考慮兩劑次疫苗免疫的水痘傳播動力學建模及穩定性分析

高艷東，周林華

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

水痘（varicella）是由水痘帶狀皰疹病毒初次感染引起的急性傳染病。水痘是原發性感染，主要發生在嬰幼兒和學齡前兒童，人是唯一宿主，水痘患者是惟一傳染源。自發病前1-2天直至皮疹干燥結痂期均有傳染性，主要通過飛沫和直接接觸傳播，普遍易感，病后可獲得終身免疫。

基于傳染病動力學模型的水痘傳播動力學研究最早見Halloran等人［1］的工作，之后許多學者進行了新的模型構建和改進，從而對疾病的傳播進行預測或模擬各種控制策略［2-15］。如2003 年，Schuette［4］根據水痘在人群中傳播的特征，建立了簡單的流行病模型，得到了無病平衡點全局穩定性，地方病平衡點的一致持久性；2007 年，Giraldo和 Palacio［5］建立了水痘暴發的確定性 SIR 模型；2010年，So?an等人［6］對斯洛文尼亞水痘-帶狀皰疹血清學和感染力進行了橫斷面、年齡分層研究；同年，Brisson等人［7］研究了接種單、雙劑量水痘疫苗對水痘和帶狀皰疹流行病學的影響；2014 年，Edward［8］建立了水痘帶狀皰疹病毒接種后傳播動力學的確定性數學模型，證明了無病平衡點局部漸近穩定性，用文獻［9］的方法分析了無病平衡點的全局穩定性；2017年，Costantino等三人［10］基于水痘-帶狀皰疹病毒感染人口學和傳播模型對澳大利亞帶狀皰疹發病率預測；鄭慶鳴等人［11］建立了時滯離散SEIR模型，運用時滯離散SEIR模型預測水痘暴發疫情發病數，以評估疫情控制措施的實際應用效果；Corberán-Vallet等人［12］利用離散時間貝葉斯隨機區間模型的水痘動力學建模，以了解西班牙巴倫西亞社區的水痘傳播；Marziano等人［13］提出了模擬1991年至2015年期間日間接觸模式變化對法國水痘傳播動態的影響；倪莉紅等人［14］預測不同免疫策略對水痘發病的影響，為制定有效的水痘免疫策略提供參考。對易感人群進行免疫接種是防治傳染病的一種有效方法，周林華等人［16］建立了具有疫苗免疫策略的傳染病SIV模型并分析了模型無病平衡點和正平衡點的全局（局部）穩定性；董文文等人［17］建立了包含人群疫苗接種的羊—人耦合布魯氏菌病傳播動力學模型，得到了平衡點全局漸近穩定的結論。

由于接種一劑水痘疫苗后，人群的免疫反應不一致，只有部分人能獲得較高水平的免疫能力，部分人群只能激發有限免疫水平，繼而會在一定時間之后失去疫苗的保護能力，因而這部分人可以考慮進行第二次免疫接種（Second dose）.關于兩劑次水痘疫苗免疫的影響還不是十分清楚，因此本文主要根據水痘傳播建立考慮兩劑次疫苗免疫策略的水痘傳染病動力學模型。

1 兩劑次疫苗免疫策略水痘傳播動力學模型建立

建立了包含免疫策略的水痘傳染病動力學模型，總人口分為以下子群體：S為易感人群，I為感染人群，R為具備永久免疫力人群，V為接種疫苗人群。

圖1 水痘傳播示意圖

假設Λ為常數輸入率，β為易感者被感染者傳染的雙線性發生率，μ為自然死亡率，γ為恢復率，θ1為易感人群接種第一次疫苗接種率，σ為接種第一次疫苗后失去免疫能力的轉化率，θ2為接種第一次疫苗后第二次疫苗的接種率。由于大部分人對接種水痘疫苗的意愿不是很強烈，水痘疫苗接種之后的免疫能力是隨著時間的推移逐漸變弱的，并不是永久免疫的，所以給有意愿接種一次疫苗的人進行第二次疫苗接種，假設連續接受第一支和第二支疫苗的人獲得永久免疫，否則將會再次轉為易感者。根據疾病的性質，受感染的人恢復后也是永久免疫的。基于以上過程，兩劑次疫苗免疫策略水痘傳播動力學模型為：

