基于TFM-PBM耦合模型的離心泵內(nèi)微氣泡破碎合并的模擬研究

高頌，徐燕燕，3，李繼香，葉爽，黃偉光，3

（1中國科學院上海高等研究院，上海 201210；2中國科學院大學，北京 100049；3上海科技大學物質(zhì)科學與技術(shù)學院，上海 201210）

引 言

微氣泡因其液中存在時間長、吸附效率高、破碎瞬間釋放大量自由基等特點[1]，能有效吸附分離液相中的固體顆粒、提高化學反應(yīng)速率，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)廢水廢氣處理[2-4]。研究表明污染物去除率與氣泡尺寸、氣泡數(shù)密度相關(guān)，而工業(yè)大量制備微氣泡常采用離心泵，由于泵內(nèi)氣泡流動極其復(fù)雜，目前離心泵產(chǎn)生的氣泡尺寸較大且不夠均勻，其微氣泡發(fā)生性能亟待優(yōu)化[5]。因此，探究泵內(nèi)氣泡破碎合并機理，揭示離心泵內(nèi)微氣泡尺寸變化規(guī)律具有研究價值。

多相流體系中分散相的粒度分布常采用群體平衡模型（PBM）來描述，其本質(zhì)是對不同粒度的分散相分別建立質(zhì)量守恒方程。Hulburt等[6]首次運用該思想結(jié)合矩量法對化工過程中固體顆粒的粒度變化建立平衡方程。Kuboi等[7-8]采用高速攝影研究了液相旋轉(zhuǎn)流場中液滴的運動，發(fā)現(xiàn)兩個液滴碰撞后的合并分數(shù)由碰撞瞬間的動能決定。Coulaloglou等[9]受Kuboi等的啟發(fā)，將Hulburt等建立的群體平衡方程拓展到旋轉(zhuǎn)流場液液兩相中液滴的破碎合并，并首次提出破碎合并函數(shù)。Lee等[10]進一步將群體平衡模型拓展到氣液兩相中氣泡的破碎合并，并用氣泡的數(shù)密度代替氣泡的概率密度分布。Prince等[11]考慮由于密度差異引起碰撞頻率、破碎效率的改變，對合并函數(shù)、破碎函數(shù)進行修正。上述群體平衡模型僅提供總體破碎率，且模型包含需實驗測定的未知參數(shù)，通用性不高。Luo等[12-13]研究發(fā)現(xiàn)氣液兩相中氣泡間的碰撞主要由湍流渦隨機運動導致，進而將碰撞頻率的計算模型進行了簡化，同時參考Kuboi等的研究將能譜與渦能量結(jié)合，提出同一尺寸湍流渦的能量服從指數(shù)分布，用來流渦的湍動能大于氣泡一分為二時表面能的增量作為液滴發(fā)生破碎的衡量標準，建立破碎模型，該模型無未知量且破碎后的子氣泡尺寸呈U形分布，與實際情況較為吻合。Luo等的群體平衡模型雖可以直接預(yù)測氣泡破碎合并，但模型中包含流場參數(shù)，對泵內(nèi)流動需先獲得基礎(chǔ)流場才能求解氣泡尺寸分布。

Murakami等[14-16]通過對旋轉(zhuǎn)流場的孤立氣泡求解氣泡運動方程，發(fā)現(xiàn)相間作用力由曳力、虛擬質(zhì)量力、升力主導，其中曳力影響最大，還指出沿泵內(nèi)流動方向壓力由負向正轉(zhuǎn)變，大氣泡流速先增加后減小會在葉輪內(nèi)產(chǎn)生聚集。Patel等[17]觀察到葉輪入口區(qū)域小氣泡發(fā)生聚集，驗證了前人研究。Falcimaigne[18]通過可視化研究了在入口氣含率（IGVF）為10%的條件下，螺旋軸泵中氣泡直徑的范圍，為氣泡尺寸離散打下基礎(chǔ)。Kumar等[19]通過氣泡尺寸離散改良了已有的群體平衡方程求解方法，使其可以與計算流體力學（CFD）耦合求解。Lehr等[20]將雙流體模型（TFM）與群體平衡模型（PBM）耦合用于鼓泡床氣液兩相上升流場的求解，以獲得氣泡尺寸分布。Venneker等[21]將TFM-PBM用于求解攪拌釜中的氣液兩相旋轉(zhuǎn)流場，以研究氣泡尺寸分布與體積傳質(zhì)系數(shù)。Zhu等[22]發(fā)現(xiàn)使用瞬態(tài)Euler-Euler的TFM耦合PBM，較使用VOF（volume of fluid）模型耦合PBM能更好地預(yù)測離心泵內(nèi)部兩相分布。He等[23]、Ge等[24]通過實驗與數(shù)值模擬驗證了這一點，其研究還表明Realizablek-ε湍流模型與Luo等的破碎合并模型在離心泵仿真中能較好地修正揚程計算。盡管TFM-PBM耦合模型能求解氣泡尺寸分布，但目前用于離心泵的數(shù)值研究大多僅關(guān)注其對揚程、相分布的修正結(jié)果，對整個泵內(nèi)的氣泡尺寸沿程變化受運行參數(shù)的影響規(guī)律仍有待研究。與此同時，研究者[22-24]大多使用Luo等基于湍流渦能量提出氣泡破碎合并模型，但在分析仿真結(jié)果時卻鮮有提及其影響。

