本體性知識演繹：追求更為合理的知識理解邏輯

浙江省溫嶺市橫湖小學 王巧玲

我們很多時候都采用“約定”的方式來為學生營造概念理解氛圍。然而，在知識爆炸的信息時代，隨著學生年齡的不斷增長、獨立思辨能力的逐漸提升，孩子們總會質疑：“為什么會是這樣？”“一定是這樣嗎？”因此，我們在日常教學中必然要引導學生理解這些“約定”背后的道理，追求更為合理的知識理解邏輯，使學生知其然，更知其所以然。

一、有無相間，體現緩坡教學

問題：為什么研究因數和倍數的時候要說明范圍是非零自然數，不能是小數或者是分數嗎？

在學生的認知中，在四年級下冊學習“乘除法關系”時，乘號兩邊的數都叫因數。但書本例題中，8 和2.5不能稱為26 的因數的原因是什么？教材是通過紅色字體列出“注意：為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是自然數（一般不包括0）”。但我們總不能用“這是規定”“我們約定不研究非零自然數之外的其他數”之類的理由，強制確定研究范圍吧！因此，教師應該讀懂教材，引導學生質疑“為了方便”這四個字的意思—— 如果研究范圍擴大，會給我們帶來怎樣的不方便？在此基礎上，我們不妨以12÷2=6為例開展教學，讓學生思考：如果考慮小數，還可以列出12÷（ ）=（ ）？學生想出：12÷0.2=60，12÷0.02=600，12÷0.002=6000……結果是12 的因數有0.2 和60；0.02 和600；0.002 和6000……因數的個數變成無限，給研究因數帶來了很多不便。至此，我們可以引導學生感知出無限數量的因數不利于我們研究因數和倍數的特性，也將直接影響后面的質數與合數等其他內容的學習，所以應該予以規避。

二、虛實結合，打通思維斷層

問題：直線比線段長嗎？

在教學“線段、直線、射線”一課后，練習中出現上述長度比較的練習。其實，這一本體性知識的演繹要回顧小學階段“空間與圖形”板塊中一直忽視的基石——點、線的形成過程。我們可以引導學生將乒乓球、籃球、地球都想象成一個點，由此建立“點”的認識的前提條件——點是沒有大小的，只要滿足基礎形象都可以進行想象加工。之后，我們讓點開始運動，讓學生用手勢描繪點的運動軌跡，從而認識到“線是點運動后留下的軌跡，有直的線，也有曲的線”。接著，我們可以遵循數形結合的方式，將線的長度與自然數的認識相映照——先畫5 厘米的線段，再延長畫7 厘米的線段，再延長畫9 厘米的，這時想一想數有沒有最大？反觀線有沒有最長？由此得出射線無限長的發現；再朝相反方向重復上述步驟，由此得出直線也是無限長。有了線段、射線和直線的形成過程的體驗，學生就會深刻明白點動成線（線里有無數個點，每個點都可以作為端點）、直線包含射線和線段的道理，更領悟到線段可以表述為“在一條直線上取兩個點，這兩點之間的一段就叫作線段”。因此，線段是直線的一部分，直線包含了線段，兩者是部總關系，基于整體大于部分的邏輯推理，直線應該要比線段長。我們相信，經過這樣的形成過程體驗和周密的邏輯推理，學生對于約定背后的道理肯定能自我演繹且邏輯過程完整。

三、情意交融，突出知識本質

問題：為什么小數點的末尾加上0，大小也不變？

在教學“小數的性質”一課時，很多老師借用教材中提供的直尺和格子圖等素材，引導學生經歷如下圖所示的推理過程。但我們認為，教材基于直尺相等長度的三種表示方式的轉化邏輯鏈長且脆弱。另外，教學過后的調查顯示，約80%的學生用直接記憶結論的方式解決生活中的具體問題，并未運用情境中的轉化經驗，對本單元的核心——數位順序表也理解不深。其實，部分學生在學習這一內容之前，就已經對如“12 元=12.00 元”有了一定的了解，所以本課的難點應該是通過數位順序表理解添“0”、去“0”后小數不變的本質是數的位值沒有發生變化，引導學生結合數位順序表深入研究，使其在添“0”、去“0”后判斷數的大小變與不變的過程中體會十進位值制思想。

