基于3階模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子及其應(yīng)用

方世林，鄧勝岳，吳海燕

（1.湖南理工學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 岳陽 414006；2.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007；3.株洲市第二中學(xué)，湖南 株洲 412007）

0 引言

多屬性群決策作為現(xiàn)代決策科學(xué)的重要分支，一直是決策理論的研究熱點(diǎn)[1]。信息集成技術(shù)是目前處理多屬性決策問題的主要技術(shù)手段之一，也是決策理論與實(shí)踐中的關(guān)鍵問題。因此，國內(nèi)外許多專家學(xué)者針對決策信息集成的問題進(jìn)行了較深入的研究，獲得了一系列的研究成果。T.L.Saaty[2]于1980年首次提出并研究了加權(quán)幾何算子。Xu Z.S.等[1,3-5]先后定義并研究了直覺模糊混合幾何算子、最大和最小有序加權(quán)幾何算子、直覺模糊有序加權(quán)幾何算子等多屬性決策方法。Chen S.M.等[6]構(gòu)建了基于直覺模糊數(shù)和直覺模糊幾何平均算子變換技術(shù)的多屬性模糊決策方法。此外，針對實(shí)際決策環(huán)境的不同，專家們也提出了一些新穎的多屬性決策方法和技術(shù)[7-9]。然而，以上研究工作的決策數(shù)據(jù)處理技術(shù)，均建立在矩陣分析理論的基礎(chǔ)上。由于實(shí)際模糊多屬性群決策中決策信息的模糊性和復(fù)雜性、決策數(shù)據(jù)規(guī)模的高維性，上述方法難以高效地處理此類問題。自 Qi L.Q.[10]與Lim L.H.[11]分別獨(dú)立提出了張量特征值和張量特征向量的概念，進(jìn)而吸引了許多專家從事張量理論及應(yīng)用的研究。張量作為矩陣的推廣具有高階多維的特征，能將高維數(shù)據(jù)表示成非常簡潔的形式；通俗來講向量是一階張量、矩陣是二階張量，并且高階張量能有效且簡潔地解決具有高維數(shù)據(jù)特征的各類實(shí)際應(yīng)用問題，如量子計(jì)算、圖像降噪、晶體聚類等。

為了解決上述具有高維數(shù)據(jù)特征的多屬性群決策問題，本文在已有研究成果的基礎(chǔ)[12-14]上，定義了3階模糊張量的一般形式，建立了基于3階模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子，探索了該算子的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而提出了以廣義加權(quán)幾何算子為核心的決策方法，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 預(yù)備知識

本節(jié)將簡要介紹3階模糊張量的一般形式、運(yùn)算法則以及相關(guān)性質(zhì)，并規(guī)定文中將要涉及的符號。

F表示論域U上的模糊集合，F(xiàn)n表示n維模糊向量，[n]={1, 2, …,n} ，TF(3,n1×n2×n3)表示3階模糊張量集合。

2 基于三階模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子

本節(jié)將利用數(shù)學(xué)歸納法證明定義4中表達(dá)式的正確性，并給出定理1。此外，探索廣義加權(quán)幾何算子的基本性質(zhì)，為后續(xù)算法設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

ⅱ）若n3=K3+1，則有

ⅲ）若n2=K2+1，n3=K3+1，則有

綜上所述，對任意的n2,n3，等式（2）成立。

性質(zhì)1定理1的集成值是n1維的模糊向量。

證明根據(jù)定理1，有

因此，定理1的計(jì)算值為n1維的模糊向量。

且i1∈[n1]，則有

由定理1可知，廣義加權(quán)幾何算子第i1個分量有關(guān)系式

3 算法

本節(jié)將利用基于3階模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子設(shè)計(jì)算法，為解決多屬性決策問題提供一種新的方法，該算法具體如下：

步驟1將決策數(shù)據(jù)的模糊矩陣表示法轉(zhuǎn)換為3階模糊張量的表示；

步驟2根據(jù)定理1的結(jié)論，利用廣義加權(quán)幾何算子（GWG），將模糊張量表示的決策數(shù)據(jù)（i1∈[n1]，i2∈[n2]，i3∈[n3]）進(jìn)行數(shù)據(jù)集成，從而獲得與備選方案對應(yīng)的模糊數(shù)值；

步驟3根據(jù)步驟2的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)行模糊數(shù)排序，進(jìn)而得到最優(yōu)的排序方案。

4 數(shù)值算例

本節(jié)采用文獻(xiàn)[15]中的例題作為算例來說明本文所提方法的可行性。

表1 決策者D1的標(biāo)準(zhǔn)決策矩陣R1Table 1 Standardized decision matrix R1 for decision maker D1

表2 決策者D2的標(biāo)準(zhǔn)決策矩陣R2Table 2 Standardized decision matrix R2 for decision maker D2

表3 決策者D3的標(biāo)準(zhǔn)決策矩陣R3Table 3 Standardized decision matrix R3 for decision maker D3

利用本文的算法求解該問題，具體步驟如下。

步驟1利用3階模糊張量表示表1～3的數(shù)據(jù)，即其中(i1=1, 2, 3,4, 5)表示5個備選方案，(i2=1, 2, 3)表示3個決策者，(i3=1, 2, …, 8)表示8個屬性。

數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換如下：

因此，本算例的最佳備選方案是b4。

5 結(jié)語

3階模糊張量作為高階模糊張量的基礎(chǔ)表示形式，是研究高階模糊張量性質(zhì)和特征的基礎(chǔ)。本文著重研究了3階模糊張量的一般形式，建立了基于3階模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子，探索了廣義加權(quán)幾何算子的相關(guān)性質(zhì)，提出了基于3階模糊張量的多屬性決策方法，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文所提方法的可行性。

數(shù)值算例的研究結(jié)果表明：

1）本文所提方法的計(jì)算結(jié)果同文獻(xiàn)[15]的最佳備選方案結(jié)果一致，說明本文所提方法能夠解決多屬性群決策問題。

2）與文獻(xiàn)[15]相比，本文所提方法的模型建立和計(jì)算過程更為簡潔。

3）文獻(xiàn)[12]和[14]沒有涉及基于模糊張量的廣義加權(quán)幾何算子的研究，而本文所提方法恰好是文獻(xiàn)[12]和[14]的補(bǔ)充。