淺談大數定律教學設計

于淼　吳素文　宋贄　楊吉會　張闞

[摘 要]大數定律是概率論與數理統計課程中抽象難懂的重要教學內容，如何設計與完備大數定律教學是課程教師實踐中不斷的追求。在教學積累過程中，以切比雪夫不等式為基礎，以依概率收斂概念為依托，介紹了大數定律的一般形式，給出了隨機事件頻率穩定在其概率的精確表達，并探索服從大數定律的充分條件，找出大數定律之間的內在聯系，從而培養學生的概率統計思維模式及理論聯系實際的應用能力。

[關鍵詞]切比雪夫不等式;依概率收斂;大數定律;思維模式;應用實踐

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）11-0079-04

在概率論與數理統計的課程教學中，大數定律既很重要又是難點，它以嚴格的數學形式， 表達了隨機現象最根本的性質——平均結果的穩定性，在理論與實踐中均有廣泛應用[1]。它是承上啟下的教學內容，既是前面概率論部分的必要補充，又為數理統計部分提供理論依據，被稱為“統計學的靈魂”[2]。由于大數定律理論性較強，內容復雜，教學比較抽象與枯燥，且難于掌握和理解，因此更好地梳理與設計大數定律的教學內容具有重要的理論與實踐意義。

一、知識復習與準備

（一）切比雪夫（Chebyshev）不等式

設隨機變量X的數學期望和方差都存在，則對任意常數[ε>0]，有

[PX-E（X）≥ε≤D（X）ε2]，

或[PX-E（X）<ε≥1-D（X）ε2].[3]

切比雪夫不等式是大數定律的基礎，是證明大數定律的有力工具[4]，可以說，伯努利（Bernoulli）大數定律、切比雪夫大數定律、馬爾可夫（Markov）大數定律均是借助于切比雪夫不等式完成證明的，使用了[PX-E（X）<ε≥1-D（X）ε2]形式。

（二）依概率收斂

隨機變量序列[Xn]依概率收斂于X是指[limn→∞PXn-a<ε=1]，記作[Xn→Pa]，表示絕對偏離[Xn-a]小于任一給定量的可能性隨著n增大而愈來愈接近于1。

大數定律是一類定理的統稱，涉及的是依概率收斂問題。大數定律這節內容包括大數定律的一般形式和四個常見的大數定律：伯努利大數定律、切比雪夫大數定律、馬爾可夫大數定律和辛欽（Khinchin）大數定律。

二、教學設計

（一）伯努利大數定律

1.背景

伯努利大數定律背景的介紹不僅可以使學生們知道定理的來龍去脈，更能提高他們的學習興趣與積極性，樂于跟隨教師走進大數定律的抽象世界。歷史上第一個極限定理屬于伯努利，就是伯努利大數定律，其思想源于概率論與數理統計第一章中講到的事件發生的頻率隨著試驗次數的增加穩定在事件的概率，如多次拋擲一枚硬幣，正面向上與反面向上的頻率會穩定在其概率0.5，最為著名的要數蒲豐投針實驗。1777年，法國數學家蒲豐在一張白紙上畫出多條等距平行線，并將長度為平行線間距一半的2212枚針隨機投到白紙上，觀察到與平行線相交的針為704枚，由此得到圓周率π的近似值[π≈2212704≈3.142][5]。將頻率穩定性給予精確地描述就是伯努利大數定律。

2.定理內容及證明

伯努利大數定律闡述了事件發生的頻率依概率收斂于該事件的概率。

可以采用切比雪夫不等式來進行證明，采用逆向思維，從結論入手，需要證明事件A的頻率[μnn]依概率收斂于其概率[P（A）=p]，即[limn→∞Pμnn-p<ε=1]。考慮到與切比雪夫形式的一致性，如果頻率[μnn]本身是一個隨機變量，且概率p是該隨機變量的期望就好了。而頻數[μn]是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，確實是隨機變量，服從二項分布[B（n，p）]，期望[E（μnn）=p]，方差[D（μnn）=p（1-p）n]。現在要證[limn→∞Pμnn-p<ε=1]，已知[Pμnn-p<ε≤1]，由切比雪夫不等式[Pμnn-p<ε=Pμnn-E（μnn）<ε≥1-D（μnn）=1-p（1-p）nε2]，再根據夾逼準則得證。

3.應用

用蒙特卡羅（Monte Carlo）方法之隨機投點法計算定積分[J=01f（x）dx， 0≤f（x）≤1]。

（二）大數定律的一般形式

伯努利大數定律給出了頻率穩定性的精確表述，其實大量測量值的算術平均值即樣本均值同樣也具有穩定性，這種穩定性是大數定律存在的客觀背景[6]。

從伯努利大數定律引出大數定律的一般形式：頻數[μn～B（n ， p）]，而二項分布可以看成是有限個相互獨立的兩點分布之和，即[μn=i=1nXi]，[Xi～B（1， p）]。此時[E（μnn）=E（1ni=1nXi）=p]，可得