基于這一難點定位，我們可以創設問題：“在一個數的末尾添上1 個‘0’，得到的數是原來的（ ）倍？”面對這一問題，有些學生認為是10 倍，也有學生認為它們是相等的，教師都可以讓他們舉例說明。隨后，教師引導學生猜測在小數的末尾添上“0”后會有什么變化，由整數自然地過渡到小數，再展開操作驗證。驗證成功之后，教師再引導學生探究：“同樣是在末尾添上‘0’，小數和整數發生的變化是不同的，你能完整地表達出來嗎？”在學生口述的過程中，教師借助數位順序表展示，指出在末尾添“0”，整數和小數的數位分別發生了什么變化，再借機追問：“添‘0’之后，原來的數在哪一位？現在在哪一位？”之后，引導學生借助數位順序表展示數的大小變化過程，將數位的變化過程清楚、明白地展現在學生面前。學生通過移一移生動形象地理解了“在整數末尾添‘0’之后，整數其他數位上的值都發生變化”“在小數末尾添‘0’，所有數位上的值都不發生變化”這一過程。如此教學，既借助了數位順序表形象地展示了移動過程，又使學生了解了數的大小變化的本質是數字的位值發生了變化，從而讓學生更深刻地理解了小數的性質。

四、辨析合力，學后靈活致用

問題：求近似數只有“四舍五入法”“進一法”和“去尾法”嗎？

用“四舍五入法”求近似數，在四上“大數的認識”單元里有詳細介紹：是“舍”還是“入”，要看省略的尾數部分的最高位上的數是小于5 還是等于或大于5。四下運用“四舍五入法”求小數的近似數，是教材中最后一個學生用此方法解題的學習內容。繼續追溯，早在三年級“用估算解決問題”中，就有“比較接近”這個詞語出現，教師為了方便解題，開始自主教學用“四舍五入法”解題。然而，在學生對方法熟練掌握的同時，我們更應該讓學生明確原數與精確值之間的關系，從而理解使用“四舍五入法”求近似數廣泛應用的意義。比如，舉例兩則信息：超市收銀和醫院收費。為什么超市收銀用“四舍五入法”？為什么上海普陀區的一家醫院收費采用五舍六入法（5 和5 以下全部舍，不收費；6 和6以上進位）？借助連續數據3.21～3.29 進行對比教學（如下表）。

求近似數方法3.21～3.29 求近似數的情況 與精確數相減四舍五入法（超市）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.3 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3 0.05五舍六入法（醫院）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.2 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3-0.05對比發現：四舍五入法之后的結果比精確數多0.05，五舍六入法的結果比精確數少0.05

兩種求近似數方法的誤差都是最后一位保留數位的一半，而方向正好相反。此時，學生明白了兩種方法的實際意義，“五舍六入法”更能體現出國家讓利于民的惠民政策，而超市的收費方式在關注方便的同時，更要突出對顧客的公平公正，“四舍五入法”更加合適。求近似數的方法可以多樣，除了滿足實際需要，更要有數學原理，也就是在體現實用性的同時，更要關注科學性。這樣的想法和思考通過有效的對比讓學生有了感悟，將知識點背后的隱性知識通過顯性活動慢慢悟出。

新課程改革著重于教學理念的更新，大力提倡“情境、合作、探究”的教學模式，但與之相比，對于小學數學里一些傳統的學習內容的創新性演繹則往往維持現狀，未做深究，這并不利于教師對教材背后的數學道理進行深入理解，自然也更不利于學生緩坡學習路徑的構建、核心素養的培養。作為新時期的數學老師，我們應該努力挖掘蘊涵于教材中的數學道理，立足課堂，培養溝通數學內在聯系的能力。希望通過本篇文章，能對同行們有所啟示，讓我們繼續努力向前！