一種基于概率-證據(jù)理論的滑動(dòng)軸承可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)*

趙 軍 陶友瑞

(1.河北工業(yè)大學(xué),省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300401;2.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300401)

滑動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)軸支承元件在機(jī)械領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，通常采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法來(lái)提高其工作性能。對(duì)于滑動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)，一些相關(guān)的研究已經(jīng)展開(kāi)，如多目標(biāo)優(yōu)化的粒子群法[1]和灰色微粒算法[2]已被用于尋求滑動(dòng)軸承工作性能的最優(yōu)參數(shù)。符江鋒等[3]考慮了滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑特性分布規(guī)律，提出了一種燃油泵軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。然而滑動(dòng)軸承作為機(jī)械產(chǎn)品內(nèi)部的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)部件之一，對(duì)其可靠性的要求越來(lái)越高，不僅要求軸承在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下達(dá)到更優(yōu)的性能，還要具有較高的可靠度。所以為了保證滑動(dòng)軸承的穩(wěn)定運(yùn)行，有必要對(duì)其進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)獲得合理的設(shè)計(jì)參數(shù)。

早期可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)一般基于概率理論，如張鄂等人[4]考慮了設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的隨機(jī)性，建立了滑動(dòng)軸承的概率優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。但是其中的一些不確定參數(shù)由于認(rèn)知的不確定性，無(wú)法單一地使用概率理論描述其分布特性。非概率可靠性方法能夠更好地處理不確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題[5],如證據(jù)理論[6]、模糊集理論[7]和凸模型理論[8]。在實(shí)際工程中,由于認(rèn)知的匱乏，現(xiàn)有的數(shù)據(jù)只能描述不確定參數(shù)在某一區(qū)間的概率，證據(jù)理論是處理這類隨機(jī)的和認(rèn)識(shí)的不確定性的問(wèn)題有效手段。近些年，大量的學(xué)者開(kāi)始研究證據(jù)理論在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用，針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題中存在認(rèn)知不確定性,提出基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。如MOURELATOS和ZHOU[9]提出了基于證據(jù)理論的計(jì)算高效的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法,通過(guò)在原始設(shè)計(jì)空間中移動(dòng)一個(gè)超橢圓，能夠快速識(shí)別主動(dòng)約束附近的最優(yōu)點(diǎn)?；谡J(rèn)知不確定性的不連續(xù)性和子系統(tǒng)之間的復(fù)雜耦合關(guān)系，TAO等[10]提出了一種新的基于證據(jù)理論和概率論的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，該方法可以有效地提高多學(xué)科優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算效率。范松等人[11]構(gòu)造了一種證據(jù)理論可靠性的近似梯度計(jì)算方法，在保證優(yōu)化過(guò)程的精度的同時(shí)提高其計(jì)算效率。HELTON等[12]基于樣本的敏感性分析與證據(jù)理論,分析不確定變量對(duì)互補(bǔ)累積信念函數(shù)和互補(bǔ)累積似然性函數(shù)的增量效應(yīng)。

上述的研究都在一定程度上證明了證據(jù)理論在工程優(yōu)化問(wèn)題上具有很強(qiáng)的實(shí)用性，并且取得了一定的成果。針對(duì)于滑動(dòng)軸承優(yōu)化中部分參數(shù)沒(méi)有足夠的認(rèn)知數(shù)據(jù)，無(wú)法通過(guò)概率論構(gòu)建其概率密度函數(shù)，為了符合工程實(shí)際情況，本文作者利用證據(jù)理論去描述滑動(dòng)軸承中認(rèn)知程度匱乏的不確定性參數(shù)。文中通過(guò)分析滑動(dòng)軸承的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合概率論和證據(jù)理論充分描述不確定參數(shù)的分布特性；基于滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑理論的膜厚比建立最小膜厚的可靠性約束，使用證據(jù)理論均勻化方法和一次二階矩法(FORM)將其可靠性約束條件轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的約束條件；最后對(duì)滑動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 滑動(dòng)軸承數(shù)學(xué)模型

有限長(zhǎng)徑向滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，其中F是軸承工作載荷；hmin為最小油膜厚度；ω為軸徑角速度;d為軸承直徑；B為軸承寬度。

