鎳鈦合金發動機的性能探究

徐 蕾，李可妤，鐘 鳴

(南京師范大學 物理科學與技術學院，江蘇 南京 210023)

將鎳鈦合金線圈套在2個大小不同且相距一定距離的滑輪上，把較小的滑輪浸入熱水中，鎳鈦合金絲能夠帶動滑輪轉起來，從而構成了簡易的發動機[1]. 本文從理論出發分析這一發動機的工作原理，通過實驗對理論進行驗證，并通過實驗探究相關參量對發動機性能的影響，并給出相應的解釋.

1 模型建立與理論分析

1.1 實驗裝置

簡易發動機裝置如圖1(a)所示，將滑輪嵌在亞克力板上并保持一定間距，用鎳鈦合金絲線圈套在2個滑輪上，構成簡易的發動機. 發動機用鐵架臺固定，下方放置裝有熱水的燒杯，用保溫材料包裹燒杯減小散熱. 圖1(b)是這一實驗裝置的簡化示意圖. 當熱水達到一定溫度時，施加微小的擾動(用手給滑輪非常小的角速度)后，發動機將持續轉動.

通過對金屬絲與滑輪的追蹤分析，發現在穩定勻速轉動狀態下，金屬絲與滑輪貼合，無相對位移，只有將半徑較小的滑輪浸入熱水中才能使得發動機轉動.

1.2 原理分析

鎳鈦合金是形狀記憶合金，加熱后能消除其在低溫時的變形，恢復其原始形狀；在一定溫度區間內，其彈性模量會隨著溫度增大而增大，且非常明顯[2-5]. 因此，合金線圈浸入熱水中的部分會變直，并有較大的彈性模量.

(a)實物照片 (b)示意圖圖1 實驗主體裝置與示意圖

在圖2(a)中，對發動機施加微小的擾動，假設此擾動使滑輪沿著逆時針方向轉過微小角度，則一部分合金絲將進入熱水中受熱，其彈性模量變大，如圖2(b)中黃色部分所示；相應的，另一部分合金絲進入空氣中冷卻，其彈性模量變小，如圖2(b)中藍色部分所示. 彈性模量的變化導致了合金絲的彎矩差，其彎矩為正，使滑輪繼續克服外界阻力并保持逆時針轉動[5].

(a) (b) (c)圖2 轉動過程示意圖

(a) (b)圖3 線圈受力與彎矩分析圖

考慮到兩側的剪切力在法向上有一定的角度差dθ=dl/R，因此兩側剪切力在切向上的合力為Fsdθ,切向的動力學方程為

(1)

(2)

其中，彎矩M可用彈性模量E、合金絲半徑r以及線圈的曲率半徑R表示為

(3)

由于線圈的重力相對于彎矩力非常小，可以忽略不計，將式(2)和式(3)代入式(1)中，可以得到微分方程

(4)

∮dT=0.

(5)

由此可得

(6)

這里的∮dfτ就是發動機對外輸出的力Fout，而由于合金絲半徑r(約0.4 mm)相對于線圈曲率半徑(大于小滑輪半徑32 mm)可忽略，因此做進一步分析時可以將式(6)簡化為

(7)

如圖4所示，將逆時針旋轉的發動機分為上下2個部分，上部分處于低溫熱源，下部分處于高溫熱源，將2部分對外輸出的力分別記為Fout1，Fout2，2個滑輪半徑記為R1，R2，將未貼合在滑輪上的線圈部分的曲率半徑理想化為無窮大(即為直的). 此時有：

(8)

圖4 定性分析示意圖

若R10，使得發動機繼續逆時針旋轉.

若R1>R2，則Fout1-Fout2<0，那么此時彎矩差提供的力成為阻礙發動機工作的力.

因此，只有當半徑較小的滑輪浸入熱水中時，發動機才能保持工作狀態.

2 實驗設計與結果討論

2.1 鎳鈦合金絲彈性模量的變化

為驗證上述理論，對實驗中使用的鎳鈦合金絲的彈性模量進行測量[6-7]，設計了如圖5所示的實驗裝置，將金屬絲繞過半徑為R0的滑輪，并且兩端固定. 以右側金屬絲與滑輪的切點為中心點，由于下端金屬絲被彎曲，因此會產生力矩使右端整段金屬絲順時針旋轉，將力傳感器掛鉤垂直鉤住鎳鈦金屬絲，掛鉤將給予金屬絲向左的力以使其達到平衡. 因此力傳感器的掛鉤將受到這根金屬絲的彎矩帶來的力F，力傳感器掛鉤的接觸點與金屬絲和滑輪的切點相距為l.

將滑輪下部浸入熱水中，熱水逐漸冷卻，隨著水溫的變化金屬絲的彈性模量也相應變化，通過力傳感器采集相應溫度下對應的彎矩力的數據. 實驗使用的力傳感器可以在1 s內采集100次數據，對其取平均值以提高測量的準確性.

(a) (b)圖5 測量彈性模量的裝置圖

彈性模量是溫度T的函數，即E=E(T). 由力矩平衡得

(9)

由上式可知F∝E(T)，其中E(T)可以用Logistic生長模型描述，因此F與T的關系也可以用Logistic生長模型描述[4]. 傳感器采集完數據后用此生長模型對F和T進行擬合，得到的結果如圖6所示，實驗擬合效果良好，同時也與實際中的鎳鈦合金材料相契合，這種方法具有一定的合理性與準確度.

