研究生課程有限元方法的案例庫建設(shè)

張可維 胡志剛

摘要：有限元案例庫引入了自制的機(jī)械模型實(shí)物，使學(xué)生首先從數(shù)學(xué)模型層面上理解有限元思想，然后在編程過程中掌握有限元分析的技術(shù)細(xì)節(jié)，最后在機(jī)械模型驗(yàn)證中鞏固所學(xué)知識。將12個工程問題有限元分析實(shí)例引入案例庫，提高了學(xué)生應(yīng)用有限元方法去分析解決實(shí)際工程問題的能力。

關(guān)鍵詞：案例庫;有限元方法;MATLAB編程

前言

案例教學(xué)（Case Method）是一種將實(shí)際問題與理論研究相結(jié)合，以實(shí)際案例為依據(jù)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究，從而激發(fā)學(xué)生興趣，提高學(xué)生運(yùn)用理論解決實(shí)際問題能力的教學(xué)方法。該方法由美國哈佛法學(xué)院前院長C.C.Langdell于1870年首創(chuàng)，后經(jīng)哈佛企管研究所所長W.B.Doham推廣，在20世紀(jì)80年代引入我國。它已經(jīng)得到世界許多地方認(rèn)可，被視為代表未來教育方向的一種成功教育方法。中國高校工作者結(jié)合自己所上課程的特點(diǎn)，已逐步開展了案例庫建設(shè)，推行了案例教學(xué)的教學(xué)方式[1，2]。有限元方法能顯著提高學(xué)生分析解決實(shí)際工程問題的能力，促使教育工作者深入思考相關(guān)教學(xué)工作[3，4]，已經(jīng)出現(xiàn)了有限元案例教學(xué)方面的積極探索[5-7]。由于有限元分析這種高級的工科案例教學(xué)應(yīng)該包含實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這帶來成本和操作復(fù)雜性方面的問題，因此深入探索有限元案例教學(xué)是十分具有挑戰(zhàn)性的研究方向。

一、有限元案例庫建設(shè)實(shí)踐

1.特點(diǎn)

本有限元案例庫引入自制的機(jī)械模型實(shí)物，使學(xué)生首先從數(shù)學(xué)模型層面上理解有限元思想，然后在編程過程中掌握有限元分析的技術(shù)細(xì)節(jié)，最后在機(jī)械模型驗(yàn)證中鞏固所學(xué)知識，從而切實(shí)提高學(xué)生將有限元方法用于實(shí)際工程分析的能力。在實(shí)踐中，理論分析結(jié)果與實(shí)物模型數(shù)據(jù)可能存在較大差距。這種數(shù)據(jù)誤差差距來源有很多：受成本限制的機(jī)械制造裝配精度不高、材料不均勻?qū)е挛锢韰?shù)不準(zhǔn)確、幾何測量誤差導(dǎo)致模型數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確等等。因此，本案例庫主要引入了彈簧、六角扳手、簡支梁等簡單機(jī)械對象，以降低數(shù)據(jù)誤差對分析可信度的影響。

2.教材與補(bǔ)充書目

本案例庫教學(xué)所用教材為P.I.Kattan著的《MATLAB有限元分析與應(yīng)用》，補(bǔ)充書目是Daryl L.Logan著的《有限元方法基礎(chǔ)教程》。教材采用了當(dāng)今在工程教育方面非常流行的數(shù)學(xué)軟件MATLAB來進(jìn)行有限元分析和應(yīng)用，由淺入深、循序漸進(jìn)地介紹了多種有限元單元及其分析與應(yīng)用方法。本書特別強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)理論和軟件交互，書中的每個示例都提供分步求解，有利于讀者入門。補(bǔ)充書目中提供了大量取自機(jī)械工程、土木丁程、航空航天工程和材料科學(xué)的示例和習(xí)題，有很高的工程應(yīng)用價值。

3.有限元案例庫內(nèi)容

有限元案例庫由12個工程問題有限元分析案例組成，每個案例包含配套的教學(xué)文檔，其中一些簡單案例還配有自制的機(jī)械實(shí)物。完整的案例學(xué)習(xí)要求學(xué)生利用有限元分析方法為該機(jī)械實(shí)物建立有限元模型，并仿真計算出一些典型力學(xué)指標(biāo)數(shù)值，然后用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，最后給出分析報告解釋仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異來源。12個案例的內(nèi)容如表1所示：

4.學(xué)時分配

本有限元案例庫由12個工程問題有限元分析案例組成，每個案例需要2學(xué)時，總共需要24學(xué)時完成案例教學(xué)。

二、彈簧元案例主要內(nèi)容

彈簧元是最基本的有限元單元。實(shí)物彈簧的剛度以及在外力作用下的變形均可測。首先給出彈簧元剛度矩陣公式，然后給出該剛度矩陣的理論推導(dǎo)過程，接著用Matlab語言編寫剛度矩陣生成函數(shù)和系統(tǒng)剛度矩陣裝配函數(shù)，最后用Matlab語言編寫有限元分析程序調(diào)用這兩個函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對單個彈簧受力問題的有限元分析。計算結(jié)果可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對驗(yàn)證，增強(qiáng)感性認(rèn)識。

彈簧元剛度矩陣的理論推導(dǎo)如下。首先在彈簧符號上建立局部坐標(biāo)軸、為節(jié)點(diǎn)編號、標(biāo)出局部節(jié)點(diǎn)力和局部節(jié)點(diǎn)位移、標(biāo)出彈簧屬性，最終得到帶有約定正向節(jié)點(diǎn)位移的彈簧元模型，如圖1所示。

不妨設(shè)彈簧元在拉力T的作用發(fā)生伸長變形，表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)位移產(chǎn)生變化，如圖2所示。

通過以上有限元分析可進(jìn)一步編寫Matlab有限元分析程序模板代碼。

結(jié)語

通過有限元案例庫的建設(shè)和案例教學(xué)實(shí)踐的應(yīng)用，可以促進(jìn)研究生對工程實(shí)際問題的理解，因此案例庫的建設(shè)具有促進(jìn)學(xué)生掌握先進(jìn)科學(xué)知識的積極意義。專業(yè)學(xué)位研究生在學(xué)習(xí)使用軟件工具進(jìn)行有限元分析的過程中，鍛煉和提高了自身運(yùn)用計算機(jī)解決工程問題的能力。案例庫的建設(shè)和應(yīng)用在改革和創(chuàng)新專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)模式、明確案例教學(xué)的地位和作用等多個方面提供了具體的理論依據(jù)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]朱本偉，倪芳，熊強(qiáng)，姚忠，孫蕓.生物分離工程課程教學(xué)案例庫的建設(shè)與應(yīng)用探索[J].食品與發(fā)酵科技，2021，57（01）：134-138.

[2]任立海，胡遠(yuǎn)志，陳浩，肖明楊.汽車碰撞安全開發(fā)案例庫建設(shè)與教學(xué)實(shí)踐[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2021，29（06）：157-158+161.

[3]伍建偉，蔣占四，劉夫云，莊未.機(jī)械專業(yè)有限元原理及應(yīng)用課程教學(xué)改革研究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2017，14（05）：193-194+196.

[4]徐榮橋，楊仲軒，呂朝鋒.MATLAB在有限元教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐[J].力學(xué)與實(shí)踐，2010，32（04）：101-103.

作者簡介：張可維，1973年3月，男，漢族，湖北省武漢市，副教授，工學(xué)博士，智能機(jī)械。