改進的浮體運動響應間接時域計算方法

扈喆， 張曉瑩， 李妍， 李曉文

(集美大學 輪機工程學院，福建 廈門 361021)

浮體在波浪中的運動響應是船舶與海洋工程領域中的常見問題，一般常基于勢流理論求解此類問題。勢流理論可分為頻域和時域2類，其中頻域勢流理論經過多年發展已經成熟，且成為工程上分析浮體運動響應的常用方法。如Chen等[1]采用頻域勢流理論計算了柔性連接裝置約束下的相鄰浮體運動響應。Huang等[2]基于頻域勢流理論和模型試驗研究了某FPSO與生活船斜對接時登乘梯的運動響應。Ghafari等[3]采用頻域勢流理論研究了波浪與某半潛平臺和柱式FPSO的相互作用過程。王科等[4]采用基于預修正快速傅立葉變換的頻域勢流理論方法求解了多浮體鉸接薄板結構的運動響應。

一般頻域勢流理論僅給出浮體在某一特定頻率余弦波作用下的水動力系數和運動響應，相比之下時域勢流理論可計算浮體在任意波浪激勵下的運動響應。間接時域法是時域勢流理論中較常用的一種方法，其將頻域勢流理論計算結果轉化為時延函數，并據此建立浮體時域控制方程。如Choi等[5]基于間接時域法和模型試驗研究了張力腿平臺和半潛平臺的耦合運動。Fonseca等[6]采用間接時域法研究了一系列大波作用下某FPSO的水動力載荷。李志富等[7]采用基于間接時域法的勢流理論模擬了某半潛平臺在畸形波作用下的運動響應和系泊纜動張力響應。紀仁瑋等[8]基于間接時域法計算了振蕩浮子式雙浮體波浪能裝置的運動響應。陳曦等[9]基于間接時域法求解浮體運動并據此建立深海浮式風機-系泊耦合分析系統。章健軍[10]基于間接時域法求解浮體運動并據此建立了浮體-系泊系統運動響應異步耦合分析系統。

盡管間接時域法已經在解決實際問題中大量應用，但其在具體實施過程中存在依賴高頻阻尼成分、時域附加質量確定方法模糊等缺陷。這影響了間接時域法的計算精度，進而導致間接時域法的計算結果常與頻域結果存在一定差異[11-12]。研究表明這種差異很難通過縮短時間步長和提高積點個數等手段消除。針對上述問題，本文提出一種改進間接時域法，并通過數學推導證明改進間接時域法與頻域法結果的一致性。以某駁船為例，對比傳統間接時域法和改進間接時域法的計算結果，驗證改進時域法在求解精度方面的顯著提升。

1 間接時域法

1.1 傳統間接時域法

有關間接時域法的理論基礎已經得到充分研究討論，這里不再敘述。Cummins[13]提出采用脈沖頻譜方式建立浮體時域運動方程，即間接時域法。目前常用的間接時域法控制方程：

(1)

式中：M為浮體質量矩陣；m為時域附加質量矩陣；K(t)為時延函數；Kc為靜水回復力矩陣；X(t)為浮體運動位移；F為波浪力。K(t)、m和F計算公式為[14-19]：

(2)

m=Madd(∞)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Cadd為頻域阻尼矩陣；Madd為頻域附加質量矩陣；G為單位波幅規則波作用于浮體產生的波浪力(即RAO)。

對于式(2)和式(6)右端的積分，在t增大時被積函數迅速振蕩，若不加處理，會對積分精度產生影響。目前常用的做法為采用Filon積分公式進行積分[11-12,18]。時域求解格式常采用四階Runge-Kutta法[11-12,14,16]。

以上傳統間接時域法在實際實施過程中存在以下問題：1)計算時延函數K(t)時式(2)右端積分上限無法取到無窮大；2)計算附加質量m時，若采用式(3)則實際無法給出無窮大頻率對應的附加質量，若采用式(4)則右端積分上限無法取到無窮大，且ω0取不同值時得到的結果不同；3)計算g(t)時式(6)右端積分上限無法取到無窮大。

為解決積分上限無窮大的問題，最簡單的做法即為直接截斷，如令：

(7)

顯然直接截斷會導致精度損失，文獻[18]指出截斷頻率的選取至關重要，并采用了多種函數形式對截斷頻率外的阻尼進行外推。

高頻截斷精度損失問題導致了傳統間接時域法在實施過程中產生與頻域法相悖的結論。例如對于任意頻率為ω1的單色規則波，由頻域法可知浮體的運動響應僅與該頻率下的阻尼和附加質量即Cadd(ω1)和Madd(ω1)有關，原則上任何其他頻率下的水動力系數均不應對ω1頻率下的結果產生影響。而傳統間接時域法的高頻截斷精度損失問題表明高頻阻尼的數值將影響到ω1頻率下的計算結果，與頻域法的結論不符。

