讓“自主探索”成為學習活動的基本學習方式和路徑

鐘衛明　易良斌

摘要：數學探究課，要讓學生的自主探究成為教學活動的基本學習方式和路徑。以“邊邊角能確定三角形嗎？”課例出發，在數學探究課中，根據學情步步深入追問，引領探索方向;從特殊到一般的研究方法入手，掌握探究方法，挖掘探索深度;引導學生制定策略，借助類比探究，拓寬探索廣度;從發現問題到提出猜想，再到理論證明，完善探索路徑。

關鍵詞：自主探索;邊邊角方式;路徑

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”它強調學生的創新意識是在主動探索知識的過程中得到培養的，學生的實踐能力是在運用知識解決問題的實踐活動中得到發展的，課堂教學應該是培養學生創新意識和實踐能力的主陣地。因此，進行初中數學探究性學習的課堂教學實踐，尋找與時代發展相適應的教與學的方式勢在必行。

我們在設計課堂教學活動的時候，特別是數學探究課，必須讓學生的自主探索成為教學活動的基本學習方式，引導學生通過觀察發現問題，激發思維沖突，進而提出問題，自主探索，獨立思考解決問題。學生在問題解決的過程當中，體會其中所蘊含的數學原理數學思想，形成數學思維方式。筆者現以課例“邊邊角能確定三角形嗎？”的實踐為例，淺談自己的理解與思考。

一、學習設計與教學實錄

（一）新課引入，引發探究

師：請同學們用有刻度的三角板作一個△ABC，使∠A=30°，AB=4cm，AC=4cm.

追問：每一個同學畫出來的三角形形狀大小一樣嗎？為什么？

生：找出任意兩個三角形可以用兩組邊對應相等，以及這兩邊的夾角相等證明這兩個三角形全等。全等三角形可以完全重合，即形狀大小一樣。

師：在本題條件下，畫出的三角形形狀大小完全相同，都是全等的，簡單地說這個三角形被唯一確定了，那還有其他邊角條件下，可以唯一確定三角形嗎？

生：已知三條邊，已知兩個角和其中一條邊。

師在黑板上板書：“SSS，AAS，ASA。Q1：如果把AC=4 cm改成BC=4 cm，△ABC還可以唯一確定嗎？請用三角板和圓規進行探索。”

學生使用三角板和圓規進行探究。

師追問1：你是怎么畫出來的？

生：先畫∠A=30°，再畫AB=4 cm，接著以B為圓心，以3 cm為半徑畫弧，找∠A的另一條邊與弧的交點。

師：如果把AC=4 cm改成BC=3 cm，△ABC還可以唯一確定嗎？請用三角板和圓規進行探索。

（2分鐘過后）師：你畫出來幾個？

生：△ABC不唯一確定。可以畫出兩個三角形ABC。

師：你發現了什么？（指標題）看來我們已經解決了這個問題了。同時我們還解決了SSA不可以來判定兩個三角形全等。有時可以唯一確定，有時不能唯一確定，那“邊邊角”何時能唯一確定呢？這才是我們今天要來解決的問題。

【設計思考】通過學生自己動手操作，他們明白了：兩邊以及它們的夾角相等的情況下，三角形可以唯一確定，進一步感受全等三角形和三角形唯一確定之間的聯系。通過改變其中一條邊變成對邊，我們通過特殊的實例（AB=4 cm，BC=4 cm，∠A=30°）得到了有時唯一確定，而有時（AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°）不能唯一確定，可以畫出兩個三角形，從而通過這一矛盾點激發學生的學習興趣，進而引出課題。通過AB=4 cm，BC=3 cm，∠A=30°，能畫出2個三角形，這已經證明了這個課題的不正確。教師接著將課題進一步明確為探究邊邊角何時能夠唯一確定三角形。

（二）制定策略，自主探究

師：你覺得C點能不能唯一確定與什么有關呢？

生：BC的長度。

師：是不是BC=4 cm時才能唯一確定呢？大家來看下面這個問題：△ABC中AB=4 cm，∠A=30°;當BC的長度改變時，請借助尺規，嘗試探究BC長度與三角形個數的關系，并總結研究成果在表格里。

師：你是怎么研究的？

生：先畫∠A=30°，再畫AB=4 cm，接著以B為圓心，以BC為半徑畫弧，找∠A的另一條邊與弧的交點。改變BC的長度重新畫弧，找交點的個數。

【設計思考】借助學生自主學習的選擇性探究，引導學生從邊的大小出發，通過改變BC的長度，探索BC與∠A的另一邊的交點的個數，來確定三角形的個數。

（三）有序分類，深度探究

師：當BC=3.5 cm時，能畫出幾個三角形？BC=3.8 cm呢？你發現了什么？

生：在一段范圍內能畫出兩個三角形。

師：是哪一段范圍呢？

生：2

師：那小于2的情況呢？大于4的情況呢？我們該如何討論才能做到不遺漏呢？

生：我們可以從小到大有序地進行分類。

師：很好，我們有序地再次對表格進行整理。

【設計思考】當BC=2 cm的時候，通過畫圖，學生會發現有1個或者2個交點的情況。圓跟直線的位置關系和三角函數還沒有學習，這里不進行證明。

學生通過自主探究，通常他們的思維是無序的。教師不是課堂的主體，但是是課堂的引領者，可通過有效的一組追問，引導學生從無序的長度到一段范圍進行探究。在確定這段范圍的過程當中，學生找到了兩個臨界點，分別是垂線段和BC等于AB的時候，進而將無序的思考引導到有序思考上。從小到大進行討論可以做到分類討論不遺漏，同時分類討論的標準是找臨界點，從而確定每一段分類討論的范圍，掌握分類討論思想。