本文為探究離心泵內(nèi)微氣泡的尺寸變化規(guī)律，采用文獻[25]可視化研究的離心泵模型，以TFM為基礎(chǔ)，對兩相旋轉(zhuǎn)流場中的質(zhì)量守恒、動量守恒建模，用以求解基礎(chǔ)流場；同時考慮相間作用力對相間動量傳遞的影響，用以修正動量守恒；并耦合PBM求解氣泡粒度分布，用以修正氣泡破碎合并對相間作用力的影響；最后用已有的可視化研究成果對仿真效果進行驗證。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Luo等的模型分析，氣含率、湍流耗散率、氣泡尺寸會影響氣泡的破碎合并，應(yīng)用TFM-PBM分別模擬模型泵在不同IGVF、不同入口氣泡尺寸下的內(nèi)部流動，通過逐層分析氣含率、氣泡尺寸對氣泡在葉輪、蝸殼內(nèi)尺寸變化的影響機理，揭示其對出口氣泡尺寸的影響規(guī)律，為提高基于旋轉(zhuǎn)流場的微氣泡發(fā)生效果提供參考。

1 數(shù)學模型

1.1 雙流體模型

離心泵內(nèi)的氣液兩相旋轉(zhuǎn)流場符合連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，本文采用Ishii等[26]在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的雙流體模型求解基礎(chǔ)流場，考慮到空氣-水兩相在泵內(nèi)流動溫度變化不大，忽略能量守恒方程。

1.1.1 質(zhì)量守恒方程 常溫下空氣-水體系的傳質(zhì)對流動影響較小，張振鐸[25]的研究表明入口壓力高于40 kPa時，模型泵內(nèi)無空化發(fā)生，可忽略氣液兩相的傳質(zhì)。后續(xù)仿真保證該條件，則有：

式中，t為時間，s；m為質(zhì)量，kg；ρ為密度，kg/m3；v為速度，m/s；α為體積相含率；q用于區(qū)分相，q=l為液相，q=g為氣相；Q為體積流量，m3/s。

1.1.2 動量守恒方程

式中，fq,pump為葉輪旋轉(zhuǎn)作用力，N；fdrag,q、fvm,q、flift,q分別為曳力、虛擬質(zhì)量力、升力，N；r為單位控制體到旋轉(zhuǎn)中心的矢量；ω為非慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度，rad/s。

1.2 相間作用力模型

1.2.1 曳力 離心泵內(nèi)空氣-水兩相密度與黏度差異會引起兩相在外力共同作用下運動時存在速度滑移，低速相流體會阻礙高速相流體的運動，即曳力。Ge等[24]的研究表明Schiller and Naumann曳力模型能較好修正離心泵在IGVF<5%時的揚程計算，本文采用該模型求解IGVF<5%時氣泡所受的曳力：

式中，db為氣泡的Sauter平均直徑，m；曳力系數(shù)CD計算如下：

式中，Re為連續(xù)相相對分散相的相對Reynolds數(shù)，表征兩相速度差異；μl為液相的動力黏度，N·s/㎡。

1.2.2 虛擬質(zhì)量力 離心泵內(nèi)的空氣-水兩相密度差會引起加速度差異，進而在相界面形成擠壓力，即虛擬質(zhì)量力。由于ρg?ρl，該力不可忽略，本文采用Maxey等[27]構(gòu)造的勢流中球形顆粒的虛擬質(zhì)量力模型：

式中，虛擬質(zhì)量力系數(shù)Cvm=0.5。

1.2.3 升力 離心泵內(nèi)流場存在一個垂直于氣泡流線方向的壓力梯度，即升力。本文采用Legendre等[28]提出的適用于小直徑球形流體顆粒的升力模型：

式中，CL為升力系數(shù)。

1.3 湍流模型

由于湍流脈動的隨機性，相同條件下流場上的同一點的同一物理量在同一瞬時存在不同的值，為獲得更有普遍意義的平均值，Thomas等[29]通過推導、簡化，并綜合考慮線變形與角變形對渦黏系數(shù)進行修正，獲得適用于旋轉(zhuǎn)流場動量守恒方程求解的k與ε的輸運方程（即Realizablek-ε湍流模型），戈振國[30]驗證了該模型在旋轉(zhuǎn)流場IGVF<5%時的適用性，本文采用該模型求解動量守恒方程。

