光學軟件熱分析方法和消熱差鏡頭設計

石 佳,余飛鴻

(浙江大學光電科學與工程學院,浙江 杭州 310027)

1 引 言

光學系統的性能隨著溫度變化而變化,溫度的變化使系統的最佳像面的位置發生偏離,并且破壞原有的像差校正狀態。這種由溫度變化引起的性能衰減統稱為光學系統的熱效應或溫度效應。

通常,設計一個光學系統時,僅對20 ℃的單一環境溫度進行設計。但是如果一個光學系統的工作環境溫度變化范圍較大,則整個系統的光學、結構參數都會發生較大的變化,從而降低光學系統的成像質量。所以,對于這種在溫度范圍變化較大的環境中使用的光學系統,需要在設計時就考慮到溫度變化造成的影響。即采取一定的手段使光學系統能在一個溫度變化較大的范圍內保持良好的光學系統性能。

國外對熱分析研究起步較早。1981年,Miller[1-2]等人首次提出了熱-結構-光集成分析方法(the structure-thermal-optical integrated analysis,STO),它開創性地結合了光學、機械學、熱學三個學科,在三者結合的基礎上進行了優化設計的循環過程,實現了以集成的觀點對光機系統進行分析的目的,揭開了“光機熱集成分析”的序幕。1984年,Gibbons[3]通過阿貝曲線進行紅外溫度自適應系統的設計。1990年,Rayces和Lebich[4]使用了γV-V圖,通過選擇合適的材料,設計了可以進行溫度補償的三片式光學系統。1991年,Rogers[5]通過試探的方法,尋求無熱化光學系統中合適的材料組合。1992年,Yasuhisa Tamagawa等人[6]提出了一種利用T-C圖的新方式去尋找同時消熱差和消色差的材料組合,并于1994年[7]和1996年[8]利用該方法尋求了合適的材料組合,對紅外光學系統進行了無熱設計。

國內在21世紀之前對熱分析的研究較少,21世紀初,中國科技大學精密機械與精密儀器系[9]、北京理工大學光電工程系[10-12]、北京空間機電研究所[13]、天津津航技術物理研究所[14]、浙江大學[15-19]、華中光電技術研究所[20]、西安應用光學研究所[21-24]、浙江師范大學[25]等單位對光學系統的無熱化設計展開了研究,并對紅外鏡頭以及衛星CCD相機等光學系統進行了無熱化設計。中國科技大學精密機械與精密儀器系的胡玉禧[9]等人使用T-C圖尋求可以互補熱差的材料組合,設計了同時消熱差和消色差的三片式光學系統。北京理工大學的李林[10]等人研究了環境溫度變化對光學系統性能產生的影響,設計了光學熱效應分析軟件。北京空間機電研究所的黃穎[13]等人論述了遙感衛星CCD相機光學系統的熱補償設計方法。天津津航技術物理研究所的吳曉靖等人[14]將無熱化光學系統設計方法與變焦系統設計方法進行類比,將光學系統的無熱化設計方法等同于廣義變焦的設計方法。浙江大學的奚曉[15-17]等人研究了紅外光學系統的無熱化設計,文獻[15]和文獻[16]分別采用了光學被動式無熱技術和機械(電子)主動式無熱技術進行無熱化設計。華中光電技術研究所的楊長城[20]等人研究了折射系統和折/衍射混合系統的無熱化設計方法,并進行了紅外波段的折射系統和折/衍混合系統的無熱設計。西安應用光學研究所的焦明印[21]使用近軸成像公式,推導出光學系統實現熱補償的通用條件。西安應用光學研究所的羅傳偉[22]等人提出一種在Code V中分析和計算折射率溫度效應的新方案。西安應用光學研究所的王學新[24]等人通過研究消熱差方法,提出了光學被動式和機電式組合消熱差的方法,即先使用光學被動消熱差方法得到合理的消熱差材料組合,降低熱差,然后剩余像差通過機電消熱差的方法消除。浙江師范大學的錢義先[25]分析了航空相機光學系統的無熱化設計,使用廣義變焦系統的設計方法來進行可見光折射系統的無熱化設計。

