一類二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的通解

鄧瑞娟，崔洪瑞

1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 蕪湖 241003；2.廣東藥科大學(xué)醫(yī)藥商學(xué)院，廣東 廣州 510006

0 引言

線性微分方程是微分方程的重要組成部分，在生產(chǎn)實際中應(yīng)用極其廣泛.因此，如何尋找線性微分方程的通解，成為求解很多數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵步驟.自微積分創(chuàng)立以來，對線性微分方程通解的研究幾乎就沒有停止過，也得到了很多有意義的結(jié)論，但大多數(shù)的研究主要是圍繞常系數(shù)情形展開的[1～3].

除了常系數(shù)的情形之外，變系數(shù)線性微分方程在動力學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)中也是很常見的.其通解雖不易求，但也有一些結(jié)論出現(xiàn)[4,5].其中，文獻[4]討論了形如

y″+p(x)y′+q(x)y=0

(1)

的二階變系數(shù)齊次線性微分方程.文中指出

為(1)式特解的充要條件為

(2)

成立.同時，(1)式通解可表達為

(3)

其中C1、C2為任意常數(shù).但是文獻[4]中對于非齊次的情形未予討論.

本文旨在文獻[4]的基礎(chǔ)之上，運用常數(shù)變易法給出非齊次情形下微分方程的通解，并將結(jié)果推廣至二階歐拉方程.

1 二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的通解

二階變系數(shù)非齊次線性微分方程形如

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)

(4)

其中p(x)、q(x)、f(x)為連續(xù)函數(shù)，其對應(yīng)的齊次方程即為(1)式.

運用高階常數(shù)變易法[6]，令

(5)

y1和y2是方程(1)的基本解組，因此，Y(x)=c1y1+c2y2為齊次方程(1)的通解.現(xiàn)只需確定未知函數(shù)v1，v2，使(5)式滿足非齊次方程(4)，即可得到對應(yīng)的非齊次情形的通解.將(5)式代入原方程，可得v1，v2滿足如下方程組.

因此，非齊次方程(4)的通解可總結(jié)為下述定理.

定理1 若存在常數(shù)λ(λ≠0,1)，使得方程(4)的系數(shù)p(x)、q(x)滿足(2)式，則方程(4)的通解可表示為

(6)

其中

當(dāng)W=y1y2′-y2y1′≠0時，

為上述方程所對應(yīng)的齊次方程的兩個特解，而

代入(6)式可得方程通解

其中C1、C2為任意常數(shù).

2 二階歐拉方程的通解

歐拉方程是描述流體運動的最重要的方程之一，由著名數(shù)學(xué)家歐拉首先提出，后廣泛應(yīng)用于動力學(xué)、彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)、金融投資等眾多領(lǐng)域[7～10].因為是變系數(shù)線性微分方程，求解較為困難.本文將定理1運用于二階歐拉方程，得出當(dāng)歐拉方程的系數(shù)滿足一定條件時的求解公式.

推論1 對于二階歐拉方程x2y″+axy′+by=g(x)(a≠0，g(x)為連續(xù)函數(shù))，若存在不為0或1的常數(shù)λ，使得

(a+b)λ2+(a2-2b-a)λ+b=0

(7)

則方程的通解為

(8)

證明 對二階歐拉方程兩邊同時除以x2，可將歐拉方程轉(zhuǎn)換為方程(4)的形式

(a+b)λ2+(a2-2b-a)λ+b=0

當(dāng)λ≠0,1時，運用定理1，可知方程有形如(6)式的通解，將p(x)、f(x)代入，可得

當(dāng)a=0時，可驗證必有λ=1，因此需排除此情況.證畢.

特別地，當(dāng)b=0，a≠0,1時，可求得λ=1-a.于是，可得如下推論2.

推論2 對于二階歐拉方程x2y″+axy′=g(x)(a≠0,1，g(x)為連續(xù)函數(shù))，則方程通解為

其中

例2 求方程x2y″+2xy′-12y=7x4方程的通解.

解 將a=2,b=-12代入(7)中，有-10λ2+26λ-12=0.取λ=2，于是

可得

W=x-2≠0v1′=-x7v2′=7

于是，上述方程的通解為

例3 求方程x2y″-2xy′=x4-2x2的通解.

解 由推論2可知，b=0，a=-2，則

得通解為

例3也可通過設(shè)u=y′，用降階方法求解.但是運用推論2的結(jié)論更為簡單便捷.

3 結(jié)語

變系數(shù)非齊次微分方程應(yīng)用廣泛，但結(jié)果難求.通過運用常數(shù)變易法，將文獻[4]中的結(jié)果推廣至非線性情形，得出相應(yīng)通解公式，完善了文獻[4]中相關(guān)結(jié)論；歐拉方程一般的求解思路是使用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性微分方程求解，本文則給出了另一種求解思路，運用定理1結(jié)論給出了相應(yīng)的求解公式，該方法對系數(shù)限制較小，求解過程簡單，適用范圍廣.