各向異性應(yīng)力條件下大變形柱孔擴(kuò)張彈塑性解析解

李雪苑

(中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，北京102600)

1 引言

經(jīng)典孔擴(kuò)張理論的研究未考慮初始應(yīng)力各向異性對擴(kuò)張機(jī)理的影響，對此Galin[1]、Detournay[2]引入了復(fù)變函數(shù)理論和保角變換技術(shù)，并分別推導(dǎo)了應(yīng)力和彈塑性邊界（EP Boundary）的解析解。進(jìn)而，周航[3]及Zhuang等[4]等在此基礎(chǔ)上，分別推導(dǎo)了雙軸應(yīng)力下基于Tresca準(zhǔn)則和摩爾-庫倫準(zhǔn)則的半解析解，但基于摩爾-庫倫準(zhǔn)則的解答并未建立起完整的應(yīng)力-位移關(guān)系。綜上，有必要對基于摩爾-庫倫準(zhǔn)則的應(yīng)力各向異性柱孔擴(kuò)張問題進(jìn)行分析，建立完整的大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系。

2 問題定義

圖1 為雙軸應(yīng)力場下柱孔在無限不可壓縮土體中擴(kuò)張的理論模型，定義σa為孔所受內(nèi)壓力；σ0為初始豎向應(yīng)力；K為各向異性應(yīng)力系數(shù)。

圖1 雙軸應(yīng)力場中的柱孔擴(kuò)張模型

引入理論假設(shè)：孔的擴(kuò)張近似視為平面應(yīng)變問題；土的彈性區(qū)服從小應(yīng)變條件，塑性區(qū)服從大應(yīng)變條件；孔的邊界由徑向位移條件控制；土的變形以徑向位移為主，塑性區(qū)形狀保持不變。

3 服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的彈塑性解

Galin指出，當(dāng)理想彈塑性介質(zhì)因孔的擴(kuò)張形成完全包圍孔的閉合塑性區(qū)時(shí)，孔的擴(kuò)張可視為彈、塑性區(qū)的邊值問題。

3.1 塑性區(qū)應(yīng)力

對服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的柱孔擴(kuò)張問題，定義以下變量：

式中，c為土的有效黏聚力；φ為內(nèi)摩擦角。Kp、Y、δ為內(nèi)摩擦角φ的相關(guān)參數(shù)；p∞為初始平均應(yīng)力；Sp為初始平均應(yīng)力及內(nèi)摩擦角的相關(guān)參數(shù)。

忽略體力分量，聯(lián)立土體平衡條件、屈服準(zhǔn)則及應(yīng)力邊界條件，可得塑性區(qū)應(yīng)力分量表達(dá)式：

式中，σr，σθ為極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量；a為擴(kuò)張后的孔半徑；r為極坐標(biāo)系下的徑向變量；σa為徑向孔內(nèi)壓。

3.2 保角變換方程及彈塑性邊界

對彈性區(qū)的邊值問題，可采用Kolosov-Muskhelishvili提出的復(fù)變勢函數(shù)及保角映射方程通用形式求解彈塑性邊界映射方程：

式（4）～式（7）中，w(ξ)為保角映射函數(shù)；λ、β為映射方程的系數(shù)；ξ為像平面內(nèi)的復(fù)變量；τ∞為初始平均剪應(yīng)力；χ為映射參數(shù)；，ξp、，ξp分別為彈塑性邊界在像平面內(nèi)的空間復(fù)變量及其共軛變量，彈塑性邊界在像平面內(nèi)為單位圓，因此有ξpξp=1。

則物理平面內(nèi)塑性區(qū)半徑可以表示為：

式中，rb為彈塑性邊界在物理平面中的半徑；w(ξ)為w(ξ)的共軛變量。

3.3 大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系

若忽略環(huán)向位移，則彈塑性邊界處土的徑向位移可表示為：

式中，Δσrb、Δσθb分別為彈塑性邊界處的徑、環(huán)向正應(yīng)力增量；G為土的剪切模量；urb為彈塑性邊界的徑向位移；E為土體的彈性模量；μ為泊松比。

假設(shè)土為不可壓縮介質(zhì)，忽略徑向位移的高階小量，則體積守恒關(guān)系可表示為：

式中，Spla為塑性區(qū)的面積；f1（σa，θ）為孔內(nèi)壓的函數(shù)；f1(σa)為函數(shù)f1(σa，θ）關(guān)于變量θ的平均值，如式(12)所示。

聯(lián)立映射參數(shù)χ、塑性區(qū)半徑rb及體積守恒關(guān)系，可得到孔內(nèi)壓與孔體積變量的關(guān)系，即壓力-擴(kuò)張關(guān)系：

達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，可認(rèn)為比值a0/a收斂為0，則極限壓力可以表示為：

式中，σalim為雙軸應(yīng)力下孔擴(kuò)張極限內(nèi)壓力。

4 結(jié)果分析

圖2 a給出了采用摩爾-庫倫準(zhǔn)則的壓力-擴(kuò)張關(guān)系曲線。曲線變化可劃分為急劇變化、緩慢變化和極限狀態(tài)3個(gè)階段，分別以擴(kuò)張比a/a0=2.5/3.8為分界。當(dāng)土體進(jìn)入極限狀態(tài)，內(nèi)壓力達(dá)到極限值。圖2 b給出了孔內(nèi)壓隨參數(shù)K的變化曲線。以K=1.2為分界，孔內(nèi)壓力隨K呈先增后減趨勢；當(dāng)K＞2，曲線近似呈線性變化。同時(shí)，由于參數(shù)β受初始平均應(yīng)力影響，區(qū)別于Tresca準(zhǔn)則下的規(guī)律，K在0～2范圍內(nèi)應(yīng)力分布不具有對稱性。

圖2 摩爾-庫倫準(zhǔn)則下極限孔內(nèi)壓變化規(guī)律

5 結(jié)論和建議

本文利用復(fù)變函數(shù)保角變換理論，推導(dǎo)了雙軸應(yīng)力場下服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的柱孔擴(kuò)張大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系及極限內(nèi)壓力半解析解。基于壓力-擴(kuò)張關(guān)系的半解析解研究了初始應(yīng)力條件對應(yīng)力分布特性的影響。結(jié)果表明，在摩爾-庫倫準(zhǔn)則下，極限孔內(nèi)壓力達(dá)到最大值時(shí)，K大于1，且應(yīng)力分布規(guī)律不具有對稱性。該半解析解進(jìn)一步拓展了孔擴(kuò)張理論的適用范圍，可應(yīng)用在水平成孔的巖土工程中。