Tina-II在“傳熱學”熱電比擬實驗中的應用

孟 婧， 張 可， 魏 旸， 張曉鵬， 唐上朝， 王小丹

（西安交通大學能源與動力工程專業國家級實驗教學示范中心，西安 710049）

0 引 言

在傳熱學研究中，對于復雜導熱問題往往很難求得精確的理論解，由于導熱問題與導電問題的相似性，在二者的差分方程相似的情況下，可以通過特定的電路對導熱問題進行模擬求解。電路中的電阻對應導熱問題的熱阻，電位差對應兩邊溫度差，電流則對應熱流密度。通過簡單的電學測量即可獲得導熱物體內部的溫度分布。針對各導熱問題制作相對應的電路板，不僅受到實驗耗材的限制，電阻數量即離散程度有限，大量的測量工作易產生誤差。將熱電比擬方法應用于傳熱分析可使得復雜的傳熱網絡分析過程得到簡化。黃曉齊［1-2］從電路觀點，給出了有內熱源的無限大平板，在3 類邊界條件下的模擬網絡電路。另外提出了利用交流電路對周期性導熱問題進行模擬，并給出了數學描寫。張惟［3］根據熱電模擬的原理，對“757”雷達天線收發機提供了熱設計的新方法。Capizzi 等［4］基于熱電類比的動態模型對建筑物熱瞬變過程的溫度場進行了模擬分析評價。胡申華［5］利用Excel 軟件，成功模擬了等溫和對流兩種邊界條件下，墻角的二維穩態導熱問題。徐凱等［6］利用Matlab 軟件，采用多種方法對二維穩態導熱、一維和二維非穩態導熱問題進行了數值模擬和求解。

Tina-II是一種基于SPICE 的電路設計和模擬仿真程序，可便捷地搭建并測試各種電路［7-10］，而且無任何器件數量限制，可大大提升離散程度，理論上可使得實驗結果無限接近實際情況。同時也可極大程度地節省實驗耗材，避免了大量重復性的電學測量工作。

本文利用Tina-II電路仿真軟件，以2 種邊界條件下的二維導熱問題作為實例進行對比分析，以期為《傳熱學》熱電比擬實驗教學模式的改進提供一定的研究基礎。

1 仿真模擬原理及研究對象

1.1 熱電比擬實驗原理

通過比較導電現象和導熱現象的數學描寫可以看出這2 種現象是類似的。對于二維穩態過程，物體溫度分布的導熱微分方程與導體中電位分布的微分方程均滿足拉普拉斯（Laplace）方程：

兩微分方程的類同是熱電模擬法的基礎。具體模擬求解時，需按照模擬原則建立一個與所研究的導熱系統等效的導電系統，令電系統總電壓對應于熱系統總溫差，則電壓分布代表熱系統溫度分布，電流強度代表熱系統的熱流量。

固體穩態溫度場的電模擬法可分為連續式和網絡式兩種，連續式模擬法采用導電液體或固體（如導電紙）作電模型，網絡式模擬法則采用由電阻元件構成的電阻網絡作電模型。在本文的實驗部分采用的就是電阻網絡模擬溫度場的方法。

1.2 被模擬對象參數

（1）建筑物墻角（見圖1）幾何尺寸：l1＝2.2 m，l2＝3.0 m，l3＝2.0 m，l4＝1.2 m；

圖1 墻角結構與參數

（2）墻角材料的導熱系數λ ＝0.53 W/（m·K）；

（3）等溫邊界條件：墻角外表面溫度t1＝30 ℃，內表面溫度t2＝0 ℃；

（4）對流邊界條件：墻角外表面與周圍流體的對流換熱表面傳熱系數h1＝10.6 W/（m2·K），流體溫度t1＝30 ℃，墻角內表面與周圍流體的對流換熱表面傳熱系數h2＝3.975 W/（m2·K），流體溫度t2＝10 ℃。

