布，可表示為：

其中，?θ=0.18 mrad。在這里，給出多層膜設計的兩個評價函數。首先給出多層膜反射率的評價函數：

其中，R'和R0分別為所設計多層膜的計算反射率和目標反射率。評價函數f1為計算得到的反射率與需求的反射率差的平方和，根據多層膜膜系厚度誤差對光學性能影響的推導［21-22］，給出魯棒性評價函數：

其中，di和δi分別為第i層膜的厚度和膜厚誤差的標準差；i是從基底向入射介質計數的膜層編號；m是多層膜的膜層總數。f2評價了膜系反射性能對膜厚誤差的靈敏度。將f1和f2作為NS‐GA-Ⅱ算法兩個優化目標的評價函數進行優化。

在X射線波段，所有材料都具有較強的吸收，所以過多的膜層對并不能明顯提高X射線超反射鏡的反射率，并且由于鍍膜工藝限制，不能無限地增加膜層數。因此將W/C材料對的數量設為 30對，膜系結構為 Sub/［W/C］30，其中 Sub代表基底。設超反射鏡基底、最外層、中間層的界面粗糙度均方根值分別為0.1 nm、0.5 nm和0.3 nm。為避免不同膜層之間界面屬性因膜層幾何厚度變化過大而發生改變，算法搜索多層膜中各個膜層的厚度范圍被設定在2～6 nm內。NSGA-Ⅱ算法的參數設置如下：種群規模為100；進化代數為10 000；交叉概率Pc=1.0；變異概率Pm=1/30；交叉和變異的分布指數分別為ηc=1、ηm=1。

2 結果與討論

為了驗證魯棒性超反射鏡設計方法的效果，分別設計了具有掠入射角度和能量帶寬的X射線超反射鏡。

2.1 寬角度超反射鏡設計

在掠入射角度帶寬的超反射鏡設計中，設入射光線為Cu Kα射線（8 keV），掠入射角的角度帶寬為［0.9°，1.1°］，目標反射率R0=20%。圖1展示的是不同進化代數時NSGA-II算法獲得的非支配解，橫縱坐標分別為反射率評價函數f1和魯棒性評價函數f2。作為與魯棒性設計進行對比的傳統設計代表，使用遺傳算法（GA）只優化評價函數f1得到了膜系設計，命名為GA設計。為了便于比較，將單目標優化的GA設計在魯棒性設計雙目標評價函數空間上的位置也進行了標注。魯棒性設計的非支配前沿在收斂之前會有一些解分布較為孤立，但最終得到非支配解的分布較為均勻。非支配解集具有多樣性，一次優化設計能提供較多可選的設計方案，設計人員可以根據需要在其中選擇。隨著優化次數的增加，非支配解逐漸向具有更小評價函數值的方向收斂，說明膜系設計的反射性能和魯棒性能被同時優化。在非支配前沿中可以看出，兩個優化目標之間存在互相限制的關系，即非支配解某一個性能較優秀的同時另一性能就會表現較差，這與此前報道的極紫外多層膜的研究結果是一致的［12-13］。單就評價函數的值來看，GA設計反射性能更優秀，但魯棒性很差。在魯棒性設計的非支配前沿中，為保證膜系反射性能，選擇其中具有最小評價函數f1值的邊界解作為魯棒性設計的代表與GA設計進行對比，并將其命名為NSGA-Ⅱ設計。GA設計和NSGA-Ⅱ設計在圖1中用實心三角形標注。

圖1 在寬角度超反射鏡設計中，NSGA-Ⅱ算法不同進化代數所獲得的非支配解

圖2展示了NSGA-Ⅱ設計和GA設計的膜系結構。可以看到，兩種設計的膜厚分布有著明顯差別，表明反射平臺平穩的膜系設計不是唯一的，由于優化目標不完全相同，最后得到的膜系結構也明顯不同，魯棒性設計方法將得到對誤差敏感度更低的膜系。

圖2 寬角度帶寬超反射鏡設計中，傳統（GA）設計與魯棒（NSGA-Ⅱ）設計的膜系結構

造成膜厚誤差的原因有很多，如監測方法的誤差、腔體清潔度、基底溫度等，所以膜厚誤差是隨機的，其分布可以用正態分布來描述。在設計中，設多層膜系統中的每一層的厚度誤差互不相關，數學期望為零，誤差的標準差δi=0.1 nm。為了分析引入膜厚誤差后超反射鏡設計的反射平臺偏差，用下面的公式計算期望反射及其標準差通道：

其中，di，dj和δi，δj分別為第i和第j層膜的幾何厚度和厚度誤差的標準差；R'+M△R'為反射光譜的數學期望；R'+M△R'±S△R'為反射光譜的標準差通道。