1.4 群體平衡模型

1.4.1 氣泡群體平衡模型 離心泵內(nèi)氣泡的破碎合并現(xiàn)象滿足氣相質(zhì)量守恒，且泵內(nèi)流場滿足各向同性假設(shè)，同時假定泵內(nèi)氣泡僅發(fā)生一分為二的破碎，則可采用Luo等[12-13]的群體平衡模型進行描述：

式中，n(V,t)為t時刻單位體積內(nèi)體積為V到V+dV的氣泡個數(shù)，1/m3；ub為氣泡速度，m/s。

式中，BC,V為氣泡V'與氣泡V-V'合并生成氣泡V的源項；DC,V為氣泡V與氣泡V'合并導致氣泡V消失的源項；BB,V為氣泡V'破碎生成氣泡V的源項；DB,V為氣泡V破碎導致氣泡V消失的源項；c(VV',V')為氣泡V'與氣泡V-V'合并生成氣泡V的合并概率，1/(m3·s)；b(V')為氣泡V'的破碎概率，1/(m3·s)；β(V|V')為氣泡V'破碎后生成氣泡V的概率。合并概率、破碎概率由相應(yīng)的模型來描述。

1.4.2 氣泡破碎模型 基于上述分析，本文采用Luo等[12-13]的破碎模型。該模型將氣泡破碎拆解為兩個過程，即首先需要氣泡與湍流渦碰撞，當碰撞時湍流渦的能量滿足一定條件才會引起破碎。并基于攪拌器內(nèi)實驗數(shù)據(jù)進一步假設(shè)尺寸為λ的湍流渦的能量分布服從指數(shù)分布，將碰撞時湍流渦的能量能否引起破碎分解為三個層次進行建模。為區(qū)分氣泡的不同破碎方式，假設(shè)氣泡發(fā)生破碎后僅生成兩個子氣泡，fBV破碎為其中一個子氣泡的體積與原氣泡的體積之比為fBV。模型用PB(d,fBV,λ)表示來流渦尺寸為λ時，其能量可以使氣泡發(fā)生fBV破碎的概率；用PB(d,fBV)代表在可使氣泡發(fā)生fBV破碎的湍流渦尺寸范圍[λmin,d]內(nèi)，氣泡V'發(fā)生fBV破碎的頻率；用PB(d)代表在可使氣泡發(fā)生fBV破碎的湍流渦尺寸范圍[λmin,d]內(nèi)，氣泡V'發(fā)生任意破碎的頻率。

任意氣泡V'破碎生成子氣泡V的概率β(V|V')b(V')，即 破 碎 概 率PB(d,fBV)/nd的 最 終 形式為：

1.4.3 氣泡合并模型 同樣基于上述分析，本文采用Luo[12]的合并模型，該模型將氣泡合并分為氣泡與氣泡碰撞、碰撞時兩氣泡的速度能否引起氣泡合并兩部分，將兩氣泡的合并概率分解為碰撞頻率與合并效率之積：

2 數(shù)值方法

2.1 幾何建模與網(wǎng)格劃分

2.1.1 幾何建模 基于張振鐸[25]可視化研究的離心泵采用CFturbo10.3建立幾何模型，主要參數(shù)如表1所示。并結(jié)合泵內(nèi)流動特點，將計算流體域劃分為如圖1所示的四部分。

圖1 離心泵流體域幾何建模Fig.1 Geometric modeling of centrifugal pump fluid domain

表1 離心泵的主要設(shè)計參數(shù)Table 1 Parameters of centrifugal pump

2.1.2 網(wǎng)格劃分 為保證仿真求解的穩(wěn)定性與求解質(zhì)量，本文針對上述四個流體域的不同幾何特征采取相應(yīng)的網(wǎng)格劃分策略，應(yīng)用Turbogrid對葉輪單流道劃分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，并導入ICEM獲得全流道結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格；應(yīng)用ICEM對蝸殼段劃分非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格；應(yīng)用ICEM對進出口延伸段劃分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。為保證y+的值在壁面函數(shù)（與Realizablek-ε模型相匹配）適用的30~300內(nèi)，對計算域的壁面網(wǎng)格設(shè)置膨脹層，并在計算中進行驗證。此處網(wǎng)格劃分使用的Turbogrid、ICEM與后續(xù)數(shù)值模擬所采用的Fluent均來自ANSYS 2020R2版本。

2.2 網(wǎng)格無關(guān)性驗證

選取網(wǎng)格數(shù)以2倍率增長的四組網(wǎng)格對1500 r/min的單相流場進行求解，結(jié)果表明入口壓力均大于40 kPa，滿足忽略空化的假設(shè)，y+值在100以內(nèi)，滿足與Realizablek-ε模型相匹配的壁面函數(shù)的適用條件。該工況下實驗獲得的揚程值為4.36 m，仿真獲得的揚程計算結(jié)果如圖2所示，當網(wǎng)格數(shù)從0.68×106增加到1.25×106時，仿真與實驗[30]的揚程偏差值從2.21%下降到2.18%，網(wǎng)格數(shù)進一步增加 到2.61×106、6.14×106時，偏差值基本都為2.18%。為保證計算精度且節(jié)約計算成本，本文采用網(wǎng)格數(shù)為2.61×106的劃分方式。