1.3 確定模擬條件

對于網絡模擬法而言，模擬以其差分方程相類似為基礎。當導熱系數為常數時，對均勻網絡（見圖2（a）），二維穩態導熱的差分方程為

圖2 內部節點圖

相應的基爾霍夫電流方程（見圖2（b））為

只要滿足R1＝R2＝R3＝R4的條件，以上兩式就完全類似。

式（1）、（2）適用于一切二維穩態無內熱源的導熱和導電問題的內部節點。但是，用電阻網絡來模擬具體的熱系統時，還必須使電-熱系統之間有相似的邊界條件。

其中等溫邊界條件是最簡單的情況：要模擬熱系統的等溫邊界，只需要在電模型的邊界節點上維持等電位即可。

對于絕熱邊界條件（見圖3），可以證明，只要取R2＝R3＝2R1即可使邊界條件滿足相似原理。

圖3 絕熱邊界

對于對流邊界條件（見圖4）則只要取R2＝R3＝2R2及就可使邊界條件滿足相似原理。式中：h為對流表面換熱系數；l為熱系統的網絡間距（即步長）。

圖4 對流邊界

2 基于Tina-II模擬二維穩態墻角導熱問題

2.1 電路系統設計

基于上文中確定的模擬條件，設計了兩種邊界條件下（等溫邊界和對流邊界）的電路系統。其中，等溫邊界條件共設計了12 行，16 列。R1＝150 Ω，R2＝R3＝300 Ω；對流邊界條件下共設計了13 行，17 列。R1＝150 Ω，R2＝R3＝300 Ω，R4外＝75 Ω，R4內＝200 Ω。其中，R4外為對流邊界的外側電阻，R4內為對流邊界的內側電阻。具體參數如圖5、6 所示。

圖5 等溫邊界條件下電路設計圖

圖6 對流邊界條件下電路設計圖

2.2 應用Tina-II搭建仿真模擬電路

應用Tina-II搭建了2 種邊界條件下的仿真模擬電路，在等溫邊界條件下（見圖7），直流電壓源U1等溫＝3 V，U2等溫＝0 V，分別對應于墻內外的溫度值，墻角外表面溫度t1＝30 ℃，內表面溫度t2＝0 ℃；在對流邊界條件下（見圖8），直流電壓源U1對流＝2 V，U2對流＝0 V，分別對應于墻體內外表面周圍流體的溫度值，外表面周圍流體溫度t1＝30 ℃，內表面周圍流體溫度t2＝10 ℃。

圖7 Tina-II搭建的墻體等溫邊界仿真電路圖

圖8 Tina-II搭建的墻體對流邊界仿真電路圖

2.3 求解墻體內部溫度分布

（1）獲得節點電壓。本文通過Tina-II的“直流分析”功能，直接獲得電路中所有節點的電壓值，該功能避免了單調的重復性測量工作，大大節省了時間成本，且得到的數據更為可靠，避免測量操作不當引起的誤差。

（2）求解節點溫度。依據電路電壓值與實際溫度值的對應關系，求得各節點的溫度值。

（3）繪制溫度分布圖（等溫線圖）。應用Matlab將各節點的溫度值繪制成為等溫線圖，直觀明了地表示在兩種邊界條件下，墻體內部溫度場的分布情況。

3 仿真模擬結果對比分析

等溫和對流兩種邊界條件，在相同初參數條件下，將分別由二維溫度場電模擬實驗［9］、應用Jacobi 迭代法［10］進行數值模擬求解結果和基于Tina-II 仿真電路的方法得出的溫度場做了比較。

（1）等溫邊界。等溫邊界的比較如圖9 ～11 所示。圖9 為二維溫度場電模擬實驗結果圖，圖10 為數值模擬求解結果圖，圖11 為采用Tina-II 軟件獲得的最終實驗結果圖。