師：△ABC中AB=c，∠A=∠α.（0<α< 90°）.當BC的長度改變時，借助尺規，嘗試探究BC長度與三角形個數的關系，并總結研究成果。

學生上臺展示研究成果。

師：剛剛我們是動手實踐發現當BC>BA時可以唯一確定三角形，大家能否嘗試證明一下這個結論？

整理后的題目表述為：“已知：在△ABC中，AB=AB，BC=BC，∠A=∠A（∠A是銳角），且BC>AB，求證：△ABC與△ABC全等。”

學生證明如下：

【設計思考】原來討論的∠A=30°，將它推廣到一般化的銳角三角形。有了前面的探索，學生運用有序思考進一步探索，將數學問題符號化、抽象化。同時，老師還可以借助幾何畫板的動態演示，將結果更清晰地展示給學生，讓學生能夠明確每一種情況下的構圖。經歷從猜想、實驗到證明的過程是學習數學的一種基本學習方式，幫助學生形成縝密的邏輯思維、完善的數學思考、嚴格的數學表達。

（四）類比探索，完善探究

師：下面我們類比銳角探究的情況，再來探究一下直角和鈍角的情況。請看題目。△ABC中AB=c，∠A=∠α（α是直角或鈍角）。當BC的長度改變時，借助尺規，嘗試探究BC長度與三角形個數的關系，并總結研究成果。

學生上臺展示研究成果。

生1：α是直角。

（五）歸納總結，形成認知

師：我們已經把三類角探究完了，你能不能歸納一下什么時候“兩邊及其一邊的對角”條件確定的時候，三角形可以唯一確定？

生：當這個角是直角或者鈍角的時候，可以唯一確定三角形。

師：剛才同學是從角的角度去概括的，那我們能不能從邊的長度來進行概括呢？

生：當BC>BD時可以唯一確定三角形。

師：本節課，我們將課題聚焦在“邊邊角何時能唯一確定三角形？”。為了研究這個課題，我們制定了定鄰邊和一個角，討論第三邊的研究策略，從特殊的銳角入手，有序分類討論了第三邊對于三角形個數的影響，推廣得到了一般化的結論，進而類比探究了直角和鈍角的情況，歸納出了“邊邊角”能唯一確定三角形時的條件。本節課還給了我們一個關于判定全等三角形的條件的新視角——三角形能否唯一確定。

二、實踐思考與教學啟示

（一）根據學情追問，引領探索方向

一堂高效的數學課，數學問題要少，教師要通過學生的課堂生成及時地提供有效的追問，幫助學生理清思路。探究課是學生不熟悉的課型，看到課題時他們常常感到無從下手。本節課的第一個難點是啟發學生從哪些方向去進行探究。比如在第一環節，教師應讓學生體會到三角形唯一性的研究和三角形全等研究之間的內在一致性，從全等三角形的研究轉化到三角形唯一性的研究上，進而思考三個要素對于課題的影響。

有了探究的方向，學生可能不知道該怎么探究，所以要幫助學生找到探究的方法和步驟。探究的思路要適合于學生的知識生成。比如，本節課如果將探究思路放開，有三個要素的變量，對于學生來說難度巨大。通過教師的引導，學生將目標聚焦于BC的長度對于三角形唯一確定的影響，找到研究的基本點。在學生探究BC長度對三角形構成影響的時候，學生的探究是雜亂的。教師通過追問的方式，引導學生從無序的思考到有序的思考。每一次的追問都應該是層層遞進、步步深入的，目的都在于將學生的思路聚焦于本節課的研究方向，制定好研究的策略。

（二）從特殊到一般，挖掘探索深度

研究一個幾何問題的基本方法是從特殊到一般。對于一個一般化的問題，學生通常無法下手。從特殊的圖形入手，學生可以在特殊的圖形下找到研究的一般方法。比如本節課中讓學生從特殊的30°角入手，再推廣到任意角度、一般銳角的研究和30°角的方法一樣，幫助學生將探究往更深層次進行延伸。

（三）定策略善類比，拓寬探索廣度

引入環節在兩邊以及一邊的對角的條件下，改變要素的大小，有時可以唯一確定三角形，有時不確定，這說明△ABC能不能唯一確定和三個要素的大小直接相關。但是要考慮三個要素的變化，情況過于復雜。我們可以引導學生先定兩個要素再來討論第三個要素，控制變量來探究每個要素的影響。首先引導學生將目標聚焦在BC的長度，在確定鄰邊和角的情況下進行探究。該探究還幫助學生掌握了研究方法，為后面的類比直角、鈍角進行獨立探究奠定基礎。制定策略的過程是本節課的重點，幫助學生理清思路，明確探究方法，保證了課堂有序進行。

（四）從猜想到證明，完善探索路徑

從猜想到實驗，證明是探索數學問題的一般路徑。本節課從一個矛盾的激發點，激起學生探究的興趣，創設數學思考的氛圍。在學生自主探究的過程當中，學生從用數學的眼光去觀察問題，進而提出問題：邊邊角何時能夠唯一確定三角形呢？學生通過觀察特例，猜想發現是BC長度的變化和三角形的唯一確定之間有聯系，將課堂轉化到自主探究的主陣地。探究的過程中，學生通過自我思考、小組合作獲得對于數學知識的理解、數學原理的探求、數學真理的渴望。

證明的過程，學生要用嚴格的邏輯語言進行表達，也就是用數學的語言表達問題。學生知其然，知其所以然，何由以知其所以然。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學的數學探究性學習[J].數學教育學報，2013（22）.

（責任編輯：奚春皓）