具有外部干擾的離散時間多智能體系統包含控制

劉東南，李博凡，李 玲

（1.湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007；2.湖南鐵路科技職業技術學院 鐵道供電與電氣學院，湖南 株洲 412006）

1 研究背景

近年來，高階離散時間多智能體系統（multi-agent systems，MAS）的分布式協同控制引起了學者們的廣泛關注。一致性是分布式協同控制問題中的一個基礎問題，即使智能體間達成一種共同狀態。學者們在同步、群集、編隊等方面，關于一致性的研究成果[1-6]較多。

根據領導者的數量，一致性可以分為無領導者一致性、跟隨領導者一致性和包含控制。所謂包含控制是指網絡中所有跟隨者漸近進入到網絡中的多個領導者所形成的凸包之中。由于包含控制在許多領域都具有良好的應用前景，受到了許多學者們的關注。Cao Y.C.等[7]研究了在不同拓撲下具有多個靜態或動態領導者的MAS的分布式包含控制。Liu H.Y.等[8]通過連續控制和采樣控制，分別研究了MAS 的包含控制，并得到了包含達到的充要條件。Li Z.K.等[9]在有向拓撲的條件下，研究了一般線性MAS的干擾抑制問題，提出了狀態反饋協議和基于觀測器的協議。M.Asgari等[10]考慮了在有向拓撲下具有固定時間延遲的異構MAS的包含性。Liu H.Y.等[11]研究了基于采樣數據的分數階MAS包含控制。Wang Y.W.等[12]通過脈沖控制，研究了異源多智能體系統的輸出編隊包含性問題。

此外，在近年內，關于離散時間MAS的包含控制問題，學者們也進行了大量研究，取得了較多的成果。Ma Q.等[13]研究了離散時間MAS的包含控制問題，并在所提出的協議下得到了低保守的充要條件。Wang D.等[14]利用z變換研究了具有時滯的離散時間MAS的包含性。Zhao Z.Y.等[15]研究了具有執行器位置和速率飽和的離散時間MAS的半全局包含控制。

干擾常常存在于各類系統中，是系統不穩定的重要因素。因此，研究具有干擾的多智能體系統協調控制具有重要意義，對具有外部干擾的多智能體系統的研究尤為重要。Guo L.等[16]提出了基于干擾觀測器（disturbance observer，DO）的控制方法，以穩定具有外部干擾的非線性系統。Yang H.Y.等[17]提出了求解具有外部干擾的二階MAS的一致性問題的方法。Xu C.J.等[18]利用DO技術研究了具有外部干擾的連續時間MAS的包含控制問題。

目前，已有的包含控制研究主要是針對連續時間多智能體系統的。在上述文獻的啟發下，本文研究具有外部干擾的離散時間線性MAS的包含控制。

2 模型介紹和預備知識

設圖G=(V,E,A)表示一個網絡拓撲，它包括一組節點V={1, 2, …,N+M}，一組邊EV×V，以及相鄰矩陣A=[aij]。對于有向圖，aij>0(j,i)∈E，即j向i發送信息；對于無向圖，aij>0，即j不僅向i發送信息，而且還接收來自i的信息。Ni={j|(j,i)∈E}是第i個節點的鄰居集。

L=D-A=[lij]是拉普拉斯矩陣，式中D=，所以lii=，lij=-aij（i≠j）。

設∑1={1, 2, …,N}和∑2={N+1,N+2, …,N+M}分別為追隨者和領導者集合，即追隨者和領導者的編號分別記為1, 2, …,N和N+1,N+2, …,N+M。追隨者之間的網絡拓撲是無向的，領導者和每個追隨者之間的拓撲是有向的。因此，L可以重寫為

式中：L1為跟隨者所對應的Laplacian矩陣子塊；

L2為跟隨者與領導者間鄰接關系所對應的Laplacian矩陣子塊。

第i個跟隨者的動力學方程描述為

第i個領導者的動力學方程描述為

式（1）～（2）中：xi、ui、di分別為第i個智能體的狀態、控制輸入、外部干擾，且xi∈Rn、ui∈Rm、di∈Rm；

A、B都為常數矩陣，且A∈Rn×n、B∈Rn×m。

設干擾ωi(t)（i= 1, 2, …, N）由外部系統（3）所生成，

式中：ωi為外部系統的狀態，且ωi∈Rl；

S、F都為干擾系統的矩陣，且S∈Rl×l，F∈Rm×l。

定義1[18]設C是Rn的子集，如果C中的任何x和y以及任何α∈[0,1]，滿足(1-α)x+αy∈C，則集合C稱為凸集。一個點集X={x1,x2, …,xn}的凸包是指包含X中所有點的最小凸集，X的凸包記為Co(X)。