圖9 等溫邊界電模擬實驗結果

圖10 等溫邊界數值模擬求解結果

圖11 等溫邊界Tina-II仿真模擬計算結果

（2）對流邊界。對流邊界的比較如圖12 ～14 所示。圖12 為二維溫度場電模擬實驗結果圖，圖13 為數值模擬求解結果圖，圖14 為采用Tina-II 軟件獲得的最終實驗結果圖。

圖13 對流邊界數值模擬求解結果

圖14 對流邊界Tina-II仿真模擬計算結果

由上述3 種方法得到的溫度場對比可得：

（1）基于Tina-II 仿真模擬計算與電模擬實驗結果和編程數值求解計算結果在數值上相差不大，在溫度分布圖上的變化趨勢一致，整體而言，3 種方法得到的結果差異小至可以忽略不計（見圖9 ～11 與圖12 ～14）。

圖12 對流邊界電模擬實驗結果

（2）相比較而言，電模擬實驗方法中采用焊接電阻網絡制作相對應的電路板，不僅受到實驗耗材的限制，電阻數量即離散程度有限，而且大量的測量工作易產生誤差。而基于Tina-II電路仿真軟件的模擬計算，不受限于模型的改變，可以根據需要自由搭建電路，實現多種模型及工況下的測量計算。且可實現更大離散度下的模擬計算。

（3）采用數值求解計算的理論結果與Tina-II 的模擬結果幾乎一致。二者均受到計算機性能的限制，但基于Tina-II模擬的計算量遠遠小于迭代法的計算量，在結果相差無幾的情況下，應用Tina-II 模擬可以大大節省時間成本。

4 傳熱學熱電比擬實驗教學模式初探

實驗是認知科學規律的重要手段，實驗教學在雙一流建設人才培養中占有重要的戰略地位［13-15］。傳熱學熱電比擬實驗是應用熱電相似原理的一個經典實驗，基于以上研究結果，針對目前熱電比擬實驗教學中存在的實驗對象單一，缺乏學生自主設計環節等不足，同時結合傳熱學熱電比擬實驗獨有的“類比法”教學特色，構建了基于Tina-II電路仿真軟件的傳熱學熱電比擬實驗“三層階梯式”教學模式，在基礎環節，掌握經典二維墻角導熱問題采用熱電比擬方法的基本原理以及邊界條件的處理方法，在綜合環節借助電路仿真軟件模擬搭建二維墻角問題模型，并將仿真模擬結果與基于Matlab的數值求解結果（理論課教學中的大作業）、熱電比擬實驗結果進行對比分析研究。在自主設計環節通過查閱文獻等方式，學生自主選擇感興趣的導熱問題，建立物理模型，采用電路仿真軟件搭建測量電路，認識不同導熱問題的傳熱規律。以期通過多環節的實驗教學流程及內容設計，改進現有傳熱學熱電比擬實驗教學模式。具體設計思路如圖15 所示。

圖15 傳熱學電模擬實驗“三層階梯式”實驗教學模式設計思路

5 結 語

由于導熱與導電問題高度的相似性，熱電比擬是目前解決大部分導熱問題的一個經典方法，但針對各個導熱問題設計的電路模型不可通用，即每一種電路模型只能實現一種導熱問題的模擬。本文利用Tina-II

電路仿真軟件模擬了兩種邊界條件下的二維墻角問題，并將模擬結果與應用數值法求解獲得的理論結果、熱電比擬實驗結果進行了對比分析，結果表明誤差極小，能夠較完美地實現電路板的模擬效果。

在此研究的基礎上，本文構建了基于電路仿真軟件的傳熱學熱電比擬實驗“三層階梯式”教學模式，以期在加深對“類比法”理解的基礎上，達到拓寬學生思維，提高學生自主學習能力和解決問題能力的目的。

·名人名言·

只有知識才是力量，只有知識能使我們誠實地愛人，尊重人的勞動，由衷地贊賞無間斷的偉大勞動的美好成果；只有知識才能使我們成為具有堅強精神的、誠實的、有理性的人。

——高爾基