大跨度橋梁鋼-混疊合梁的彎曲波傳播特性

黃繼榮，馬牛靜，王榮輝，樸瀧

(1.廣州市中心區(qū)交通項(xiàng)目管理中心，廣州510000；2.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州510640)

1 引言

鋼-混疊合梁是將鋼梁與混凝土板通過剪力釘連接而成的組合梁結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)能充分發(fā)揮鋼與混凝土材料的性能，較鋼筋混凝土梁自重大大減輕，而較純鋼梁節(jié)省鋼材并增加整體剛度，同時(shí)因其整體性好，施工方便，從而在大跨度橋梁中得到廣泛的應(yīng)用。

大跨度橋梁長期承受車輛沖擊荷載，沖擊荷載作用下，力在結(jié)構(gòu)體系中以應(yīng)力波的形式傳播[1，2]。在橋梁工程領(lǐng)域，應(yīng)力波傳播問題的研究非常少，結(jié)構(gòu)振動(dòng)前期響應(yīng)未能引起重視。對(duì)于跨度幾百米乃至千米級(jí)的復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)來說，應(yīng)力波傳播至整個(gè)結(jié)構(gòu)時(shí)，荷載源作用的位置或者大小就發(fā)生改變，此時(shí)結(jié)構(gòu)中某些主要承重構(gòu)件尚未發(fā)揮全部作用，這反映了結(jié)構(gòu)體系傳遞動(dòng)應(yīng)力效率較低，因此，對(duì)大跨度橋梁中主梁傳力機(jī)理進(jìn)行研究有重要的工程意義。關(guān)于梁的沖擊動(dòng)力學(xué)研究由來已久，多年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者已對(duì)不同梁的形式與波的種類做了大量的應(yīng)力波傳播研究工作，主要分為常規(guī)的均質(zhì)材料梁[3,4]、復(fù)合材料層合梁[5-7]、變截面梁以及折梁[8]。隨著鋼-混疊合梁在橋梁工程中日趨廣泛的應(yīng)用，對(duì)其應(yīng)力波傳遞規(guī)律進(jìn)行研究，不僅在理論上對(duì)傳統(tǒng)橋梁結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深化，而且有助于拓寬人們對(duì)疊合梁結(jié)構(gòu)沖擊動(dòng)力破壞現(xiàn)象及機(jī)理的理解與認(rèn)識(shí)，為疊合梁的工程設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供依據(jù)。

2 疊合梁的波動(dòng)方程

2.1 等截面均質(zhì)梁中的彎曲波傳播

對(duì)于等截面均質(zhì)梁，根據(jù)Timoshenko梁理論，梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，ρ、E、G、A、I分別為梁材料的密度、彈性模量、剪切模量、截面面積和極慣性矩；κ為剪力修正系數(shù)；w(x,t)為梁的橫向位移；φ(x,t)為由截面彎矩引起的轉(zhuǎn)角；?w(x,t)/?x-φ(x,t)為截面剪力引起的轉(zhuǎn)角。

將式（1）和式（2）寫成波動(dòng)方程的形式為：

假設(shè)波動(dòng)方程式（3）和式（4）解的形式為時(shí)間與空間變量的乘積，即：

式中，w是彎曲波的圓頻率；k是波數(shù)；x為質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)；t為時(shí)間；w0為橫向位移的幅值；φ0為轉(zhuǎn)角幅位。

將式（5）和式（6）代入波動(dòng)方程（3）和式（4），可得方程的解[9]：

式（7）反映了頻率與波數(shù)的關(guān)系，即彎曲波的彌散關(guān)系。可以看出，有兩對(duì)波數(shù)，其中一對(duì)為實(shí)數(shù)，另一對(duì)可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。截止頻率為：

當(dāng)ω＜ωc時(shí)，波數(shù)k有2個(gè)純實(shí)根和2個(gè)純虛根，分別對(duì)應(yīng)于近場(chǎng)波與彎曲波；相反地，當(dāng)ω＞ωc時(shí)，波數(shù)k的4個(gè)根是2對(duì)互為相反數(shù)的純虛根，即有2類不同性質(zhì)的波同時(shí)存在，這是因?yàn)殡S著頻率升高，波長逐漸縮短，由彎曲變形占主導(dǎo)的近場(chǎng)波轉(zhuǎn)變?yōu)橛杉羟凶冃握贾鲗?dǎo)的一階剪切波。

