靈活轉(zhuǎn)化 巧解梯形

西北大學(xué)附屬中學(xué) 曹建聯(lián)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要教會(huì)學(xué)生熟記概念、套用公式、做對(duì)題目，而且要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法。在不同版本的初中數(shù)學(xué)教材中，多個(gè)章節(jié)內(nèi)容都滲透了最基本的數(shù)學(xué)思想方法，而轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中可以說是貫穿始終，每每學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，通常采用化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為具體、化陌生為熟悉的思維方式。轉(zhuǎn)化思想會(huì)讓學(xué)生在探尋問題的相互聯(lián)系中，找到聯(lián)系的關(guān)鍵點(diǎn)，獲得解決問題的突破口，鍛煉數(shù)學(xué)思維方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在初中數(shù)學(xué)教材的多個(gè)章節(jié)中，多處都應(yīng)用到了轉(zhuǎn)化思想，本文就著重探討轉(zhuǎn)化思想在解決梯形問題中的應(yīng)用。

作為特殊四邊形的梯形，是初中階段幾何部分學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，解決梯形問題對(duì)于學(xué)生來說既有似曾相識(shí)的感覺，又有無從下手的困惑，因此，在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形或平行四邊形就顯得尤為重要，通過轉(zhuǎn)化使問題得到簡(jiǎn)化，從而有利于學(xué)生解決問題。在教學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化方式有以下四種情形。

【情形一】當(dāng)題目中出現(xiàn)底角的三角函數(shù)時(shí)，則需構(gòu)造直角三角形，具體方法是通過作梯形的兩條高，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形問題

例1：如圖1，梯形ADFE中，EF//AD，AE=DF，若AD=10，EF=4，tanA=2，求梯形的面積。

分析：由tanA=2 容易聯(lián)想到構(gòu)造含∠A的直角三角形，過點(diǎn)E作EB⊥AD，過點(diǎn)F作FC⊥AD，此時(shí)將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和三角形，問題得到解決。

解題思路：

①證明四邊形EBCF為矩形，得到BC=EF=4；②證明△ABE≌△DCF，得到AB=CD=3；

③在Rt △ABE中，由tanA=2，AB=3，可得BE=6；④由梯形面積公式可得梯形的面積為52。

【情形二】當(dāng)題目中出現(xiàn)兩底角互余時(shí)，則需將互余的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，這時(shí)會(huì)形成一個(gè)直角三角形。

方法一：通過作一條腰的平行線，將互余的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)使問題得以解決。

例2：如圖2，梯形ABCD中，AB//CD，∠A＋∠B=90°，若AB=10，AD=4，DC=5，求梯形的面積。

圖2

分析：由條件∠A+∠B=90°會(huì)想到將∠A和∠B轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，因此，過點(diǎn)D作DE//BC，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形。

解題思路：

①由DE//BC得∠DEA=∠B，同時(shí)證得四邊形BCDE為平行四邊形，BE=CD=5，由AB=10 可得AE=5；

②由∠A+∠B=90°得△ADE為直角三角形，由AE=5，AD=4 得出DE=3 ，△ADE的面積為6；

③因?yàn)槠叫兴倪呅蜝CDE和△ADE等底同高，所以S四邊形BCDE=2S△ADE，則S四邊形BCDE=12；

④梯形的面積為6+12=18。

方法二：還可以通過將兩腰延長(zhǎng)，構(gòu)造成直角三角形，使問題易于解決。

例3：如圖3，在梯形ABCD中，AB//CD，∠B=30°，∠A=60°，CD=AD=6，計(jì)算AB的長(zhǎng)度。

圖3

分析：由題目中的已知條件∠A=60°，∠B=30°，可以聯(lián)想到延長(zhǎng)AD和BC，將會(huì)使問題轉(zhuǎn)化為大家熟悉的直角三角形問題。當(dāng)然，該問題也可通過作兩條高解決。

