多因素影響下的毛細血管中血液流動和熱量傳輸問題研究

徐云濱

（榆林學院數學與統計學院，陜西 榆林 719000）

0 引言

由于輻射效應在生物工程和熱療方面有重要的應用，故它已經成為一個重要的研究課題。在對人體各部分進行熱療時，紅外輻射是一種常用的技術，由于利用紅外線輻射可以直接加熱身體受影響部位的毛細血管，這種技術在熱療中是首選的。熱療在治療肌肉痙攣、肌肉疼痛和滑囊炎等方面被發現是非常有效的。Prakash和Makinde[1]從理論上研究了輻射傳熱對狹窄動脈血流的影響。通過使用一個數值模型，He[2]等討論了在激光照射下溫度對乳腺腫瘤血流的影響。在熱療的治療過程中，血液中的輻射效應引起了臨床醫生的極大興趣，它在腫瘤學中有著廣泛的應用，它的效果是通過電磁輻射使癌組織過熱來實現的。Misra[3]等討論了用電磁熱療治療癌癥的過程中動脈血流的理論估計結果。

血液的磁反應包括順磁性血紅蛋白分子鐵含量的貢獻和血管組織中的氫、氧、氮和碳原子產生的抗磁作用。紅細胞是一種主要的生物磁性物質，外磁場的存在很可能會影響血液流動，脈沖磁場已被用于治療軟組織損傷、慢性盆腔炎和骨折愈合等疾病。

Zigta[4]研究了沒有滑移條件的的血液流動的磁流體動力學行為，然而邊界層流動問題在許多情況下，流體和邊界之間可能存在部分滑移，Sinha[5-7]等研究了速度滑移條件對磁流體血液流動的影響。

受以上文獻的啟發，本文對毛細管中血液的非穩態磁流體動力學流動行為進行研究，并且考慮熱輻射、磁場、速度滑移和熱滑移條件對血液流動和熱量傳輸的影響。

1 數學模型及其轉化

考慮不可壓縮的在外磁場作用下的非穩態血液磁流體動力學邊界層流動和傳熱問題，磁場的方向與流動方向垂直，通過可滲透壁面的抽吸和噴注速度為Vw（t），在小磁場雷諾數情況下，電磁感應可以忽略不計，壁面以速度Uw（x，t）延伸，在這里，狹窄血管中的血液流動將被近似為拉伸薄板上的非穩態磁流體流動。考慮速度滑移和熱滑移，在不考慮外力、壓力梯度和黏性耗散的情況下，質量守恒、動量守恒和能量守恒的控制方程為：

2 方程組（7）~（10）的數值解及討論

圖1 當A=0.2，S=0.4，Sf=2.0，St=1.0，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同M的速度分布圖

從圖2可以看出，無量綱速度隨著滑移參數Sf的增加而減小，當Sf非常非常大時，血液和血管壁之間的摩擦阻力幾乎為零，血管的拉伸不會顯著增加液體的運動。

圖2 當A=0.2，M=0.8，S=0.4，St=1.0，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同Sf的速度分布圖

從圖3可以看出，無量綱速度隨著抽吸參數S的增加而減小。

圖3 當A=0.2，M=0.8，Sf=1.5，St=1.0，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同S的速度分布圖

從圖4可發現，磁場的存在提高了毛細血管邊界層的溫度，這說明把橫向磁場引入導電流體會產生洛倫茲力，這種力具有提高血液溫度的潛力。

從圖5和圖6可以看出，隨著速度滑移參數的增加，血液中任一點的溫度升高，然而隨著熱滑移參數的增加，血液中任一點溫度降低。

圖5 當A=0.2，M=0.8，S=0.4，St=1.0，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同Sf的溫度分布圖

圖6 當A=0.2，M=0.5，S=0.4，Sf=1.5，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同St的溫度分布圖

從圖7可以看出，隨著抽吸參數的增加，毛細血管中任何一點血液的溫度降低。從圖8可以看出，隨著普朗特數的增加，邊界層溫度降低。這可能是由于熱邊界層厚度隨普朗特數的增加而減小。這說明，當血液的普朗特數增加時，它的熱導率降低，導熱能力降低。從而減小了熱邊界層的厚度。因此，血管壁處的傳熱速率增加。從圖9可以看出，在毛細血管血流過程中，隨著熱輻射的增加，邊界層的厚度顯著增加。因此，邊界層的溫度明顯提高。

圖7 當A=0.2，M=0.5，Sf=1.5，St=3.0，Pr=21.0和Nr=0.3時相應于不同S的溫度分布圖

圖8 當A=0.2，M=2.5，S=0.1，Sf=1.5，St=3.0和Nr=0.3時相應于不同Pr的溫度分布圖

圖9 當A=0.2，M=0.5，S=0.5，Sf=1.5，St=3.0和Pr=21.0時相應于不同Nr的溫度分布圖

3 結語

本文研究了在磁場作用下熱輻射等多種因素對狹窄血管中血液流動和熱量傳輸的影響。該研究特別適用由于膽固醇、脂肪物質等的沉積，血管腔變成了多孔介質的情況。我們的目標是研究處于病理狀態中的血管中血液的流動和傳輸情況，血管被認為是不穩定的伸展運動。這項研究有可能探索一些關于復雜的血液流動行為的重要的信息，詳細分析了物理參數M，S，Sf，St，Pr，Nr，A對血液流動和熱量傳輸的影響。為了利用熱療對病人進行更準確的治療，這里給出的理論結果將是有用的。該研究對從事利用電磁熱療治療癌癥和腫瘤的臨床醫生也是有效的。由于該研究考慮到了速度滑移以及微血管中的血流速度較低，因此有可能提供一些有關動脈疾病的原因和發展的額外信息，例如動脈粥樣硬化，因此在外科手術中可得到潛在的應用。