接種兩次疫苗之后，由于變量R在方程S',I',V'中未出現，可以單獨先考慮S',I',V'三個方程的結果，得到S,I,V的變化之后再來分析R的變化，即模型（1）可以簡化為：

2 模型（4）的穩定性分析

定理3.1當Rv<1時，無病平衡點E0=(S0,0,V0)全局漸近穩定；當Rv>1時，E0不穩定。

證明：線性化系統（4）為：

由于 a1a2-a3>0，(a1a2-a3)a3>0。故A的所有特征值均具有負實部，零解漸近穩定。

所以Rv>1時，系統（4）地方病平衡點E*是局部漸近穩定的。

3 數值模擬與討論

取 Λ =200，β =0.4 × 10-2，μ =0.41，θ1=0.7，σ =0.18，γ =0.6，θ2=0.8，模型（4）的初值 如 下 ：S(0)=1400，I(0)=20，V(0)=500。計算得Rv=0.7770<1。由圖2可知，I(t)隨時間變化最終趨于0，S(t)，V(t)隨時間變化最終都會穩定于各自的平衡點。

圖2 Rv<1時，各變量人數隨時間變化趨勢圖

取 Λ =700，β =0.6 × 10-2，μ =0.9，θ1=0.7，σ =0.18，γ =0.9，θ2=0.8，計算得 Rv=1.5221>1。由圖3可知，取不同的初值，各倉室人數隨時間變化最終都會穩定于各自的平衡點。

圖3 Rv>1時，取不同初值，各變量人數隨時間變化趨勢圖

比較圖4中疫苗接種情況不難發現接種次數適當增多，對疫情控制越好。按照第二節的假設，連續接受第一支和第二支疫苗的人獲得永久免疫，所以最多只需接種兩次疫苗，這說明二次疫苗接種可以更好的減少水痘感染人數。

圖4 疫苗接種次數對水痘疫情的影響

在圖5中，假設一次疫苗接種率為定值，通過改變θ2和σ的值觀察I的變化，從圖中可以觀察到，隨著θ2值的增大I的曲線呈下降趨勢。說明加大二次疫苗接種率可以減少水痘的感染數量。比較圖5中的兩個圖發現減小σ的值，I的值明顯降低，這說明減小疫苗失效率可以更好的減少水痘的感染數量。通過圖像的對比，可知加大二次疫苗的接種率和減小疫苗失效率可以更好減少水痘人群的感染數量。

圖5 改變θ2和σ的值對I的影響

基本再生數中的參數對基本再生數的影響，基本再生數的表達式如下：

圖6中分析了θ2和σ對基本再生數Rv的影響，考慮參數的敏感性，首先固定其他參數不變，只看這兩個變量對基本再生數的影響。當σ=0時，θ2的值大于A點的值時Rv<1；當σ=1時，θ2的值大于B的值時Rv<1，疾病可以控制。說明當疫苗有效率低時，增大二次疫苗接種率，Rv的值才會越小，疾病的控制效果越好。當疫苗有效率高時，可以適當降低第二次疫苗接種率，以減小疾病控制的成本。

圖6 θ2與σ對基本再生數Rv的影響

4 結論

本文建立了包含免疫策略的水痘傳染病動力學模型，模型中考慮兩次疫苗接種策略。經過分析，利用下一代矩陣的方法得到模型的基本再生數。當基本再生數小于1時，模型存在無病平衡點且無病平衡點是全局漸近穩定的。當基本再生數大于1時，模型存在無病平衡點和地方性平衡點，而無病平衡點是不穩定的，地方病平衡點局部漸近穩定。在數值仿真中，對比了疫苗接種次數對患病人數的影響。結果表明，接種兩次疫苗對水痘疫情控制比較好。通過對模型中的參數的敏感度分析可知，說明當疫苗有效率低時，增大二次疫苗接種率，Rv的值才會越小，疾病的控制效果越好。當疫苗有效率高時，可以適當降低第二次疫苗接種率，以減小疾病控制的成本。