圖3為X射線寬角度超反射鏡的NSGA-Ⅱ設計和GA設計在未引入膜厚誤差的理想情況下膜系結構反演得到的反射率光譜。由于多層膜系統的膜厚分布不同導致在目標帶寬范圍外反射率存在不同，但在目標角度帶寬內兩種設計的反射率穩定保持在20%，反射光譜平臺平滑，波動性很小。雖然NSGA-Ⅱ設計評價函數f1的值略遜于GA設計，但它的反射性能可以滿足需求。需要注意的是，這只是未引入膜厚誤差的理想狀態下的反射率光譜，實際制造將不可避免的產生誤差，因此更該關注超反射鏡實際可能出現的反射光譜。引入膜厚隨機誤差后GA設計和NSGA-Ⅱ設計的期望反射光譜R'+M△R'及其標準差通道R'+M△R'+S△R'如圖4所示。標準差通道R'+M△R'+S△R'兩條曲線之間區域是超反射鏡在引入膜厚隨機誤差后反射平臺的分布范圍。標準差通道越窄，說明膜厚誤差導致的反射光譜波動越小。可以看出，在大部分角度帶寬內，NSGA-II設計的反射平臺對膜厚誤差的敏感度比GA設計更低，NSGA-II設計膜系的光學性能受膜厚隨機誤差影響較小，鍍膜風險較低。

圖3 在寬角度超反射鏡設計中，GA設計與NSGA-Ⅱ設計的理論反射光譜

圖4 在寬角度超反射鏡設計中，GA設計與NSGA-Ⅱ設計的期望反射光譜及其標準差通道

2.2 寬能帶超反射鏡設計

如果式（3）中代表入射角度的“θ0”替換成代表射線能量的”λ”。評價函數f1和f2可設計具有寬能量帶寬的X射線超反射鏡魯棒性膜系，式（3）修改為：

設超反射鏡的能量帶寬為18.5～21.5 keV，掠入射角為0.5°，目標反射率R0=20%。NSGA-II算法獲得的非支配解如圖5所示，寬能量帶寬超反射鏡設計的結果收斂較寬角度超反射鏡更慢。寬角度超反射鏡設計中涉及的光學常數較少，非支配前沿在大約6 000代時開始收斂，收斂較快；而寬能帶超反射鏡設計涉及使用較多的光學常數，使得非支配前沿收斂較晚，在大約8 000代開始收斂，并且寬能帶超反射鏡設計的非支配前沿分布比寬角度設計更均勻。寬能帶帶寬超反射鏡設計中，NSGA-Ⅱ設計的選取策略與寬角度設計相同。圖6展示了NSGA-Ⅱ設計和GA設計的膜系結構，可以看出，NSGA-Ⅱ設計與GA設計的各膜層厚度明顯不同。即使是在目標帶寬之外，這兩種設計的反射率曲線都很相似，NSGA-Ⅱ設計和GA設計未引入膜厚誤差時膜系結構反演得到的反射率光譜如圖7所示。這進一步印證了魯棒性設計方法得到低膜厚誤差敏感度膜系設計的可行性。

圖5 在寬能帶X射線超反射鏡設計中，NSGA-Ⅱ算法不同進化代數所獲得的非支配解

圖6 寬能帶超反射鏡設計中，傳統（GA）設計與魯棒（NSGA-Ⅱ）設計的膜系結構

圖7 寬能帶X射線超反射鏡設計中GA設計與NSGA-Ⅱ設計的理論反射光譜

將式（5）和式（6）中的符號“θ0”替換為“λ”，可以得到寬能量帶寬X射線超反射鏡設計期望反射光譜及其標準差通道，如圖8所示。在引入膜厚隨機誤差后，NSGA-II設計的反射率標準差通道幾乎全部包含在GA設計的偏差范圍中，也就是說，魯棒性設計方法能將膜厚誤差造成的反射帶偏差控制在一個更小的范圍之內。對比分析表明，寬能帶X射線超反射鏡的魯棒性設計效果優于寬角度設計，這是由于寬能帶X射線超反射鏡設計兩個優化目標之間的約束關系較弱造成的。魯棒性膜系設計的膜厚誤差敏感度控制效果比較理想，這將提升超反射鏡的實際可制備性能。證明基于NSGA-II的超反射鏡魯棒性設計方法是一種可行的方法，具有很好的應用前景。

圖8 寬能帶X射線超反射鏡設計中GA設計與NSGA-Ⅱ設計的期望反射光譜及其標準差通道

3 結論

角度帶寬和能量帶寬的超反射鏡設計結果表明，相比傳統的單目標優化設計方法，基于NSGA-Ⅱ算法的魯棒性X射線超反射鏡設計方法在滿足反射性能要求的同時顯著降低了超反射鏡對膜厚隨機誤差的敏感程度，這將有助于減小超反射鏡制造過程隨機膜厚誤差造成的反射帶偏差。在設計中考慮發散角對超反鏡反射率的影響，對于掠入射X射線多層膜反射鏡的設計來說非常重要，這更符合硬X射線光學系統的設計要求。基于多目標優化算法的魯棒性多層膜膜系設計方法由于其在光學性能和制造上的綜合優勢，展現出很大的應用價值，在推廣高質量X射線多層膜制備方面有較大潛力。