Timoshenko梁彎曲波的通解為：

式（9）、式（10）中，a1+為正向彎曲波幅位；a1-為負(fù)向彎曲波幅位；a2+為正向近場(chǎng)波幅位；a2-為負(fù)向近場(chǎng)波幅值。

式中，k1和k2分別為傳播波與近場(chǎng)波的波數(shù)，即：

根據(jù)式(9)和式(10)，可將Timoshenko梁的彎矩和剪力表示為：

2.2 疊合梁中的應(yīng)力波傳播

2.2.1 梁中的彎曲波傳播

橋梁工程中，車輛荷載作用下的主梁以承受彎矩為主，因此，研究彎曲波在梁中的傳播規(guī)律尤為重要，本文討論彎曲波在簡(jiǎn)支梁中的傳播情況，車輛沖擊產(chǎn)生的梁內(nèi)彎矩作用可視為2.1節(jié)所述的彎曲波，其對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)位移為w(x，t)和φ(x，t)，該彎曲波以波速c在梁中傳播。

如圖1所示長度為L=L1+L2的簡(jiǎn)支梁，在梁的x=L1位置，有一初始入射彎曲波向梁的兩端傳播，即幅值與頻率均相同的左行彎曲波FW-和右行彎曲波FW+，傳播至兩端時(shí)分別產(chǎn)生反射波FWr-與FWr+，其在邊界處的質(zhì)點(diǎn)位移反射率為-1，反射波又繼續(xù)沿著梁分別向x軸正向與反向傳播，以此方式不斷進(jìn)行。

圖1 簡(jiǎn)支梁中彎曲波傳遞示意圖

如圖2所示，入射波FW-的波陣面需歷時(shí)t1=L1/c抵達(dá)x=0處，入射波FW+的波陣面需歷時(shí)t2=L2/c抵達(dá)x=L處，反射波FWr-與FWr+的波陣面將在t3=(L1+L2)/c時(shí)再次相遇。

圖2 彎曲波陣面?zhèn)鬟f示意圖

若初始入射彎曲波作用于跨中，即L1=L2，入射波FW-與FW+的波陣面同時(shí)抵達(dá)梁端x=0與x=L處，在端部反射后，反射波FWr-與FWr+的波陣面又同時(shí)抵達(dá)跨中，并繼續(xù)傳播至端部，再次反射后，反射波將再次在跨中相遇，按此過程不斷重復(fù)，跨中受力最不利。

若L1＜L2，入射波FW-的波陣面首先抵達(dá)x=0處所需的時(shí)間t1小于入射波FW+的波陣面首先抵達(dá)x=L處所需的時(shí)間t2，反射波FWr-與FWr+的波陣面在x=L2處再次相遇時(shí)，F(xiàn)Wr-傳播的距離為L2，F(xiàn)Wr+傳播的距離為L1，反射波FWr-與FWr+又繼續(xù)傳播至端部并再次反射后，2個(gè)反射再次相遇發(fā)生在x=L1處，按此過程不斷重復(fù)，梁受力最不利的位置分別是距離端部x=0和x=L為L1處，即x=L1和x=L2位置。

同樣地，對(duì)于L1＞L2，可類似地進(jìn)行分析。

2.2.2 疊合梁中的彎曲波傳播

對(duì)于橋梁工程中的鋼-混疊合梁（見圖3），可將鋼梁和混凝土板視為雙層梁?jiǎn)卧瑑烧咧g通過剪力釘連接，在初始入射彎曲波作用下，由于剪力釘?shù)淖饔茫v向位移協(xié)調(diào)，即雙層梁之間縱向不產(chǎn)生相對(duì)位移。此外，雙層梁之間共同彎曲，整體滿足平截面假定，因此，各個(gè)截面的豎向位移一致。雙層梁的計(jì)算模型可簡(jiǎn)化為如圖4所示的梁1和梁2組成的疊合梁，該疊合梁的整體彎曲波波動(dòng)方程如式（3）和式（4）所示，其中的材料與幾何參數(shù)可由雙層梁進(jìn)行等效換算。

圖3 鋼-混疊合梁示意圖

圖4 疊合梁計(jì)算模型

根據(jù)復(fù)合材料梁的力學(xué)特性分析[10]，鋼-混疊合梁的等效彈性模量為：

2.單義性：科技英語的詞匯意義比較專一、穩(wěn)定，特別是對(duì)于某一特定專業(yè)或分支，其詞義狹窄，形態(tài)單一，定義時(shí)盡可能避免同形異義或同義異形現(xiàn)象。