過去,進行熱分析的光學系統大多為紅外鏡頭、航天航空鏡頭等。隨著塑料鏡片的廣泛使用以及光學系統使用環境的多樣化,目前,更多種類的鏡頭需要在環境溫度變化較大的范圍內保持良好的光學性能。現在已有較多文獻資料對紅外鏡頭、航空航天鏡頭進行熱分析,但對車載鏡頭、監控鏡頭等其他種類的鏡頭的研究資料較少,且目前它們同樣需要在較大的溫度范圍內工作,為了消除溫度效應對光學系統產生的影響,需要使用無熱技術對系統進行補償,使光學系統在溫度變化范圍較大的情況下都能保持較好的成像質量,從而使光學系統能夠在較大范圍的溫度環境下正常工作。

2 熱分析的相關知識

2.1 光學元件的熱分析參數

1)折射率溫度系數dn/dT

折射率與溫度有關,單位溫度引起折射率的變化稱為折射率溫度系數。

光學材料的絕對折射率隨著溫度變化的變化值由式(1)給出,該公式是根據Sellmeier擬合公式推導而來,其中各個系數通過擬合實際材料數據確定:

(1)

式中,n為光學材料在某溫度下的絕對折射率；ΔT表示溫度的變化量；其他6個常數由材料制造商提供,均為折射率公式的擬合參數,D0、D1、D2的單位分別為℃-1、℃-2、℃-3,E0、E1的單位分別為μm2/℃、μm2/℃2,λtk的單位為μm,一般位于0.08～0.33之間。

將式(1)兩邊對T進行求導,得到光學材料的絕對折射率關于溫度的導數,即絕對折射率溫度系數,如式(2)所示:

(2)

2)熱膨脹系數

光學材料的熱膨脹是指由于溫度變化引起的光學材料的熱脹冷縮現象,以熱膨脹系數α表示,表示在壓強一定時,單位溫度變化引起的光學材料的長度或者體積的變化,單位為ppm/℃,1ppm=1×10-6。

2.2 光學系統的結構參數變化

1)光學元件的曲率半徑、中心厚度隨溫度的變化

光學元件的曲率半徑、中心厚度隨溫度的變化是由光學材料的熱脹冷縮引起的,與光學材料的線性熱膨脹系數α0有關[26]。當溫度變化后,光學元件的曲率半徑和中心厚度變為:

R′=R+dR=R+R·α0·dT

=R(1+α0·dT)

(3)

D′=D+dD=D+D·α0·dT

=D(1+α0·dT)

(4)

式(3)和式(4)中,R,D和R′,D′分別為溫度變化前和溫度變化后的曲率半徑和中心厚度,dT為溫度變化量,α0為光學材料的線性熱膨脹系數。

非球面示意圖如圖1所示。二次曲面的面型不會隨著溫度變化而發生變化,旋轉偶次非球面的曲面方程如式(5)所示。

圖 1 非球面示意圖Fig.1 Aspheric diagram

(5)

式中,h為曲面上的點到光軸的距離；z為該點到頂點的沿軸距離；c為頂點處的曲率；k為二次曲面常量。

非球面的二次曲面常量k不會隨著溫度變化而變化,頂點處的基本曲率半徑的變化如式(3)所示,高次方的系數的變化如式(6)、式(7)、式(8)所示:

(6)

(7)

(8)

……

2)鏡片間隔隨溫度的變化

鏡片間隔隨溫度的變化與鏡筒、隔圈等零件材料的熱脹冷縮有關。由于光學設計時只考慮鏡片間的中心間隔,而鏡筒、隔圈的變形會引起邊緣間隔的變化,必須將其換算成中心間隔的變化量才能進行熱分析和設計。這個變化量可以按照以下方式計算:

假設前一片光學元件的后表面的曲面方程如式(9)所示:

(9)

后一片光學元件的前表面的曲面方程如式(10)所示:

(10)

假設它們之間由一個隔圈隔開,則隔圈與前后兩個表面的接觸點的高度為H1和H2。在接觸點前后兩個表面的矢高(即該點與曲面頂點的沿軸距離)分別如式(11)和式(12)所示:

