緊抓真題本質 扎實復習備考
——2021年全國甲卷試卷系統分析與思考

四川 王昌林

為了高考數學復習盡可能高效與精準，適當的試卷分析及總結歸納也是非常必要的.每一屆高考考生都具有其自身的差異性與共同特質.高考數學復習是一項復雜而又精細化的工作，需要高三數學教師細致的規劃，指導學生進行系統化復習，及時查漏補缺，緊跟高考數學的改革方向和社會熱點問題.因此，對高考數學試卷的系統分析是指導復習備考的重要路徑.

一、2021年全國甲卷試卷的特點

2021年全國甲卷貫徹落實高考內容改革總體要求與德智體美勞全面發展的教育方針；突出關鍵能力的考查；體現高考數學的科學選拔功能和育人導向作用.試題突出數學本質，重視數學思維，堅持素養導向與能力立意的命題原則；倡導理論與實際聯系，學以致用，其中以我國社會主義建設和科學技術發展的重要成果設計為真實問題情境，體現數學的實用價值.

平穩過渡是高考命題的首要目標，試題創新為第二選擇.試卷穩步推進改革，科學把握數學題型的開放性與數學思維的開放性，穩中求新，全面體現基礎性、綜合性、應用性以及創新性的考查要求.試卷有效的區分不同能力層次的考生，有利于高校選拔人才以及引導中學數學教學.從試卷的結構來看，繼續延續了近年來的模式；從試卷的難度來看，簡單題注重基礎知識的考查，中檔題注重知識的運用，難題則注重方法技巧的掌握.

二、試卷分類分析

從考查的知識來看，考查的知識點與往年相比無太大變化，例如解答題部分仍考查的是數列、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與導數，選考部分仍是極坐標與參數方程、不等式選講七個板塊，圓錐曲線與導函數題仍然是最難的.具體分析如下：

(一)梯度區分，展現人文關懷

試卷入手較為容易，入口較寬，可以有效降低考生面對高考的焦慮情緒.其中選擇題第1至第6題、填空題第13至14題、解答題第17至18題、第20至21題的第(1)問以及第22至23題等較為常規.從高考數學命題的宗旨來看，這些試題就是高考數學“送分”題，解答題通過分步設問的方式降低難度，讓基礎相對薄弱的同學有成就感，同時也讓優秀的同學脫穎而出，充分展示了高考數學命題者對高考考生的人文關懷.

(二)立足基礎，注重通性通法

立足基礎，即立足于“四基”和“四能”.試卷十分重視基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗即“四基”與發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力即“四能”的考查.如試卷考查了集合運算、復數運算、向量運算、三角函數運算等基礎知識與方法；同時也對三視圖、條件命題、圓錐曲線的定義以及幾何性質進行了考查.這些問題基本都在較為靠前的位置，但若是不能發現問題的一般性與特殊性，會浪費較多時間.

【案例1】已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為

【評注】本題為理科第5題，根據雙曲線的定義及條件，表示出|PF1|,|PF2|，再結合余弦定理，即可得出答案.命題者的目的和意圖很明確，從方法上來看就是考查雙曲線的定義，題干常規，問題背景公平；從數學思想的角度來看，就是考查考生數形結合與方程思想；從能力角度來看，就是想要考查考生分析問題和解決問題的能力.可見，高考數學注重對考生“四基”“四能”的考查.

(三)聚焦本質，凸顯數學思維

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學定義、法則、結論的發生、發展過程和本質”.形式化固然是數學的基本特征之一，在數學教學中，學習形式化表達是一項基本要求，但不能僅僅局限于形式化的表達，更應強調對數學本質的認識，否則靈活多變的數學思維活動，即數學思維“熱烈”的火花，將會淹沒在“冰冷”的形式化大海之中.試卷由“知識立意”到“能力立意”，再到“素養立意”，并逐步發展考生的數學核心素養和數學思維品質，并將這種發展趨勢體現于近年的高考數學試題中，且不斷加大考查的力度，特別是把注意數學思維的考查體現得更為充分.

【評注】本題為理科第12題，其以函數奇偶性的概念為載體，求二次函數的值.考查考生靈活應用知識解決問題的能力以及對奇偶函數概念的理解與掌握情況.案例2可從周期入手，也可從定義入手，關鍵在于對已知條件的轉化，突出考查數學思想，如化歸與轉化思想、數形結合思想、方程思想等.同類型的試題有理科的第7題，第16題，文科第12題等.

(四)綜合考查，注重核心素養

從本質上講，數學核心素養是學生經歷了數學學習之后，會用數學的眼光看世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言表達世界，即“三會”.而在史寧中教授所講的“三會”中，最為核心的為抽象、推理和模型.抽象為推理提供心理物質前提，推理使得對象更為深刻，得到一般的模型，最后再將模型運用于現實中，體現了從現實到數學，再由數學到現實的思維路徑.在高考中，通過對邏輯推理和理性思維的考查，充分展現考生對于推理和論證的確認、分析、評價、展示的全過程，從而衡量其批判性思維的發展水平.而對于理性思維的考查，突出體現在綜合分析問題的過程之中，通過復雜情境的設計增強題目綜合性，考查考生是否能夠根據已知信息，從合理的角度思考問題，用合理的方法解決問題.

【案例3】拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M(2,0)，且⊙M與l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由.