由此得到實驗中所用的金屬絲的彈性模量與溫度的關系：

(10)

當溫度在57 ℃左右時，彈性模量的變化最快，將55～62 ℃稱為彈性模量變化的“敏感期”.

圖6 拉力隨溫度的變化圖象

2.2 發動機的轉速

為了探究發動機的轉速與相關參量的關系[8]，使用轉速計來測量滑輪的轉速，每個實驗測量20組數據. 另外，將溫度計插入熱水表面下方，測量鎳鈦合金絲浸入部分的熱水溫度.

2.2.1 溫度對轉速的影響

熱水從90 ℃逐漸冷卻，每冷卻2 ℃進行一次轉速測量，得到結果如圖7所示.

圖7 轉速隨溫度的變化圖

隨著溫度的升高，轉速先增大(52～66 ℃)，后減小(66～70 ℃)，逐漸保持在一定范圍內.

當溫度低于一定值時(實驗中約為50 ℃)，鎳鈦金屬絲無法達到相變溫度，或者相變程度非常小，導致彈性模量變化微小，因此發動機無法轉動. 溫度逐漸升高，其彈性模量的變化逐漸增大，由式(7)可知，此時彎矩差提供的力逐漸增大，因此滑輪轉速上升.

當溫度達到約66 ℃時轉速最大，進一步增大溫度，轉速反而下降的主要原因是：在實際實驗中，熱水的溫度升高會導致水面上方的溫度升高，所以需要考慮水面上方的金屬絲彈性模量的變化. 對比實驗結果可見，當水溫達到66 ℃后，熱水中的金屬絲已經經歷了彈性模量變化的“敏感期”. 反觀水面上方的金屬絲，由于溫度低于水溫，金屬絲正在經歷“敏感期”，從而導致這一區域的金屬絲的彈性模量差減小，即彎矩差的減小，導致轉速下降.

當水溫達到70 ℃后，則這一區域的金屬絲都已經歷“敏感期”，彈性模量隨溫度的變化較小，產生的彎矩差達到極限. 因此，轉速基本平穩.

2.2.2 浸水深度對轉速的影響

保持其他參量不變，改變下方滑輪浸入熱水的深度，以研究浸水深度對轉速的影響，如圖8所示，隨著浸水深度逐漸增加，發動機轉速先增大后減小.

圖8 轉速隨浸水深度的變化圖

對比圖9(a)與圖9(b)可知，更長的鎳鈦金屬絲產生的彎矩差會導致更大的驅動力，而更進一步增加金屬絲浸水深度. 對比圖9(b)與圖9(c)，彈性模量發生變化的金屬絲的曲率半徑變大，根據式(7)可得，其產生的彎矩差減小，驅動力下降，發動機的轉速相應減小.

(a) (b) (c)圖9 浸水深度的原理分析圖

2.3 發動機的輸出功率

設計如圖10(a)所示的裝置研究發動機的輸出功率[8]. 在大滑輪上固定纏繞著魚線的輕質圓盤，使得圓盤與大滑輪同軸轉動，魚線另一端固定小盒，如圖10(b)所示，通過改變盒中的珠子數量來改變負載的重量. 每顆珠子重約0.7 g. 魚線繞過光滑桿連接圓盤與小盒以減少摩擦力.

(a) (b)圖10 裝配負載示意圖

當負載勻速上升過程中，發動機對外輸出功率為

Pout=mgv0,

(11)

其中，負載上升速度v0與滑輪轉速n的關系為

v0=2πr0n,

(12)

其中r0為圓盤的半徑.

2.3.1 溫度對輸出功率的影響

保持其他參量不變，改變水溫，研究水溫對輸出功率的影響，如圖11所示.

圖11 輸出功率隨溫度的變化

由圖11可知，隨著溫度升高，輸出功率先增大后減少，并逐漸趨于穩定，最大輸出功率在溫度為66 ℃左右. 根據實驗2.2.1可以解釋此現象.

2.3.2 負載對輸出功率的影響

保持其他參量不變，改變盒內珠子數量，以研究負載對輸出功率的影響，如圖12所示.

由圖12可知，隨著負載的增加，輸出功率先上升后下降. 輸出功率受滑輪轉速和負載的綜合影響. 隨著負載的增加，滑輪轉動受到的阻力也相應增加，因此轉速下降. 在初期，負載影響占據主導地位，因此，隨著負載增加，發動機輸出功率也相應增加;而到了后期，轉速影響占據主導地位，因此，發動機輸出功率下降.

圖12 輸出功率隨負載的變化

3 結束語

從實驗可以得出，鎳鈦合金發動機浸在熱水中可以轉動的根本原因是其彈性模量隨溫度的變化產生的彎矩差提供了轉動的驅動力[1]. 本文建立理想化的模型，從鎳鈦合金絲材料的性質對鎳鈦合金發動機進行分析. 結合實驗，一方面，探究了鎳鈦合金絲彈性模量的變化規律，以驗證其轉動的原因，發現其彈性模量的變化存在“敏感期”. 另一方面，探究了這種發動機的性能[8]，并通過已經建立的理想化模型對實驗結果進行了合理的分析解釋.