(11)

(12)

從式(11)與式(12)可以看出,光學元件的矢高與曲率同號。曲率為正,則矢高大于零；曲率為負,則矢高小于零。隔圈的厚度如式(13)所示:

L=D+z2(H2)-z1(H1)

(13)

式中,L為隔圈的厚度；D為相鄰光學元件的中心間隔。

鏡片間隔示意圖如圖 2所示。當溫度從T→T′=T+dT時,隔圈的厚度和半直徑的變化如式(14)和式(15)所示：

圖2 鏡片間隔示意圖Fig.2 Schematic diagram of lens interval

L′=L+dL=L+L·αm·dT

=L(1+αm·dT)

(14)

H′=H+dH=H+H·αm·dT

=H(1+αm·dT)

(15)

式(14)和式(15)中,L和L′分別為熱分析前后的隔圈的厚度,H和H′分別為熱分析前后的隔圈的半直徑,αm為隔圈材料的線性熱膨脹系數。

而在接觸點H′處的前后兩個表面的矢高分別如式(16)和式(17)所示:

(16)

(17)

式(16)和式(17)中,曲面方程中的系數的變化可以參見式(6)、式(7)、式(8)。

因此,溫度變化后,兩個光學元件的中心間隔如式(18)所示:

D′=L′+z1(H′)-z2(H′)

(18)

上述方程描述了光學系統的熱模型,在進行光學系統的無熱化設計時,需要利用此模型進行模擬分析,得到不同溫度時的成像情況。

3 Code V熱分析特點和改進方式

3.1 Code V熱分析特點

Code V熱分析時,半徑變化的計算是基于式(3)和(5),即利用光學元件的熱膨脹系數和初始半徑計算半徑隨溫度的變化；元件厚度和相鄰元件間隔變化的計算是基于式(4)進行計算,即利用光學元件的熱膨脹系數和初始元件厚度計算元件厚度隨溫度的變化、利用隔圈或鏡筒的熱膨脹系數和初始元件中心間隔計算相鄰元件間隔隨溫度的變化。但是,根據前面所述的光學系統的熱模型,計算相鄰元件間隔隨溫度的變化時,需要先計算間隔處鏡筒或者隔圈的變形,再將其換算成相鄰元件中心間隔的變化量,換言之,相鄰元件間隔隨溫度的變化與鏡筒或隔圈的熱膨脹以及元件表面形狀有關,因此僅通過式(4)計算的相鄰間隔變化與實際情況存在一定誤差,是不準確的。

光學材料折射率隨溫度的變化量可以通過兩種方法計算:第一,如果Code V玻璃庫中包括所需分析材料的熱分析參數,則直接利用式(2)計算出材料的折射率溫度系數,以此得到光學材料在高溫和低溫下的折射率,并以自定義材料的形式儲存；第二,如果Code V玻璃庫中沒有包含所需分析材料的熱分析參數,則需要在therm_env.seq文件中輸入材料的折射率溫度系數,以此得到光學材料在高溫和低溫下的折射率。第一種方法得到的折射率是直接根據材料的熱分析參數計算出來的,與實際相近,第二種方法是通過直接輸入材料的折射率溫度系數進行計算,由于材料的折射率溫度系數是溫度的函數,所以單憑某一溫度下的折射率溫度系數計算出來的折射率與實際情況存在一定差異,存在誤差,在比較小的溫度范圍內,折射率溫度系數變化較小,因此由此導致的誤差可以忽略,但是在溫度范圍較大的情況下,最高溫度對應的材料折射率溫度系數與最低溫度對應的材料折射率系數相差較大,折射率溫度系數的變化不能忽略,因此計算出來的材料在高溫時和低溫時的折射率與實際情況差異較大,導致在較大溫度范圍時熱分析結果不準確。

3.2 光學元件間隔計算改進

3.2.1 典型裝配方式

假設鏡片與鏡筒之間膠合方式為彈性膠合,在溫度升高情況下,當鏡筒膨脹的速度比鏡片膨脹的速度快時,鏡筒和鏡片之間產生的間隔會由膠合層填滿,如圖 3所示,圖中展示的是兩個相鄰表面都是凹面的情況,相鄰鏡片通過隔圈固定在鏡筒中,因此隔圈和鏡筒在相鄰表面邊緣處的軸向長度決定了相鄰鏡片的中心間隔。