圖1 滑動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)示意Fig 1 Schematic of sliding bearing

對(duì)滑動(dòng)軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先需要保證軸承具有足夠的承載能力以承載外部載荷。承載能力是通過(guò)承載系數(shù)CP來(lái)反映，承載系數(shù)越大，滑動(dòng)軸承的承載能力也越大。

(1)

式中：ψ為軸承的相對(duì)間隙；η為潤(rùn)滑油黏度。

摩擦因數(shù)直接影響到導(dǎo)軸承的摩擦和潤(rùn)滑性狀態(tài)，為了增大滑動(dòng)軸承的傳動(dòng)效率，通過(guò)降低摩擦因數(shù)f來(lái)減少其摩擦功耗。

(2)

其中:ξ是隨軸承寬徑比B/d而變化的系數(shù)，

(3)

在滑動(dòng)軸承的運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，軸承內(nèi)部潤(rùn)滑油溫度升高會(huì)導(dǎo)致黏度降低，減小軸承的承載能力。因此為了降低溫升，應(yīng)減少軸承的發(fā)熱量CQ。

(4)

式中:p為滑動(dòng)軸承的平均比壓;v為軸頸的圓周速度。

文中對(duì)滑動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，以承載系數(shù)CP最大、發(fā)熱量CQ最小和摩擦因數(shù)f最小為目標(biāo)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將以承載系數(shù)CP最大為目標(biāo)等效成以其倒數(shù)1/CP最小為目標(biāo)。

(5)

在滑動(dòng)軸承運(yùn)行中，應(yīng)保證軸承處于一定的潤(rùn)滑狀態(tài)。如圖2所示，在滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑中，兩條曲線可以描述為滑動(dòng)軸承接觸區(qū)域的潤(rùn)滑面。其中，h0為名義上的中心膜厚，定義為軸承與軸頸表面粗糙峰平均高度線的距離；h為軸承工作面上的膜厚;σ1和σ2分別為軸承和軸頸的表面粗糙度幅值,

圖2 軸承潤(rùn)滑工作表面Fig 2 Lubricated working surface of bearing

(6)

其中，采用膜厚比λ(其公式見(jiàn)式(7))來(lái)確定接觸面的潤(rùn)滑狀態(tài)[13]，如圖3所示。如果λ<1，則該狀態(tài)為邊界潤(rùn)滑，其中壓力由邊界膜承擔(dān)，軸承劇烈磨損。如果1<λ<3時(shí)，則處于混合潤(rùn)滑狀態(tài)，其中載荷由潤(rùn)滑劑壓力和粗糙峰接觸共同分擔(dān)。如果λ>3，為全膜潤(rùn)滑，運(yùn)動(dòng)副兩摩擦面完全被潤(rùn)滑膜隔開(kāi)，表面無(wú)黏著磨損。

圖3 滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑狀態(tài)Fig 3 Lubrication state of sliding bearing

(7)

因此，文中滑動(dòng)軸承的膜厚可靠性約束考慮為軸承需要建立全膜潤(rùn)滑狀態(tài)，其可靠度需大于一定的許用概率。即

(8)

式中：n為軸承轉(zhuǎn)速。

相應(yīng)地，滑動(dòng)軸承的比壓p應(yīng)保證在一定的范圍內(nèi)，其可靠性約束考慮為

p=Fv

G=p(pmin≤p≤pmax)≥R2

(9)

2 證據(jù)理論

證據(jù)理論是一種介于概率論與凸模型之間的描述不確定變量的非連續(xù)模型，是由DEMPSTER和SHAFER提出[14]。他們從數(shù)學(xué)形式上，與相關(guān)不確定性理論的聯(lián)系中得出了證據(jù)理論的諸多概念。

(1)基本可信度分配函數(shù)

設(shè)定Θ為變量X的所有可能值的一個(gè)集合，Θ中的每個(gè)元素相互獨(dú)立。在任一時(shí)刻X都只能取Θ中一個(gè)元素為值，稱Θ為X的區(qū)別框架，其基本可信度分配(BPA)

(10)

式中:?A?Θ，m(A)稱為A的基本可信度;m(φ)=0反映了對(duì)于空集不產(chǎn)生任何可信度。

(2)信度函數(shù)(Bel)和似真度函數(shù)(Pl)

