圓錐曲線離心率的求解策略
——基于“理解數學”的一點思考與實踐

上海市海濱中學 郭衛華

啟東市匯龍中學 顧向忠

理解數學，就是要把握數學內容的本質，特別是對內容所蘊含的數學思想和方法要深入理解，要對一些具有統攝性的“一般觀念”能自覺應用。“理解數學”有助于整體把握數學結構，準確制定教學目標。離心率一方面體現了函數表達式中參數a，b，c之間的聯系，另一方面刻畫了橢圓、雙曲線的形狀，是圓錐曲線的一個非常重要的幾何性質。離心率的相關問題往往是高考的熱點，該類問題是數學知識的交匯點、數學思想和方法的綜合點，其往往有兩種題型，即顯示約束條件和隱藏約束條件；有兩種解題方向，即以“形”為主的解題方向，注意結合平面幾何知識求解，以及以“數”為主的解題方向，注意方程和不等式的聯系。求離心率的方法通常有以下幾種：

一、直接求出a 與c

二、利用幾何性質

如果題目中存在“焦點三角形”，那么可以通過焦點三角形包含的邊角關系，利用余弦定理或者正弦定理進行求解。如果題目中涉及圓錐曲線的統一定義，那么可以直接通過這個幾何性質去求離心率。

三、構造a、c 的齊次式

四、利用圖形坐標

有些題目中的幾何關系不明確，這時可以將圖形中的點坐標用基本量a，b，c來表示，再結合向量的坐標運算列出等式求解。

圖1

五、利用三角形的相似關系

離心率本身是一個比值，而三角形的相似可得到比例關系，因此可借助于平行構建相似關系。

六、利用點線距離關系

圓錐曲線往往和圓綜合，圓心到直線的距離常常是考查的對象，而直線一般是漸近線、準線等一些特征量，可以通過點線距離構建等量關系。

圖2

綜上，如何求橢圓和雙曲線的離心率，重點是圍繞方程和已知條件尋找參數a，b，c的等量關系，有時需要結合數形結合的思想求解。

“理解數學”是倡導數學模型教學的核心過程。縱觀整個解題過程，是一種學生主動參與、認知結構的自我完善過程，處處體現數學核心素養的融入，注重數學思想方法的歸納與總結，也是一種促進教師業務素質不斷提高的教學實踐過程，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，同時注重學生對知識的自主生成，最大限度地張揚理解數學的重要性，讓學生在探究活動中領悟數學文化的魅力，發展推理能力、運算能力以及自我監控管理能力。這些良好習慣的形成，不僅對培養學生的探索精神和創新意識具有重要作用，而且對培養學生的核心素養也有極大的價值。