[limn→∞P1ni=1nXi-E（1ni=1nXi）<ε=1]，記樣本均值[X=1ni=1nXi]，得到結論樣本均值[X]依概率收斂于樣本均值的期望[E（X）]，也就是總體均值[E（X）]，即[X→PE（X）]。

由此給出了大數定律的一般形式：對任意的[ε>0]，有[P1ni=1nXi-1ni=1nE（Xi）<ε=1]，即

[1ni=1nXi→P1ni=1nE（Xi）]。

大數定律反映了大樣本條件下平均結果的穩定性，為人類世界提供了一個基本規律：在一個包含眾多個體的大群體中，由于偶然性個體間會產生差異，但是在大數定律的作用下，整個群體卻能呈現出某種穩定的狀態[7-8]。當然，在樣本容量擴大的過程中，樣本均值序列偏離總體均值的機會始終存在，但會隨著樣本容量的擴大而減小，當樣本容量達到一定程度時，樣本均值依概率收斂于總體均值，樣本均值近似看作總體均值[9]。

在理解了大數定律的結論后，我們想要知道在什么情況下隨機變量序列會服從大數定律，即服從大數定律有哪些充分條件。為此，我們繼續學習切比雪夫大數定律、馬爾可夫大數定律和辛欽大數定律。它們從不同的角度給出了服從大數定律的條件。

（三）切比雪夫大數定律

1.條件

切比雪夫給出了服從大數定律需要滿足兩個條件：一是隨機變量序列[Xn]兩兩不相關;二是[D（Xn）]存在且有共同的上界，即[D（Xn）≤c]，c為常數。

2.定理證明

仍從結論入手，需要證明

[P1ni=1nXi-1ni=1nE（Xi）<ε=1]。仍然借助切比雪夫不等式，得[P1ni=1nXi-1ni=1nE（Xi）<ε≥1-D（1ni=1nXi）ε2]，因為[Xn]兩兩不相關，且[D（i=1nXi）=i=1nD（Xi）+2Ci

3.伯努利大數定律與切比雪夫大數定律的關系

伯努利大數定律是切比雪夫大數定律的特例。伯努利大數定律滿足切比雪夫大數定律的兩個條件：頻數可以看成是有限個相互獨立的兩點分布之和，即隨機變量序列[Xn]獨立同參數為p的兩點分布。獨立自然兩兩不相關，滿足條件一;兩點分布的方差為[p（1-p）]，方差存在且相等，有共同的上界，滿足條件二。

4.推論

如果隨機變量序列[Xn]獨立同分布，且方差有限，則[Xn]服從大數定律。在證明切比雪夫大數定律的過程中，我們發現其實只需要當[n→∞]時[D（1ni=1nXi）=1n2D（i=1nXi）]的極限為0即可，這正是由切比雪夫的學生馬爾可夫給出的大數定律的條件。

（四）馬爾可夫大數定律

1.條件

馬爾可夫大數定律只要求滿足一個條件：[1n2D（i=1nXi）→0（n→∞）]，稱為馬爾可夫條件。

由此可見，馬爾可夫大數定律對隨機變量序列[Xn]沒有任何同分布、獨立性、不相關的假設，使用起來比較簡單，因此應用較多。

2.應用舉例

設[Xn]為同一分布、方差存在的隨機變量序列，且[Xn]僅與[Xn-1]和[Xn+1]相關，而與其他的[Xi]不相關，試問該隨機變量序列[Xn]是否服從大數定律？