(11)

在證據(jù)理論中，信任區(qū)間[Bel(A),Pl(A)]表示假設(shè)A的確認(rèn)程度。通常證據(jù)mass函數(shù)有多個(gè)來(lái)源，通過(guò)證據(jù)合成規(guī)則由一個(gè)mass函數(shù)表示出來(lái)。

3 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

3.1 基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

滑動(dòng)軸承的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證軸承潤(rùn)滑和比壓的失效概率在一定范圍內(nèi)，使軸承的性能獲得最優(yōu)解的優(yōu)化方法。考慮不確定因素對(duì)滑動(dòng)軸承的影響，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型一般通過(guò)以下公式來(lái)描述

s.tGi{gi(D,P)>0}≥Ri

Dmin

Pmin

(12)

基于概率-證據(jù)理論的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題涉及雙層嵌套優(yōu)化過(guò)程，外層為傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，內(nèi)層對(duì)包含隨機(jī)變量的約束進(jìn)行可靠性分析。由于證據(jù)變量的離散性，需要對(duì)每一個(gè)焦元進(jìn)行極值分析得到約束的失效概率。在外層的優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要迭代計(jì)算可靠性約束，整個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題求解效率非常低下。為了提高優(yōu)化的計(jì)算效率，利用一次二階矩法將概率約束轉(zhuǎn)化為等價(jià)的確定性約束，將優(yōu)化與可靠性分析兩個(gè)過(guò)程進(jìn)行解耦，先進(jìn)行可靠性分析，再進(jìn)行確定性優(yōu)化。

由于證據(jù)理論模型并非連續(xù)模型，無(wú)法獲取具體概率分布表達(dá)式以及其均值和標(biāo)準(zhǔn)差，因此采用均勻化方法[15]將證據(jù)變量均勻化，如圖4所示。

圖4 證據(jù)理論均勻化過(guò)程Fig 4 Uniformization process of evidence theory(a) evidence variables;(b)random variables

證據(jù)變量均勻化后隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

(13)

式中:m(At)為證據(jù)變量的焦元;ut和lt分別為其上下界;δi(u)為示性函數(shù)，

(14)

經(jīng)均勻化處理后,證據(jù)理論描述的不確定變量的均值與方差可以表示為

(15)

σ2=μ(u2)-(μ(u))2

(16)

式中：μ(u)為不確定變量的均值;σ2為不確定變量的方差;n為焦元數(shù)。

(17)

式中：gX為可靠性約束的極限狀態(tài)方程；Z為極限狀態(tài)方程gX在均值點(diǎn)X處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并保留一次項(xiàng)；Xi為隨機(jī)變量；x*為驗(yàn)算點(diǎn)；μz、σz為Z的均值和方差。

其可靠性約束條件轉(zhuǎn)化為

(18)

3.2 滑動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

基于概率-證據(jù)理論的滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)主要分為3個(gè)部分。首先根據(jù)滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑的設(shè)計(jì)要求確定設(shè)計(jì)目標(biāo)和設(shè)計(jì)變量。然后使用證據(jù)理論和概率論處理不確定性參數(shù)，建立可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化模型。最后通過(guò)一次二階矩法求解可靠性約束并進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，其計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化流程Fig 5 Reliability optimization process based on probability-evidence theory

4 數(shù)值算例

文中以某一滑動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)為例，其技術(shù)參數(shù)如表1所示。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，滑動(dòng)軸承的直徑是根據(jù)實(shí)際工程中軸承直徑確定，機(jī)器轉(zhuǎn)速?zèng)Q定軸頸的轉(zhuǎn)速，因此將軸承直徑、軸頸轉(zhuǎn)速作為設(shè)計(jì)常量。文中考慮寬徑比B/d和相對(duì)間隙ψ為可靠性優(yōu)化模型的確定性設(shè)計(jì)變量。因?yàn)榧庸ぞ鹊脑?，軸承表面粗糙度σ存在不確定性，其分布特性符合高斯分布。潤(rùn)滑油黏度η由其分子結(jié)構(gòu)及變化規(guī)律決定大小,同時(shí)也隨著溫度和壓力的作用而變化，存在認(rèn)知不確定性的情形。所以將軸承表面粗糙度σ和潤(rùn)滑油黏度作為優(yōu)化的不確定隨機(jī)參數(shù)。由于無(wú)法對(duì)潤(rùn)滑油黏度η進(jìn)行精確的概率描述，文中表示為證據(jù)理論的形式并求其在區(qū)間內(nèi)的概率分布。η的BPA結(jié)構(gòu)如表2所示。