圖2 1500 r/min工況網(wǎng)格無關(guān)性驗證Fig.2 Mesh independence verification at 1500 r/min

2.3 TFM-PBM耦合數(shù)值模擬方案

根據(jù)前人[18,31-33]的可視化研究結(jié)果，離心泵內(nèi)氣泡尺寸在0.1~10 mm之間，將氣泡尺寸離散如表2所示。并設(shè)計表3模擬方案，探究入口參數(shù)對泵內(nèi)氣泡尺寸的影響。模擬采用速度入口邊界、壓力出口邊界，出口壓力為標準大氣壓，監(jiān)測的物理量為入口壓力、出口流速。為提高計算的穩(wěn)定性，仿真分為三步進行。首先，氣液兩相流采用非均質(zhì)Euler-Euler模型，旋轉(zhuǎn)流體域葉輪部分采用Frame Motion，對模型進行穩(wěn)態(tài)數(shù)值計算；當計算殘差小于10-4，且監(jiān)測的物理量基本不變時，將葉輪部分的計算方法改為Mesh Motion，對模型進行瞬態(tài)數(shù)值計算，時間步長為0.00033（葉輪旋轉(zhuǎn)3°）；當監(jiān)測物理量的波動穩(wěn)定后，再加入PBM模型，對模型進行瞬態(tài)數(shù)值計算，當監(jiān)測物理量的波動再次穩(wěn)定后，數(shù)值計算完成。

表2 PBM模型氣泡尺寸離散Table 2 Discrete bubble sizes in PBM

表3 TFM-PBM數(shù)值模擬方案Table 3 TFM-PBM simulation scheme

3 計算結(jié)果與分析

3.1 TFM-PBM耦合數(shù)值模擬結(jié)果驗證

圖3為模型泵在轉(zhuǎn)速為1500 r/min，入口體積氣含率（IGVF）分別為0.32%、1.04%、2.21%、3.25%、4.86%時，TFM-PBM的數(shù)值解與文獻[30]實驗值的對比。

圖3 揚程的TFM-PBM仿真結(jié)果與實驗測量結(jié)果[30]對比Fig.3 Head comparison of TFM-PBM data and experimental values[30]

圖3顯示，當IGVF較小時，仿真相對誤差較小；當IGVF超過2%時，相對誤差逐漸增大。定義垂直于葉輪進口方向且位于葉輪出口截面50%高度處的葉輪截面為葉輪中心截面，進一步將葉輪中心截面的局部氣含率分布與可視化結(jié)果[30]進行對比。結(jié)合式（6），由于氣液密度不同，在葉輪旋轉(zhuǎn)時，受葉輪旋轉(zhuǎn)作用力fq,pump較大的液相更遠離葉片壓力側(cè)，留下受fq,pump更小的氣相，此時泵內(nèi)氣體聚集，引起流速下降，使得原本適用于高Reynolds數(shù)的湍流模型計算誤差增大，但仍在誤差允許范圍內(nèi)（±20%），CFD-PBM耦合模型對流場的壓力變化計算有效，其用于修正兩相界面面積的中間計算量（氣泡尺寸分布）有效。

而截面上的相分布情況并非中心對稱，其根本原因在于葉輪外部的蝸殼并非中心對稱(圖1)。實際上，圖4中蝸殼出口位于右上方，越接近該處的液體更易因為葉輪旋轉(zhuǎn)作用力fq,pump離開葉輪流道，進而引起該處氣液相對流速增大，曳力增加，氣相被拖曳變形更加明顯。

圖4 相分布的TFM-PBM仿真結(jié)果與可視化結(jié)果[30]對比Fig.4 Phase distribution comparison of TFM-PBM data and visualization values[30]

3.2 IGVF對泵內(nèi)氣泡尺寸發(fā)展的影響

圖5為模型泵在轉(zhuǎn)速為1500 r/min、體積流量為7.7 m3/h（42%Qmax）、入口氣泡尺寸為bin4（1.29 mm）的條 件下，IGVF分 別為0.32%、0.60%，1.04%、2.21%、3.25%、4.86%時，泵內(nèi)沿程氣泡尺寸隨IGVF變化圖。結(jié)果顯示，在該條件下：

圖5 泵內(nèi)沿程氣泡尺寸隨IGVF變化(din=bin4)Fig.5 Average bubble size of each flow domain under different inlet gas volume fraction(din=bin4)

（1）當IGVF<1.04%時，氣泡經(jīng)葉輪尺寸減小，隨著IGVF升高，氣泡在葉輪內(nèi)尺寸減小程度逐漸降低，葉輪出口氣泡尺寸逐漸增大，但在蝸殼中尺寸又緩慢增大；