【評注】案例3為理科第20題，文科第21題.體現試題文理科的一致性，試卷在解答題部分進一步呈現文理科合卷的趨勢，這是向新高考“看齊”.第(1)問較為簡單，卻蘊含重要的結論與推廣，是命題者對考生的關愛，案例的第(2)問所蘊含的彭賽列閉合定理使得第(2)問更具內涵，當然試題難度相應增加，若是不能準確的選擇恰當的方法以及具有良好的數學核心素養，考生想要完成第(2)問的解答并非易事.該試題從知識上考查拋物線的定義和幾何性質，直線與圓、拋物線的位置關系；從核心素養來看，考查考生的數學運算、邏輯推理以及直觀想象數學核心素養等.

(1)當a=2時，求f(x)的單調區間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

【評注】案例4為理科第21題.作為全卷的壓軸題，對學生的創新能力具有較高要求.從試題構成來看，試題不偏不怪；從試題背景來看，試題具有高等數學背景與函數模型背景.試題函數結構優美，xa與ax組合具有結構上的對稱呼應，絕大多數考生能解2x=x2，但若是xa=ax具有兩個解則就不再那么簡單了.試題看似簡單，但并非很容易入手，需要轉化討論.總而言之，試題對考生化歸與轉化能力的考查要求較高，具有較強的選拔性.

(五)新穎創設，重視遷移創新

新穎創設，即創設新穎的試題情境.遷移，即將所學習的數學知識應用在新的情境下，并成功的解決問題；創新，是在遷移的過程中體現的，表現在對非常規問題的解決或結構不良問題的解決等，這些問題的解決，往往需要一定的創新意識.數學學科高考在試題設計、素材選擇等方面不斷探索創新，力求創設新穎的情境，提出新穎的問題，希望以此為導向，引導基礎教育培養考生靈活、合理地應用數學知識與方法解決問題的能力，進而促進其創造性思維能力與創新意識的提高.

【案例5】已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【評注】案例5為理科第18題，是半開放的結構不良試題.此類問題有利于引導考生在解決問題的過程中，根據具體情境，從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同路徑，提出多種解決方法，以考查考生思維的系統性、靈活性、深刻性、創造性.案例5以等差數列中的通項公式、前n項和等知識為載體，從給出的三個條件中選出兩個作為條件，則另外一個為結論并證明該命題成立，考生可任選一種方式作答.當然，組合的不同對應的難度亦不相同，這就要求考生要找到“性價比”高的組合方式，充分考查考生認識問題、分析問題以及解決問題的能力.顯然，這是一道考查考生知識遷移和創新的試題，值得細細品味.

(六)真實取材，關注社會熱點

高考是我國的基本教育制度，是立德樹人落實機制的關鍵環節和重要組成部分.如何通過數學“立德”和“樹人”呢？在高考命題中，要通過試題情境的設置、真實問題的提出、利用學科知識解決問題的過程，達到五育并舉，助力德智體美勞全面發展目標實現.試卷關注時事熱點，關愛青少年健康，增強數學知識與思想方法的實際運用.例如：

(1)2021年是“十四五”開局，也是我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利后推進鄉村振興的重要節點，還是建黨100周年之際.理科第2題、文科第2題以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和鄉村振興為背景，培養學生愛國主義情懷，唱響時代旋律.

(2)理科第4題、文科第6題以中學生視力健康為背景命制試題，呼吁廣大青少年要關注視力健康，同時也呼吁社會關注青少年視力健康問題.

(3)理科第8題以三角測量法為背景設計測量珠穆朗瑪峰高度差的試題，情境真實且突出理論聯系實際，要求考生能正確應用線線關系、線面關系以及點面關系等相關幾何關系，從而構建計算模型.

(4)理科第17題，文科第17題是以工廠機床生產為背景設計的獨立性檢驗試題.命題者讓考生正確運用獨立性檢驗對日常生產生活中的實際問題作出合理的推斷和預測.

三、對開展試卷分析的思考

(一)基于試卷分析開展復習備考策略制定的實踐價值

基于試卷分析，開展復習策略的制定，其價值不僅在于幫助教師制定復習策略，而且對于促進學生進行試卷分析也有著積極意義.一位教師若沒有試卷分析習慣，那么其課堂教學肯定是缺乏明確方向且沒有靈魂的.教師若僅僅是講授知識，長此以往，教學水平不會有長足的進步，其課堂教學也將變得機械無味，這對學生必然是極為不利的.事實上，數學活動是一種文化傳承，教師熱愛數學，鉆研數學，善于分析，勇于探究、合作與創新，其品質和精神必然能潛移默化的感染學生，從而引領學生自覺開展試卷分析.

(二)自覺開展試卷分析，鍛煉“把脈”能力

教師要自覺開展試卷分析，使其從一種“任務”變為一種“覺悟”.通過不斷地提高試卷分析的水平，最后達到準確的“把脈”，以及抓住試題命制的“筋脈”.很多高考題看似平常，實際上卻意蘊豐富，試題都是經由命題專家精心思考編制出來的，有很大的教學價值和研究空間.試卷分析，可以說就是教師的一項基本功.學習數學的目的，在于分析和解決問題.善于試卷分析，善于利用具有導向意義的試卷，如診斷試卷，高考試卷等，精心研究分析其“脈”，在分析的過程中梳理“脈絡”，尋找命題的關鍵點，并結合具有指導性意見的文件，如中共中央、國務院等官方機構印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》等，來制定日常教學與復習備考策略.

(三)積極推動學生進行試卷分析