3.切比雪夫大數定律與馬爾可夫大數定律的關系

切比雪夫大數定律是馬爾可夫大數定律的特例。從切比雪夫大數定律的證明過程來看，切比雪夫的兩個條件都是為了得到馬爾可夫條件，進而服從大數定律。

（五）辛欽大數定律

1.條件

辛欽大數定律也要滿足兩個條件：一是隨機變量序列[Xn]獨立同分布;二是[E（Xn）]存在。

這與切比雪夫大數定律的推論相比，條件一相同，條件二將方差簡化為了期望，使用起來更加簡便。切比雪夫與馬爾可夫大數定律中都對方差做了要求，辛欽大數定律只需考慮期望。

辛欽大數定律的證明借助于特征函數的概念，在課上未對學生進行講解，一方面由于特征函數理論涉及復數，相對較難，另一方面也容易打破知識結構的系統性。

2.應用舉例1

將教材中應用切比雪夫大數定律推論的例子放到此處，并且可以去掉一個已知條件[E（X4n）<∞]，應用辛欽大數定律得到相應結論。

設隨機變量序列[Xn]獨立同分布，若令[E（Xn）=μ，D（Xn）=σ2]，考察[Yn=（Xn-μ）2， n=1， 2， …]是否服從大數定律？

3.應用舉例2

用蒙特卡羅方法之平均值法計算定積分[J=01f（x）dx，0≤f（x）≤1]。

4.伯努利大數定律與辛欽大數定律的關系

伯努利大數定律是辛欽大數定律的特例。伯努利大數定律中，隨機變量序列[Xn]獨立同參數為p的兩點分布，滿足辛欽大數定律的兩個條件，條件一獨立同分布，條件二兩點分布的期望存在，為其參數p。

三、知識總結

大數定律這節主要介紹了大數定律的一般形式，即隨機變量的樣本均值依概率收斂于總體均值;還講述了四個大數定律，其中伯努利大數定律精確解釋了頻率的穩定性，而其他三個大數定律分別給出了服從大數定律的充分條件，并且四個大數定律之間具有內在聯系。講授過程中步步深入，逐漸展開，自然過渡，銜接流暢，富于邏輯性，有助于學生的消化理解及整體性的把握。本節要求掌握與理解大數定律的基本理論，并能應用大數定律完成相關問題。圖1為本節的知識結構圖。

四、結論與討論

（一）注重教學過程中思維模式的培養

概率論與數理統計是高校十分重要的基礎課程，也是當代數學最為活躍的分支之一，是研究隨機現象統計規律性的一門學科，經常采用大量實驗與觀測的方式找出與分析事物間的內在規律性，因此培養學生的概率直覺思維能力與統計辯證思維方法顯得尤為重要[10]。

大數定律表明大量隨機現象由于偶然性相互抵消而呈現出必然數量規律[11]。它是“算術平均值法則”的理論基礎[12]，是概率論與數理統計課程的精華所在。然而由于大數定律較強的理論性及學習的困難性，很多教師將該節內容不講或略講，使學生不能完整構建概率統計的思維邏輯并完成從概率論到數理統計的順利過渡，更談不上對于大數定律理論聯系實際的應用。客觀世界中充滿了不確定性，但要從中找到確定性，大數定律的思維模式必不可少，相對于“小數”，“大數”更具理論與應用價值，為實際生產生活提供了必不可少的理論依據和方法論，是大數據分析中海量與多樣化的信息運用的前提之一。同時，大數定律所蘊含的概率統計思想也體現出做事鍥而不舍、知難而進的寶貴精神品質，讓學生們在學習知識的過程中體會與完善人格魅力。

（二）課上適量進行理論知識拓展

課上講授的大數定律給出了服從大數定律的充分條件，在其他情況下是否也會得出服從大數定律的結論，也就是是否存在其他的充分條件。茆詩松等編寫的《概率論與數理統計教程第二版》大數定律一節的習題中又給出了三個大數定律，這里是要完成對它們的證明，自然也可以讓同學們在完成習題的基礎上學習與理解這三個大數定律，包括泊松（Poisson）大數定律、伯恩斯坦（Bernstein）大數定律與格涅堅科（Gnedenko）大數定律。對于感興趣的學生還可以自己查閱資料或探索其他充分條件。

（三）開展課外應用實踐活動

現實生活中，人們很多時候都會有意或無意的運用大數定律理論方法。例如人們在實際觀測中，往往并不是只做一次觀測得到觀察值，而是大量重復觀測后取平均值作為真實值[13]。

授課過程中舉了兩個應用蒙特卡羅方法的例子——分別用伯努利大數定律和辛欽大數定律計算定積分。蒙特卡羅方法也稱為隨機模擬方法，是一種大數收斂的數值計算方法，依據概率論與數理統計理論知識建立模型并借助于現代計算機技術來實現算法，再經大量隨機仿真而形成真實值的逼近[14]。蒙特卡羅方法不僅可以實現定積分的計算，還可以求解不規則圖形的面積[15]，也可以在蒲豐投針實驗思想指導下，利用Matlab軟件模擬計算圓周率π的近似值[5]。

大數定律是保險業和彩票業存在和發展的數理基礎。例如它是保險公司收取保費的理論依據，保險公司利用“個別情形存在的不確定性將會在大數中消失”的規則，可將個別風險單位遭遇損失的不確定性轉化為風險單位集合損失的確定性[16]。

教師可以給學生布置課外應用實踐的任務，以小組為單位，查閱資料，總結或實現大數定律的實際應用過程。不僅可以使學生更好地掌握和理解大數定律理論知識，同時可以在應用中找到課程學習的重要意義。

[ 參 考 文 獻 ]

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[責任編輯：林志恒]