（2）當IGVF>1.04%時，隨著IGVF升高，葉輪內(nèi)氣泡尺寸逐漸大于入口尺寸，并持續(xù)增長，但增長速度逐漸變緩。此時蝸殼內(nèi)氣泡尺寸始終呈下降趨勢，下降速度逐漸加快；

（3）泵出口平均氣泡尺寸隨IGVF的增大而增大，但總體上均小于入口。

在1800 r/min時有相似的變化規(guī)律，下面通過分析IGVF對氣泡在葉輪、蝸殼內(nèi)尺寸變化的影響機理，揭示IGVF對出口氣泡尺寸的影響規(guī)律。

3.2.1 IGVF對葉輪內(nèi)氣泡尺寸發(fā)展的影響機理 氣泡破碎由湍流渦的碰撞引起，Luo等[12-13]的模型假設(shè)尺寸為λ到λ+dλ的湍流渦的能量E(λ)服從指數(shù)分布，且當碰撞時的E(λ)滿足一定條件時氣泡才會破碎，因此碰撞的頻率與碰撞時的E(λ)共同決定氣泡破碎頻率。尺寸為d到d+dd的氣泡與尺寸為λ到λ+dλ的湍流渦的碰撞頻率ωˉB,λ(d,λ)由式（20）計算；碰撞后能發(fā)生fBV破碎（即破碎后一個子氣泡的體積與原體積的比值為fBV）的破碎效率PB(d,fBV,λ)由式（17）計算。將碰撞頻率與破碎效率相乘，獲得尺寸為d到d+dd的氣泡與尺寸為λ到λ+dλ湍流渦碰撞并發(fā)生fBV破碎的有效破碎頻率ω(B)：

同理，氣泡合并由氣泡之間的碰撞引起，當碰撞時兩氣泡的速度滿足一定條件時，氣泡才會合并。尺寸為di、dj的兩組氣泡的碰撞頻率由式（25）計算，碰撞后能發(fā)生合并的效率Pc(di,dj)由式（28）計算。將碰撞頻率與合并效率相乘，獲得尺寸為di、dj的兩組氣泡能發(fā)生碰撞合并的有效合并頻率ω(C)：

由于ω(B)、ω(C)均含有數(shù)密度，而數(shù)密度nd與氣泡尺寸d、氣相體積流量Qg相關(guān)，氣相體積流量Qg又是總體積流量Q與體積氣含率（α）的函數(shù)，為更直觀反映體積氣含率（α）、氣泡尺寸（d）對ω(B)、ω(C)的影響，利用氣相質(zhì)量守恒方程將數(shù)密度nd表示為α與d的關(guān)系式，對單位體積有：

式中,Vd為直徑為d的氣泡的體積，m3；A為一個常數(shù);nd為尺寸為d到d+dd的氣泡的數(shù)密度，即單位體積內(nèi)相應(yīng)尺寸氣泡的個數(shù)，1/m3。將式（17）、式（20）、式（33）代入式（29），并將λ用d的倍數(shù)表示，化簡中常數(shù)項用系數(shù)X′、X′′表示，有：

同理，將式（25）、式（28）、式（33）代入式（30），并將di與dj均表示為d的倍數(shù)，化簡時常數(shù)項用系數(shù)Y′、Y′′表示，有：

僅考慮體積氣含率α對ω(B)、ω(C)的影響，將式（34）、式（35）中的其余無關(guān)量簡化為X、Y：

圖6為ω(B)、ω(C)隨體積氣含率α的變化，如忽略其他因素對氣泡破碎合并的影響，可近似有X=Y。首先用圖6解釋圖5中隨IGVF升高，葉輪出口氣泡尺寸由先小于入口氣泡尺寸逐漸增大至大于入口氣泡尺寸。IGVF改變，會引起葉輪流道的體積氣含率發(fā)生改變，考慮圖4中葉輪內(nèi)氣體聚集，提取出各IGVF對應(yīng)的葉輪中心截面的平均體積氣含率，并其將對應(yīng)的ω(B)、ω(C)標注到圖6曲線上。發(fā)現(xiàn)當IGVF較低時，聚集量較小，ω(B)大于ω(C)，此時氣泡趨于破碎，隨著IGVF增大，總體破碎趨勢減緩，氣泡尺寸變大。當IGVF較高時，葉輪內(nèi)局部氣含率驟增，ω(C)>ω(B)，且ω(C)加速增長，ω(B)加速減小，此時氣泡趨于合并，合并的強度逐漸增強，此時葉輪出口氣泡逐漸增大。因此，隨IGVF增大，葉輪內(nèi)的氣泡呈現(xiàn)出圖5所示的變化趨勢。

圖6 有效破碎頻率ω(B)、有效合并頻率ω(C)隨體積氣含率(α)的變化Fig.6 Effective break-up frequencyω(B)and effective coalescence frequencyω(C)under different gas volume fractionα