式中，E1、E2分別為混凝土板與鋼梁的彈性模量；I1、I2分別為混凝土板與鋼梁截面至疊合梁整體中性面的慣性矩。

同樣地，疊合梁的其他材料與幾何參數(shù)可據(jù)此得到。

對(duì)于圖4長為L=L1+=L2的簡(jiǎn)支疊合梁，入射彎曲波作用于x=L1位置，二者之間需滿足邊界條件如下：

式中，w、M、V分別由式（9）、式（15）、式（16）所得。

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合2.2.1節(jié)的分析過程，可以求得疊合梁中的彎曲波傳播規(guī)律。

3 工程實(shí)例分析

大跨度橋梁中的疊合梁應(yīng)用比較廣泛，為了能夠直觀地反映疊合梁結(jié)構(gòu)在沖擊作用下的彎曲受力機(jī)理，本文以新建洛溪大橋疊合梁為實(shí)例，分析彎曲波作用下的疊合梁受力情況。以洛溪大橋一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)梁段12 m為分析對(duì)象，疊合梁的截面形式如圖3所示。具體參數(shù)為：預(yù)制橋面板采用C60混凝土，橋面板厚250 mm；鋼梁為箱形截面，采用Q345qD鋼板，內(nèi)、外側(cè)腹板間距為1 500 mm，內(nèi)、外腹板高度分別為2 111.8 mm和1 888.3 mm，厚度為14 mm，頂板截面尺寸為1 650 mm×16 mm，底板截面尺寸為1 650 mm×24 mm；橋面板通過φ22 mm圓柱頭焊釘與鋼梁連接。

為了解截面尺寸的影響，橋面板厚度分別考慮200 mm、250mm、300mm，疊合梁的彎曲波彌散關(guān)系分別如圖5～圖7所示。

圖5 疊合梁中波的彌散關(guān)系（橋面板厚200 mm）

圖6 疊合梁中波的彌散關(guān)系（橋面板厚250 mm）

另外，圖5～圖7表明，隨著疊合梁橋面板的厚度增加，波的彌散關(guān)系曲線變得更加扁平，且截止頻率逐漸增加，這反映出加厚橋面板不僅可以增加疊合梁整體剛度，而且可以近場(chǎng)波的頻率范圍，同時(shí)使得單位長度梁內(nèi)的波數(shù)減少。

圖7 疊合梁中波的彌散關(guān)系（橋面板厚300 mm）

考慮車輛沖擊作用產(chǎn)生的彎曲波以3 500 m/s的速度進(jìn)行傳播，重車輪載140 kN分別作用于1/8跨、1/4跨，最大彎曲應(yīng)力截面及傳播時(shí)間分別見表1與表2。

表1 重車輪載作用于1/8跨時(shí)的彎曲波傳播情況

表2 重車輪載作用于1/4跨時(shí)的彎曲波傳播情況

由表1與表2可以看出，沖擊荷載作用的截面及與跨中對(duì)稱的截面為最大的彎曲應(yīng)力截面，但由于彎曲波傳播在梁內(nèi)有一個(gè)傳播的過程，因此，根據(jù)2.2.1節(jié)的彎曲波傳播分析可知，2個(gè)截面的最大應(yīng)力產(chǎn)生的時(shí)間差為3.43 ms，對(duì)于其他的沖擊作用下的彎曲波傳播情況可以類似地進(jìn)行分析。

4 結(jié)語

針對(duì)工程中常用疊合梁在沖擊荷載作用下的彎曲波傳播規(guī)律進(jìn)行理論及數(shù)值分析，考慮橋面板與鋼梁的耦合效應(yīng)，利用Timoshenko梁理論分析疊合梁的彎曲波，得到以下結(jié)論：

1）在Timoshenko梁的彎曲波理論中，近場(chǎng)波表現(xiàn)為各點(diǎn)同向的振動(dòng)，而剪切變形打的考慮則使得彎曲變形減小，這樣，部分能量便以剪切變形的形式存在。

2）隨著疊合梁橋面板的厚度增加，波的彌散關(guān)系曲線變得更加扁平，且截止頻率逐漸增加。這反映出加厚橋面板不僅可以增加疊合梁整體剛度，而且可以近場(chǎng)波的頻率范圍，同時(shí)使得單位長度梁內(nèi)的波數(shù)減少。

3）沖擊荷載作用的截面及與跨中對(duì)稱的截面為最大的彎曲應(yīng)力截面，但由于彎曲波傳播在梁內(nèi)有一個(gè)傳播的過程，因此，兩個(gè)截面的最大應(yīng)力產(chǎn)生有一個(gè)時(shí)間差。