表1 滑動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)技術(shù)參數(shù)Table 1 Technical parameters of sliding bearing test bed

表2 不確定性參數(shù)的BPA分布Table 2 BPA distribution for uncertain parameters

(19)

通過(guò)一次二階矩法將可靠性約束轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的確定性約束，利用遺傳算法對(duì)滑動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算得出的Pareto解如圖6所示。Pareto解分布較為均勻，表明由該算法得到的解的多樣性很好。文中在優(yōu)化設(shè)計(jì)中優(yōu)先考慮滑動(dòng)軸承的承載能力，同時(shí)兼顧發(fā)熱量和摩擦因數(shù)的影響。根據(jù)Pareto解分布圖，選取靠近中間的點(diǎn)作為文中滑動(dòng)軸承優(yōu)化目標(biāo)的非劣解，設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

圖6 Pareto解分布Fig 6 Distribution of Pareto solutions

表3 設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of design variables

從表3中可以看出，相比初始設(shè)計(jì)，確定性優(yōu)化使得優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量值接近滑動(dòng)軸承邊界約束值。由于工程應(yīng)用中存在加工難度和加工成本的原因，設(shè)計(jì)變量產(chǎn)生微小的波動(dòng)都會(huì)使優(yōu)化結(jié)果超出邊界約束條件導(dǎo)致滑動(dòng)軸承失效概率增加，因此需要對(duì)其進(jìn)行可靠性優(yōu)化。

為了驗(yàn)證文中優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性，將表3各參數(shù)代入到各個(gè)分目標(biāo)函數(shù),并且與傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化算法對(duì)比，其結(jié)果如表4、5所示。

表4 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of objective function

表5 可靠性優(yōu)化結(jié)果Table 5 Reliability optimization results

從以上結(jié)果得出，文中提出優(yōu)化設(shè)計(jì)方法結(jié)果與基于遺傳算法的確定性優(yōu)化結(jié)果基本一致。基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化后滑動(dòng)軸承的承載能力提高了60%，摩擦因數(shù)減小10%，發(fā)熱量降低6.9%，這說(shuō)明文中提出的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法是安全有效的。雖然相比于傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的承載能力減少5%，發(fā)熱量增加了3.05%，但是滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑可靠度提升28.2%，軸承的比壓可靠度提升9.4%。這是由于文中方法的隨機(jī)變量取到失效值即判定軸承的可靠性約束失效，求出的優(yōu)化結(jié)果具有一定的保守性。但是相對(duì)于確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)更加可靠，滑動(dòng)軸承的潤(rùn)滑性能更加穩(wěn)定。因此，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法雖然降低了部分最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，但是能更好地滿足滑動(dòng)軸承的潤(rùn)滑性能要求，減少由滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑失效帶來(lái)的劇烈磨損，提高其使用壽命，符合實(shí)際工程的需要。

5 結(jié)論

針對(duì)滑動(dòng)軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)中不確定性參數(shù)的影響，提出了一種基于概率-證據(jù)理論的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法。該方法利用概率論和證據(jù)理論充分考慮滑動(dòng)軸承的不確定信息，通過(guò)證據(jù)理論均勻化方法處理證據(jù)變量構(gòu)建滑動(dòng)軸承的可靠性優(yōu)化模型，使用一次二階矩方法轉(zhuǎn)化可靠性約束并優(yōu)化滑動(dòng)軸承的設(shè)計(jì)變量。通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化算法，結(jié)果表明，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅明顯提高了滑動(dòng)軸承的承載能力，降低摩擦阻力和發(fā)熱量，同時(shí)還滿足滑動(dòng)軸承處于全膜潤(rùn)滑狀態(tài)的要求，減小其摩擦損耗，具有很高的工程應(yīng)用價(jià)值參考。