解題思路：

①延長(zhǎng)AD和BC交于點(diǎn)E，由∠A=60°，∠B=30°可得∠E=90°；

②由已知條件AB//CD，可得到兩個(gè)含有30°的直角三角形，隨后問題即可迎刃而解。

【情形三】當(dāng)題目中的條件有對(duì)角線相互垂直時(shí)，則需將直角轉(zhuǎn)化到對(duì)角線的一個(gè)端點(diǎn)，具體方法是通過平移梯形的一條腰，容易計(jì)算三角形的面積，間接得到梯形面積。

例4： 如 圖4， 在 梯 形ABCD中，AD//BC，AB=CD， 對(duì) 角 線AC和BD相 互 垂 直， 若AD=4，BC=8，計(jì)算梯形ABCD的面積。

圖4

分析：由題目中所給條件AC⊥BD，可將AC平移到DE，過點(diǎn)D作DE與AC平行，且與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，得到△BDE為直角三角形，可通過計(jì)算三角形面積計(jì)算梯形面積。

解題思路：

①作DE//AC，由AC⊥BD得到DE⊥BD；

②又由AD//BC可證四邊形ADEC為平行四邊形，得DE=AC，CE=AD=4，由等腰梯形可知BD=AC，因此BD=DE，則△BDE為等腰直角三角形，BE=8+4=12；

③在等腰直角三角形BDE中，BE=12，S△BDE=36；

④由面積轉(zhuǎn)化可得梯形ABCD的面積為36。

【情形四】當(dāng)梯形為直角梯形時(shí)，可以通過延長(zhǎng)兩腰，使圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而使問題得到解決，

例5：如圖5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=5，E為AB的中點(diǎn)，EF//DC交BC于F點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)。

圖5

分析：由題目中的條件∠B=90°，∠C=45°，可延長(zhǎng)兩腰得到一個(gè)等腰直角三角形，將梯形問題轉(zhuǎn)化為熟知的等腰三角形問題。

解題思路：

①延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)M，由∠B=90°，∠C=45°可得△MBC為等腰直角三角形，即BM=BC=5；

②由AD//BC得∠ADM=∠C=45°，∠MAD=∠B=90°，則△MAD為等腰直角三角形，即AM=AD=1；

③由BM=4，AM=1，可得AB=4，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以BE=2；

④因?yàn)镋F//DC，所以∠BFE=∠C=45°，又因?yàn)椤螧=90°，所以△BEF為等腰直角三角形，從而可計(jì)算EF的長(zhǎng)度。

除了以上幾種常見的情形外，還有其他的輔助線添加方法，將梯形問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例6：如圖6，已知梯形ABCD中，AD//BC，EF是梯形中位線，△DEF的面積為4，則梯形ABCD的面積為多少？

圖6

分析：由EF為梯形的中位線可知點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，可通過延長(zhǎng)DE構(gòu)造全等三角形，將梯形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，從而使問題得到解決。

解題思路：

①延長(zhǎng)DE和CB交于點(diǎn)M，因?yàn)锳D//BC，所以∠M=∠ADE， ∠MBE=∠A，又因?yàn)锽E=AE，所以△MBE≌△DAE，則梯形ABCD的面積等于△MCD的面積；

②因?yàn)椤鱉BE≌△DAE，所以DE=ME，則EF為△MCD的中位線，可得△DEF與△DMC相似；

③因?yàn)椤鱀EF的面積為4，所以△DMC的面積為16，所以梯形ABCD的面積為16。

總之，解決梯形問題的方法多種多樣，不止這幾種情形，在具體操作的過程中，根據(jù)題目所給已知條件，結(jié)合條件中邊、角、對(duì)角線的不同特點(diǎn)，靈活應(yīng)用添加輔助線、圖形旋轉(zhuǎn)或割補(bǔ)的方法進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化，將梯形問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單、熟悉且容易解決的三角形問題或平行四邊形問題，使問題分解、難度降低，從而達(dá)到解決問題的目的。當(dāng)然，復(fù)雜的梯形問題可能會(huì)綜合應(yīng)用多種添加輔助線的方法，但其本質(zhì)都是通過轉(zhuǎn)化的思想化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知，靈活遷移所學(xué)知識(shí)和方法解決新問題，創(chuàng)新思維方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。