3.2.2 IGVF對蝸殼內(nèi)氣泡尺寸發(fā)展的影響機理 同理，提取各IGVF對應(yīng)的蝸殼中心截面平均氣含率，發(fā)現(xiàn)其值與IGVF基本一致，對應(yīng)圖6中0<α<5%的部分，此時仍是破碎主導，氣泡尺寸逐漸減小。但在圖5中，當IGVF<1.04%時，蝸殼中氣泡尺寸反而增大，這表明僅考慮氣含率的圖6在判斷此時蝸殼中的氣泡破碎合并存在缺陷。回到原始的式（34）、式（35），影響ω(B)、ω(C)大小的因素還有氣泡尺寸d、湍流耗散率ε、液相密度ρ、表面張力σ，其中氣泡尺寸d、湍流耗散率ε是隨流動過程變化的，如圖5中的氣泡尺寸，此時簡化為X、Y會對ω(B)、ω(C)二者進行比較時產(chǎn)生影響。根據(jù)Luo等[13]的研究有X'=Y'=0.923，將X、Y中的共有部分記作Z，。

由圖5可知，隨IGVF增大，葉輪出口氣泡尺寸逐漸增大，則相應(yīng)的蝸殼入口氣泡尺寸逐漸增大，提取蝸殼內(nèi)的湍流耗散率如表4所示，可以發(fā)現(xiàn)此時蝸殼內(nèi)的湍流耗散率也隨IGVF的增大而增大。結(jié)合式（34）、式（35）可知，隨著氣泡尺寸d、湍流耗散率ε的增大，ω(B)增大、ω(C)減小，導致圖6中ω(B)、ω(C)曲線的交點右移，如圖7所示。

表4 蝸殼內(nèi)湍流耗散率隨IGVF變化Table 4 Turbulent dissipation rate of impeller and volute under different inlet gas volume fraction

圖7 有效破碎頻率ω(B)、有效合并頻率ω(C)隨體積氣含率(α)的變化Fig.7 Effective break-up frequencyω(B)and effective coalescence frequencyω(C)under different gas volume fractionα

因此在IGVF較小的情況下，ω(C)會在更小的氣含率時超過ω(B)，從而出現(xiàn)圖5中蝸殼內(nèi)氣泡尺寸在IGVF<1.04%時反而增大的現(xiàn)象。另一方面，在1.04%

3.2.3 IGVF對泵出口氣泡尺寸分布的影響規(guī)律實際應(yīng)用更關(guān)心泵出口氣泡尺寸分布，圖8為泵出口氣泡數(shù)密度分布隨IGVF變化，此時隨IGVF升高，出口小氣泡數(shù)目逐漸減少，大氣泡數(shù)目逐漸增多。

圖8 泵出口氣泡數(shù)密度分布隨IGVF變化(din=bin4)Fig.8 Bubble number density distribution at outlet of pump under different IGVF(din=bin4)

實際應(yīng)用除了考慮小氣泡的數(shù)密度nd，還會考慮小氣泡的總體積。圖9為泵出口各尺寸氣泡占氣相的體積分數(shù)ndVd/Qg隨IGVF變化，反映了不同IGVF時各尺寸氣泡占氣相體積分數(shù)的變化。圖10為泵出口各尺寸氣泡占兩相的體積分數(shù)ndVd/(Qg+Ql)隨IGVF變化，反映了不同IGVF時各尺寸氣泡占兩相總體積分數(shù)的變化，在總體積流量一定時，它就是各尺寸氣泡總體積的變化。由于出口的體積氣含率與IGVF基本相同，這兩個體積分數(shù)的計算方式如下：

圖9 泵出口氣泡尺寸分布隨IGVF變化（占氣相，din=bin4）Fig.9 Bubble size distribution at outlet of pump under different inlet gas volume fraction(by air,din=bin4)

圖10 泵出口氣泡尺寸分布隨IGVF變化（占兩相，din=bin4）Fig.10 Bubble size distribution at outlet of pump under different inlet gas volume fraction(by two-phase,din=bin4)

由圖8、圖9可知，此時隨IGVF升高，出口氣泡尺寸分布明顯右移，大氣泡個數(shù)增多，氣泡尺寸逐漸增大，這與上述機理分析的結(jié)果一致。另一方面，式（38）表明尺寸為d的氣泡占氣相的體積分數(shù)與d正相關(guān)。因此雖然圖9顯示小尺寸的氣泡數(shù)密度nd較大，但圖9中體積分數(shù)最大的是中等尺寸氣泡。如以出口尺寸小于bin6(0.46 mm)的氣泡總體積量最大為篩選目標，即小于該尺寸的氣泡占兩相體積分數(shù)之和最大，圖10顯示IGVF=3.25%時達到最優(yōu)。

3.3 入口氣泡尺寸對泵內(nèi)氣泡尺寸發(fā)展的影響

為進一步探究入口氣泡尺寸對出口氣泡尺寸、氣泡數(shù)密度的影響，本文求解了在1500 r/min、7.7 m3/h（42%Qmax）條件下，IGVF分別為0.32%、3.25%、4.86%時，入口氣泡尺寸分別為bin2(3.59 mm)、bin3(2.15 mm)、bin4(1.29 mm)、bin5(0.77 mm)、bin6(0.46 mm)、bin7(0.28 mm)時的泵內(nèi)氣泡尺寸分布。圖11為IGVF=0.32%時泵內(nèi)沿程氣泡尺寸隨入口氣泡尺寸變化，結(jié)果顯示，在該條件下：