圖3 裝配方式一Fig.3 Assembly method 1

圖3只是展示了最簡單的一種裝配方式,即鏡筒和隔圈與相鄰表面相接觸,圖 4展示了隔圈與不相鄰的兩個表面相接觸的情況,圖4中,表面2和表面4的中心間隔是受鏡筒的熱膨脹系數和接觸兩個表面的鏡筒的軸向長度決定的,而表面2和表面4的表面頂點的位移是由光學材料的熱膨脹系數和表面矢高決定,最后通過計算出表面2和表面4的頂點距離,推斷出表面1和3的頂點移動距離。

圖4 裝配方式二Fig.4 Assembly method 2

圖5展示了隔圈不與相鄰表面相接觸的一種特殊情況,此時,隔圈與其中一個表面的凸面相接觸,在這種情況下,表面頂點移動距離的計算將會更加復雜。

圖5 裝配方式三Fig.5 Assembly method 3

3.2.2 宏語言編寫原理

當溫度從當溫度從T→T′=T+dT時,鏡片的半直徑的變化如式(19)所示:

Hg′=Hg+dHg=Hg+H·α0·dTg

=Hg(1+α0·dT)

(19)

式中,Hg和Hg′分別為溫度變化前和溫度變化后的鏡片的半直徑；dT為環境溫度的改變量；α0為光學材料的線性熱膨脹系數。

當溫度從T→T′=T+dT時,鏡片的半直徑的變化如式(20)所示:

Hh′=Hh+dHh=Hh+Hh·αm·dT

=Hh(1+αm·dT)

(20)

式中,Hh和Hh′分別為溫度變化前和溫度變化后的鏡片的半直徑,dT為環境溫度的改變量；αm為隔圈的線性熱膨脹系數。

計算隔圈與鏡片接觸點處的矢高時,首先需要假設鏡片表面與隔圈一直保持接觸。在溫度升高的過程中,鏡筒會在沿軸方向上和垂軸方向上都發生膨脹,此時隔圈與鏡片的接觸點會遠離軸線。

進行相鄰元件間隔變化的計算時,需要根據光學系統的熱模型,綜合考慮鏡筒或者隔圈的變形、以及鏡片表面形狀。圖6為相鄰兩個光學元件的熱模型,相鄰元件中心間隔與隔圈厚度以及兩元件相鄰表面矢高的關系式如式(21)所示:

圖6 相鄰光學元件間隔Fig.6 Schematic diagram of adjacent optical elements

D=L+z1-z2

(21)

其中,D是相鄰元件中心間隔；L是隔圈厚度；z1是前一片元件后表面的矢高；z2是后一片元件前表面的矢高。

首先,需要計算鏡片半徑R、隔圈厚度L和半直徑H的變化,計算公式如式(3)、式(14)和式(15)所示。

然后,計算出兩個相鄰表面各自矢高的變化,如果鏡片表面為凹面,則直接利用光學元件的熱膨脹系數和原始矢高進行計算,初始鏡片表面與隔圈的接觸點的矢高如式(22)所示,溫度變化后接觸點的矢高如式(23)所示：

(22)

z′=z(1+α0·dT)

(23)

如果鏡片表面為凸面,假設隔圈和鏡片表面保持接觸,則溫度變化后鏡片表面與隔圈的接觸點會隨著隔圈的熱膨脹發生變化,此時該點處矢高如式(24)所示：

(24)

最后根據式(25),將鏡筒或者隔圈的變形換算成相鄰光學元件間隔的變化量:

(25)

3.2.3 實現方式

為了能計算各元件前后表面的矢高,首先需要確定各元件前后表面邊緣的位置,利用Code V內置的sagf()函數得到表面邊緣處的矢高,然后在每個表面處插入兩個虛擬面,其中一個表面表示邊緣處的位置,另一個表面的作用是將當前坐標返回到表面頂點處。