1.2 改進間接時域法

針對傳統間接時域法的缺陷，本文提出一種改進間接時域法。改進間接時域法不采用Filon積分，對積分區間高頻截斷后的離散形式表達式為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

ωj=(j-1)Δω，j=1,2,…,N

(14)

顯然改進間接時域法計算式(8)～(14)是間接時域法理論表達式(1)～(6)的數值實現，只是舍棄了式(1)中的時域附加質量項，改用類似時延函數K(t)的表達形式，即式(8)中左端第2項。

盡管式(8)中包含了不同頻率的水動力系數，但與傳統間接時域法不同，其計算實施結果與頻域法完全相符，下面給出證明。

1.3 頻域一致性證明

此時暫不考慮時間導數離散帶來的誤差，以頻率為ωk的單色規則波引起的浮體運動響應為例，設η(t)=eiωkt，則:

(15)

當l≠k時:

(16)

當l=k時:

(17)

故式(15)可化為:

(18)

(19)

注意到式(16)和(17)，則式(19)可進一步化簡為：

(20)

同理，有：

(21)

綜上，在受η(t)=eiωkt波浪激勵時，t=tn時系統控制方程(8)退化為：

KcX(tn)=G(ωk)η(tn)

(22)

這與頻域控制方程完全一致。對于多頻率成分波浪的情形，根據疊加原理，采用上面推導過程，也可以退化為頻域控制方程。

2 計算結果與討論

以某駁船為例，驗證改進間接時域法的在求解精度上的優越性。駁船主要參數見表1。在駁船底部和側面外板處劃分網格，由四邊形和三角形網格組成，平均網格尺寸1.5 m×1.5 m，網格數2 056，節點數2 133，濕表面模型與坐標系示意圖如圖1。

圖1 駁船濕表面Fig.1 Wet surface diagram of the barge

表1 駁船主要參數表Table 1 Main parameters of the barge

首先采用頻域求解器WAMIT開展頻域分析計算。浪向取0°、45°和90°，頻率取0.05～10 rad/s，間隔0.05 rad/s。圖2以橫搖為例，給出了頻域分析得到的附加質量、阻尼，以及90°浪向下X方向波浪力矩RAO。

圖2 90°浪向下駁船橫搖水動力系數Fig.2 Roll hydrodynamic coefficient of the barge under 90° wave direction

2.1 算例一

本例選取90°浪向下，頻率為0.05、0.5、1.0、2.0和6.0 rad/s的5組單位波幅波浪，采用傳統間接時域法和改進間接時域法分別計算橫搖運動響應，并與頻域結果進行對比。圖3給出了各工況下橫搖角時歷曲線。表2給出了傳統間接時域法和改進間接時域法相對頻域方法的峰值誤差，即(Atmax-Afmax)/Afmax，其中Atmax為傳統或改進間接時域法計算得到的橫搖角振動幅值，Afmax為頻域方法計算得到的橫搖角振動幅值。

圖3 90°浪向下駁船橫搖角頻域與時域計算結果Fig.3 Frequency domain and time domain calculation results of the barge′s roll angle under 90° wave direction

表2 橫搖時歷曲線峰值相對誤差Table 2 Peak relative error of rolling time history curve

如圖3所示，在中等波頻(0.5 rad/s和1.0 rad/s)下傳統間接時域法和改進間接時域法的計算結果均與頻域結果吻合較好；然而對于低頻(0.05 rad/s)和高頻波浪(2.0 rad/s和6.0 rad/s)，傳統間接時域法的計算結果與頻域結果存在顯著差別，而改進間接時域法的計算結果仍保持與頻域結果的良好吻合。從表2的誤差對比中可更清楚地看到改進間接時域法的精度優勢。對于本例，采用相同的時間步長，對于中等頻率波浪，改進間接時域法的計算誤差比傳統間接時域法小2～3個量級，對于低頻與高頻波浪，改進間接時域法的計算誤差比傳統間接時域法小4～6個量級。

值得一提的是，忽略浮點數運算誤差，改進間接時域法計算誤差的主要來源為時域數值離散誤差，雖然模擬過程中時間步長均為0.012 5 s，然而無量綱時間步長(時間步長/波浪周期)從9.95×10-5增加到1.19×10-2，這導致了表2中改進間接時域法誤差自上至下依次增大。此外，盡管傳統間接時域法在低頻和高頻波浪下的相對計算誤差較大，但絕對計算誤差并不大。因此傳統間接時域法可用于處理一般浮體運動響應問題。相對誤差較大是由于在低頻和高頻波浪下響應幅值本身不大，而在計算相對誤差時響應幅值作為分母，放大了計算結果。