圖11 泵內(nèi)沿程氣泡尺寸隨入口氣泡尺寸變化(IGVF=0.32%）Fig.11 Average bubble size of each flow domain under different inlet bubble size(IGVF=0.32%)

（1）當入口氣泡尺寸較小時，氣泡經(jīng)葉輪尺寸變大；

（2）入口氣泡尺寸較大時，氣泡經(jīng)葉輪尺寸減小，且入口氣泡尺寸越大，尺寸減小的幅度越大；

（3）總體上出口平均氣泡尺寸基本不變。

下面通過分析入口氣泡尺寸對氣泡在葉輪、蝸殼內(nèi)尺寸變化的影響機理，揭示其對出口氣泡尺寸的影響規(guī)律。

3.3.1 入口氣泡尺寸對氣泡尺寸發(fā)展的影響機理結(jié)合式（34）、式（35）可知，在轉(zhuǎn)速、入口氣含率不變時，入口氣泡尺寸變化對ω(B)、ω(C)會產(chǎn)生影響，且均包含兩個影響因子，其中第一個影響因子均為d-17/3，而另一個影響因子為包含d的冪函數(shù)形式。

第一個影響因子實際為碰撞頻率，由式（33）可知，其他條件不變時，氣泡數(shù)密度正比于d-4，而湍流渦尺寸λ可表示為d的倍數(shù)，代入式（20）有ωˉB,λ(d,λ)與d-17/3正相關(guān)，即ω(B)的第一個影響因子。同理有與d-17/3正相關(guān)，即ω(C)的第一個影響因子。這一影響因子表明在氣含率一定時，入口氣泡尺寸變化對氣泡與湍流渦的碰撞頻率、氣泡與氣泡的碰撞頻率影響一致。因此氣泡的破碎合并主要由第二個影響因子決定。

同第一個影響因子的分析，第二個影響因子實際為碰撞后破碎、合并的效率，分別記作P′(B)、P'(C)。氣泡在bin7(0.28 mm)到bin2(3.59 mm)尺寸范圍內(nèi)，如圖12所示，隨著氣泡尺寸d的增加，破碎效 率增 大，而 合 并 效 率減小。

圖12 葉輪內(nèi)破碎效率P′(B)、合并效率P′(C)隨入口氣泡尺寸的變化(IGVF=0.32%)Fig.12 Break-up efficiency P′(B)and coalescence efficiency P′(C)in impeller under different inlet bubble size(IGVF=0.32%)

在IGVF=0.32%條件下，葉輪流場內(nèi)無明顯氣體聚集。結(jié)合圖12可知，當氣泡尺寸較小時(dbin5)，破碎效率開始超過合并效率，氣泡破碎占主導地位，且破碎效應(yīng)逐漸增強，氣泡尺寸逐漸減小，直至氣泡破碎和合并趨于平衡。因此，在圖11中，在IGVF=0.32%條件下，隨入口氣泡尺寸從bin7(0.28 mm)增大到bin2(3.59 mm)，葉輪內(nèi)由合并主導轉(zhuǎn)變?yōu)槠扑橹鲗В瑲馀莩叽缦茸兇蠛鬁p小，最終出口氣泡尺寸幾乎一致。

3.3.2 入口氣泡尺寸對泵出口氣泡尺寸分布的影響規(guī)律 圖13為IGVF為0.32%時出口氣泡尺寸分布隨入口氣泡尺寸變化，圖中顯示隨入口氣泡尺寸增大，出口氣泡尺寸分布先右移后左移，出口尺寸先增大后減小，但總體尺寸相差很小，與上述影響機理分析的結(jié)果一致。如以出口尺寸小于bin6(0.46 mm)的氣泡占兩相體積分數(shù)為優(yōu)化目標，入口氣泡尺寸為bin2(3.59 mm)時達到最優(yōu)。

圖13 泵出口氣泡尺寸分布隨入口氣泡尺寸變化（占兩相，IGVF=0.32%）Fig.13 Bubble size distribution at outlet of pump under different inlet bubble size(by two-phase,IGVF=0.32%)

圖14為IGVF為3.25%時出口氣泡尺寸分布隨入口氣泡尺寸變化，圖中顯示隨入口氣泡尺寸增大，出口氣泡尺寸分布基本不變，在IGVF為4.86%時有相同結(jié)果。結(jié)合入口氣含率對泵內(nèi)氣泡尺寸變化的機理分析，可以發(fā)現(xiàn)此時葉輪內(nèi)氣體大量聚集，入口氣泡尺寸對出口氣泡尺寸的影響基本無法體現(xiàn)，此時出口氣泡分布主要由IGVF決定。