假設1假設追隨者之間的連邊是無向的，對于每個跟隨者，至少有一個領導者有指向該跟隨者的定向路徑。

假設2假設矩陣對(A,B)是穩定的。

引理1[18]若假設2成立，則存在唯一的正定矩陣P，滿足改進的代數里卡提（Ricatti）方程

引理2[14]若假設1成立，則L1是正定的，矩陣-L1-1L2中的每一項都是非負的，且矩陣每一行的和都為1。

3 基于干擾觀測器的狀態反饋包含控制

本章先提出基于干擾觀測器（DO）的分布式狀態反饋包含控制協議，然后給出包含達到的條件。

依賴于狀態的離散時間干擾觀測器為

式中：vi為觀測器的內部狀態變量，vi∈Rl；

H為觀測器的增益矩陣，H∈Rl×n。

注1由于網絡中的智能體無法獲得干擾的信息，智能體必須估計外部干擾的值。

由式（5）構造離散干擾觀測器來估計干擾。

根據式（1）和式（5），有

定義δi=ωi-，由式（3）和式（5），得

基于分布式DO的狀態反饋包含控制協議構造如下：

式中K是要設計的增益。

注2包含協議由兩部分構成，即包含協議依賴于ωi的估計值和局部相關信息。

令

則

定理1若假設1和假設2成立，在基于離散時間DO狀態反饋包含協議（8）下，

P>0是代數里卡提方程（4）的唯一解，λ1是L1的最小特征值；S+HBF是舒爾（Schur）穩定的。則系統（1）可以實現包含控制，而且

證明令

根據L的定義，有

根據式（9）和式（10），有

因此，誤差系統可以改寫為

根據引理2，若假設1成立，則L1是正定且非奇異的，從而得λi>0（i=1, 2, …,N）。

對于離散時間系統x(k+1)=(A+λ1BK)x(k)，，選擇離散時間李雅普諾夫函數為V(k)=xT(k)Px(k)，其中P是改進的離散時間代數里卡提方程的唯一解，則有

當k→∞時，V(k)→0，因此A+λ1BK是Schur穩定的。于是可以得出結論：對于i=2, 3, …,N，A+λiBK是Schur穩定的。從而得到INA+L1BK是Schur穩定的。

另一方面，S+HBF是Schur穩定的，因此INA+L1BK和S+HBF都是Schur穩定的，從而誤差系統（12）為Schur穩定的。

當t→∞時，δ(k)→0，e(k)→0，則xF→根據引理2，-L1-1L2每一行的和等于1。再由定義1知，-(L1-1L2In)xL在由領導者和干擾觀測器漸近收斂于0的誤差所張成的凸包里，所以定理1成立。

注3當di(k)=0時，不妨設F=0，此時=0。包含控制協議（8）依已有多智能體系統（4）達到包含，相關結果見式（13），系統（1）～（2）具有如下形式：

注4當領導者個數為1時，包含控制問題轉化為一般性問題，系統（1）～（2）具有如下形式：

此時假設1退化為全局可達。相應地，由定理1及其證明可得如下推論1。

推論1在假設1和假設2成立的條件下，多智能體系統（15），在干擾觀測器（5）的作用下可達到一致。

4 數值仿真

本章通過數值模擬來驗證前述理論的正確性。

設多智能體系統由6個追隨者和3個領導者組成，其拓撲結構如圖1所示。

圖1 多智能體系統的拓撲結構圖Fig.1 Topological graph of the multi-agent system

選擇系統矩陣A、B、C、D、F和S如下：

從而可得以下動態方程：

若i∈F，

若i∈L，

易證(A,B)是穩定的。S的特征值為1.030 3和0.669 7，這表明S不是Schur穩定的。

選擇增益矩陣

則A+DC的特征值為-0.988 1和0.198 1，S+HBF的特征值為0.997 3和0.708 7，從而A+DC和S+HBF都是Schur穩定的，因此滿足定理1的條件。根據Ricatti代數方程（4），有如下正定矩陣：

矩陣P的最大特征值λmax(P)=6.003 6，根據拉普拉斯矩陣，可得λ1=1.615 3，可以獲得相應的控制器（8），其中

對應的領導者和跟隨者的運動軌跡仿真結果如圖2所示。

圖2 基于DO的狀態反饋包含控制仿真結果圖Fig.2 DO-based simulation diagram of state feedback containment control

由圖2可知，所有追隨者都聚集在由領導者所張成的凸包內。

5 結語

本文研究了具有外部干擾的離散時間高階MAS的包含控制，利用基于對狀態信息的干擾觀測器，提出了相應的包含控制協議，不僅有效抑制了干擾，同時還能使系統達到包含。利用李雅普諾夫方法對系統的穩定性進行分析，得到了包含達到的充分條件。最后通過數值模擬驗證了理論結果的正確性。