在添加虛擬面時,需要對單透鏡、雙膠合透鏡和光闌等表面進行分情況討論,以保證每個元件前后表面都正確添加2個虛擬面,并且沒有多余的虛擬面存在。

3.3 光學材料折射率計算改進

3.3.1 計算理論

光學材料的折射率溫度系數如式(2)所示,圖 7給出了幾種肖特材料的折射率溫度系數隨溫度變化的曲線。

圖7 絕對折射率溫度系數Fig.7 absolute dn/dT

從圖7中可以看出,許多材料的折射率溫度系數與溫度相關,并且隨溫度變化會發生較大變化,甚至在-100 ℃至20 ℃之間許多材料的折射率溫度系數的正負號發生了變化。因此,在一個較寬的溫度范圍內僅僅運用20 ℃時的折射率溫度系數得到的結果是不準確的。為了解決這個問題,可以分別計算出各個溫度下的折射率溫度系數,再依次進行計算各個溫度下的折射率,具體而言,就是從20 ℃開始,利用式(2)計算出20 ℃時的折射率溫度系數,然后利用20 ℃時的折射率和折射率溫度系數,計算出19 ℃時的折射率和折射率溫度系數,再利用19 ℃時的折射率和折射率溫度系數,計算出18 ℃時的折射率和折射率溫度系數,重復步驟直到達到所需分析的最低溫度,然后再從20 ℃重新開始,利用20 ℃時的折射率和折射率溫度系數,計算出21 ℃的折射率和折射率溫度系數,重復步驟直到達到所需分析的最高溫度。在此過程中,可以減小計算溫度的間隔以進一步提高精確性。值得注意的是,在圖 7中可以看出,許多材料在溫度0 ℃以下時,其折射率溫度系數小于零,這就有可能導致在低溫時,該材料的折射率甚至小于20 ℃時的折射率。

3.3.2 宏語言編寫原理

在Code V軟件中,對于軟件內未包含熱分析參數的材料,不能直接使用添加的光學材料的熱分析參數直接計算不同溫度下的折射率,而需要通過計算光學材料在指定溫度下的折射率溫度系數從而獲得不同溫度下的折射率。

Code V軟件計算塑料材料不同溫度的折射率的步驟如下:

①在dndt_constants.dat內添加所缺少的材料的折射率系數與溫度系數；

②利用dndtcalc.seq宏計算材料的折射率溫度系數；

③將計算所得的折射率溫度系數值添加到therm_env.seq宏內；

④利用thermpik.seq宏進行熱分析,生成多個溫度配置。

⑤根據上述光學材料折射率的計算理論,自定義宏文件,實現讀取光學材料的熱分析參數,并計算出材料在各個溫度下的折射率溫度系數,然后進一步推導出材料在高低溫時對應各波長的折射率,利用計算的數據生成新的自定義材料,并替換運行thermpik.seq宏時自行生成的材料。

3.4 鏡頭熱分析優化步驟

假設需要進行無熱化設計的光學系統的使用溫度范圍是-20 ℃～85 ℃,則在無熱化的設計過程中,選出三個溫度作為三個變焦配置的溫度,通常情況下選擇常溫20 ℃、最高溫度85 ℃和最低溫度-20 ℃,即初始變焦配置的溫度設置為常溫20 ℃,第二、第三變焦配置的溫度分別設置為最高溫度85 ℃和最低溫度-20 ℃。

然后,將不同變焦配置之間建立起聯系,即建立不同變焦配置中鏡片的半徑、厚度、間隔和材料之間的聯系。可以使用Code V中PIK命令建立各個配置之間的聯系。由于Code V中PIK命令只能設置線性關系,因此需要對上述間隔計算公式進行近似。將矢高變化都近似為凹面時的情況,如式所示。此時,矢高隨溫度線性變化,可以使用Code V中的PIK命令對不同溫度下矢高建立聯系。