圖14 泵出口氣泡尺寸分布隨入口氣泡尺寸變化（占兩相，IGVF=3.25%）Fig.14 Bubble size distribution at outlet of pump under different inlet bubble size(by two-phase,IGVF=3.25%)

4 結(jié) 論

本文為探究離心泵內(nèi)微氣泡的發(fā)生特性，將含氣泡的泵內(nèi)兩相流動拆解為氣液兩相流、旋轉(zhuǎn)流場、氣泡破碎合并三個部分，并建立TFM-PBM耦合模型求解泵內(nèi)流場參數(shù)，獲得氣泡尺寸分布。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)Luo等的模型，分別模擬模型泵在不同IGVF、不同入口氣泡尺寸下的內(nèi)部流動，通過逐層分析氣含率、氣泡尺寸對氣泡在葉輪、蝸殼內(nèi)尺寸變化的影響機理，揭示其對出口氣泡尺寸的影響規(guī)律。具體結(jié)論如下。

（1）不同IGVF時，揚程與葉輪內(nèi)平均氣泡尺寸的數(shù)值結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)較吻合，TFM-PBM耦合模型對離心泵內(nèi)氣泡尺寸計算具有較好的適用性。

（2）IGVF升高引起葉輪內(nèi)氣體聚集是影響氣泡發(fā)展的主要因素。在IGVF較低時，泵內(nèi)基本無氣體聚集，隨IGVF升高，葉輪內(nèi)引起破碎的碰撞頻率高于引起合并的碰撞頻率，氣泡趨于破碎，葉輪出口氣泡尺寸小于泵入口，此時蝸殼內(nèi)氣泡尺寸對氣泡破碎合并的影響開始顯現(xiàn)，氣泡又趨于合并。當氣含率較高時，泵內(nèi)氣體聚集引起局部氣含率升高，隨IGVF升高，聚集加劇，葉輪內(nèi)引起破碎的碰撞頻率低于引起合并的碰撞頻率，氣泡趨于合并，葉輪出口氣泡尺寸大于泵入口，而在蝸殼內(nèi)氣含率恢復(fù)正常，氣泡又趨于破碎。

（3）入口氣泡尺寸對出口氣泡尺寸的影響對IGVF較為敏感。當IGVF較低時，受入口氣泡尺寸與氣含率共同影響，隨入口氣泡尺寸增大，出口氣泡尺寸先增大后減小；而當IGVF較高時，泵內(nèi)氣體開始聚集，氣含率的影響占主導地位，入口氣泡尺寸對出口氣泡尺寸影響不明顯。

（4）對本文研究的模型泵而言，以出口尺寸小于bin6(0.46 mm)的氣泡占兩相體積分數(shù)為優(yōu)化目標，在轉(zhuǎn)速為1500 r/min條件下，IGVF=3.25%達到最優(yōu)，并且基本與入口氣泡尺寸無關(guān)。

（5）在入口條件一致時，葉型改變也會影響葉輪內(nèi)的局部氣含率與湍流耗散率，因此可以考慮修改葉型實現(xiàn)改變氣泡尺寸的目的。

符號說明

cf——氣泡表面積增加系數(shù)，cf=fBV2/3+(1-fBV)2/3-1

di,dj——分別為體積為Vi、Vj的氣泡的直徑，m

fBV——氣泡破碎體積分數(shù)，即破碎后一個子氣泡的體積V與原體積V'之比，fBV=V/V'

k——湍流動能，m2/s2

n——離心泵的轉(zhuǎn)速，r/min

nd,ndi,ndj——分別為直徑為d、di、dj的氣泡的數(shù)密度，即單位體積內(nèi)相應(yīng)氣泡的個數(shù)，1/m3

——尺寸為λ的湍流渦的數(shù)密度，1/m3

Qmax——轉(zhuǎn)速不變時的最大體積流量，m3/h

tdrainage——直徑為di、dj的兩氣泡碰撞后，接觸面的厚度下降為臨界厚度所需的時間，s

,——分別為直徑為di、dj的 氣 泡 的 平均湍動速度，m/s

——直徑為di、dj的氣泡間的平均相對湍動速度，m/s

——尺寸為λ的湍流渦的平均湍動速度，m/s

Weij——直徑為di、dj的兩氣泡碰撞時的Weber數(shù)，即慣性力與表面張力之比

xij——直徑為di、dj的兩氣泡的直徑之比，xij=di/dj

y+——第一層網(wǎng)格質(zhì)心到壁面的無量綱距離

αin——入口氣體體積分數(shù)

β——經(jīng)驗參數(shù)，文中為2.047

ε——湍流耗散率，m2/s3

λ——湍流渦的尺度，m

ξ——湍流渦尺寸與氣泡直徑之比，ξ=λ/d

σ——表面張力，文中空氣-水體系的表面張力為0.07 N/m

τcontact——直徑為di、dj的兩氣泡碰撞后的接觸時間，s