2.2 算例二

在算例一的計算中，傳統和改進間接時域法的頻率計算范圍均為圖2的橫坐標范圍，即0～10 rad/s。為驗證改進間接時域法不受高頻截斷影響，在本算例中對圖2中頻率大于1.5 rad/s的曲線部分進行截斷。基于截斷后的水動力系數曲線，采用傳統與改進間接時域法計算駁船橫搖運動響應，并與頻域結果對比。浪向取90°，波浪頻率取0.05、0.5、1.0、2.0和6.0 rad/s 5組，時間步長為0.012 5 s。

圖4給出了各計算工況下的橫搖角時歷曲線。表3給出了傳統間接時域法和改進間接時域法相對頻域方法的峰值誤差。注意到高頻截斷后頻率大于1.5 rad/s的水動力系數和波浪載荷均為0，即此時浮體無運動響應。因此，2.0 rad/s和6.0 rad/s頻率下的頻域計算結果為0，這將導致相對誤差計算無意義(除數為0)，故此時取絕對誤差值。

圖4 90°浪向下駁船橫搖角頻域與時域計算結果(水動力系數高頻截斷)Fig.4 Frequency domain and time domain calculation results of barge′s roll angle with 90° wave direction (high frequency truncation of hydrodynamic coefficient)

表3 橫搖時歷曲線峰值誤差Table 3 Peak error of rolling time history curve

由圖4可見高頻截斷后改進間接時域法的計算結果仍然保持與頻域結果高度吻合，相比之下，傳統間接時域法的計算精度明顯下降。對比表2和表3，可見無高頻截斷時，傳統間接時域法在中等波頻(0.5 rad/s和1.0 rad/s)下可以給出較滿意的計算結果，而水動力系數高頻截斷后，同樣頻率下計算誤差大幅度增加，表明此時傳統間接時域法失效。與之相反，改進間接時域法的計算結果仍然具有高精度。特別地，當激勵波頻超過水動力系數對應頻率上限時(2.0 rad/s和6.0 rad/s)，改進間接時域法給出的結果十分接近0。

經驗表明，不同截斷頻率對傳統間接時域法的計算結果有一定影響，一般截斷頻率越大(即保留的RAO數據越充分)，傳統間接時域法的計算結果與頻域結果吻合越好。但截斷頻率取足夠大后，傳統間接時域法的計算結果趨于穩定，不再改變，但與頻域結果的差異始終存在。相比之下，改進間接時域法不受截斷頻率影響，其結果與頻域結果高度吻合。

2.3 算例三

本算例驗證改進間接時域法求解不規則波下浮體運動響應的準確性。波譜取雙參數PM譜，根據駁船作業所在海域的實測情況，選取5種典型海況，見表4。

表4 駁船工作海域典型海況Table 4 Typical sea conditions of the barge′s working area

圖5給出了各計算海況下的橫搖角時歷曲線。可見改進間接時域法的計算結果與頻域法計算結果高度吻合，傳統間接時域法計算結果與頻域法計算結果在趨勢上基本吻合，但曲線峰值大小存在差別，個別峰值差別較大。圖6給出了各計算海況下的橫搖響應譜。改進間接時域法得到的響應譜依然與頻域計算結果高度吻合，傳統間接時域法在海況Ⅰ～Ⅳ下得到的響應譜與相應頻域結果吻合良好，但響應譜峰值偏大。對于海況Ⅴ，傳統間接時域法得到的響應譜與頻域結果存在較大差異，這是由于海況Ⅴ的波頻成分偏大，傳統間接時域法存在一定誤差。

圖5 90°浪向不規則波作用下駁船橫搖角頻域與時域計算結果Fig.5 Frequency domain and time domain calculation results of the barge′s roll angle under 90° wave direction irregular waves

圖6 90°浪向不規則波作用下駁船橫搖響應譜Fig.6 Roll response spectrum of the barge under 90° wave direction irregular wave

表5 橫搖響應譜整體相對誤差Table 5 Relative errors of roll response spectrum

3 結論

1)改進間接時域法具有更高的計算精度，其計算結果與頻域法得到的結果高度吻合。

2)傳統間接時域法在計算低頻和高頻問題時相對誤差增大，相比之下，改進間接時域法在計算低頻和高頻問題時不會增大誤差。

3)傳統間接時域法的計算結果受高頻阻尼的影響。當高頻阻尼截斷時，低頻條件下的計算結果也會受到影響，進而誤差增大。相比之下，改進間接時域法不受高頻截斷影響，適用性更強。