鏡片元件間隔厚度隨溫度線性變化,在程序中,具體的命令語句如下:

pikthis^sz^zthis^sz1 ^r0

thi為厚度,^s為表面序號,^z為配置編號,^r為[1+(第^z配置溫度-初始溫度)×熱膨脹系數]。

在進行熱分析并修正光學材料的折射率之后,需要對鏡頭的三個變焦位置(三個不同溫度下的系統)進行優化設計。

1) 核對鏡頭數據,將各鏡片的半徑、厚度和間隔厚度設置為變量。

2) 修改優化函數,因為插入虛擬面之后原先實際鏡片的表面序號會發生改變,因此需要進行調整以保證能正確優化。

3) 添加邊緣間隙自定義約束,因為在插入虛擬面后,一般約束中的最小邊緣厚度設置不能正確約束邊緣間隔,所以需要添加自定義約束以控制各鏡片邊緣間隙滿足加工要求。

假如第i面為前一組鏡片的后表面,第j面為后一組鏡片的前表面,則邊緣間隙自定義約束如下,表示第i面到第j面的邊緣間隔:

@ET_i_j==(ETSi)+(OALS(i+1)..(j-1))+(ETS(j-1))

4) 添加誤差函數權重進行優化,對三個配置(三個不同溫度下的系統)的像質進行優化,使得在整個工作溫度范圍內系統像質均滿足要求。

5) 將添加的虛擬面刪除。

6) 重新計算優化后鏡頭各元件表面的矢高,并添加虛擬面,再次進行鏡頭的熱分析。

7) 檢查鏡頭在整個溫度范圍內的像質,如果不滿足要求,則重新進行第五步和第六步,如果滿足要求,則完成鏡頭的無熱化設計。

4 消熱差鏡頭的優化設計

4.1 設計指標

根據設計規格要求,鏡頭的設計參數如表1所示。

表1 消熱差鏡頭的設計指標Tab.1 Specifications of the athermal lens

4.2 Code V無熱化分析和優化結果

根據設計指標,選取合適的初始結構,利用Code V軟件進行優化,然后通過改進的Code V熱分析優化方式進行無熱化設計,無熱化鏡頭的最終優化設計結果如圖8所示。

圖8 消熱差鏡頭的二維圖Fig.8 2D plot of the athermal lens

經過無熱化優化設計,鏡頭系統各個波段在-20 ℃～85 ℃溫度范圍內成像質量良好。圖 9(a)、(b)和(c)分別為溫度為20 ℃、-20 ℃和85℃時的MTF曲線。可以看出當溫度為20 ℃時,各視場的MTF曲線在160 lp/mm處均大于0.3,高溫情況比低溫情況的MTF稍差,在溫度為-40 ℃時,邊緣視場的MTF在160 lp/mm處降至0.24,60°以內的視場的MTF在160 lp/mm處仍在0.4以上,在溫度為85 ℃時,邊緣視場的MTF降至0.16,60°以內的視場的MTF在160 lp/mm處仍在0.3以上。

圖9 消熱差鏡頭的MTF曲線Fig.9 MTF of the athermal lens

根據瑞里判據,點列圖的RMS直徑需要小于兩倍像元尺寸,相鄰兩個像點才能被分辨。圖 10(a)、(b)和(c)分別為溫度為20 ℃、-20 ℃和85 ℃時的點列圖,可以看出當溫度為20 ℃時,各視場的點列圖的RMS直徑小于3 μm,各個像點之間可以被傳感器所分辨,當溫度為-20 ℃或者85 ℃時,各視場的點列圖的RMS直徑基本在兩倍像元尺寸以內,即小于6 μm。因此,成像質量滿足傳感器的分辨率。

圖10 消熱差鏡頭的點列圖Fig.10 Spot diagram of the athermal lens

5 總 結

本篇文章主要說明了光學系統熱分析和無熱化設計方法的相關知識,首先介紹了光學元件的熱分析參數,分析了光學系統結構參數隨溫度變化的情況,然后指出了Code V軟件在熱分析功能上的不足之處,從光學元件間隔計算和光學材料折射率計算兩個方面說明了計算理論,并且利用軟件的宏語言進行編寫實現,最后使用Code V軟件進行了消熱差鏡頭的優化設計,設計結果在-20 ℃～85 ℃之間成像質量良好,完成了鏡頭的無熱化設計。