創(chuàng)新性優(yōu)秀原創(chuàng)試題選登

山東 叢以權(quán) 廣東 龍 宇 黑龍江 李偉勝

1.【研發(fā)題】

為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對(duì)黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí)，激發(fā)愛黨愛國熱情，堅(jiān)定走新時(shí)代中國特色社會(huì)主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識(shí)競賽.競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別各答3道題，若答對(duì)題目總數(shù)不少于5道題，則獲得一個(gè)積分.已知甲、乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)每道題答對(duì)的概率分別是p1和p2，且每道題答對(duì)與否互不影響.

【考查目標(biāo)】

本題主要考查二項(xiàng)分布與導(dǎo)數(shù)的綜合，要求學(xué)生能從生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索層面的問題情境中提煉出數(shù)學(xué)問題，并解決問題，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【名師指導(dǎo)】

(1)利用所給數(shù)據(jù)和互斥事件的概率求值;(2)根據(jù)(1)形成p1p2=t的函數(shù)p(t),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的最大值，再由np≥5即可求出所求.

【解題思路】

(1)設(shè)同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)的題目個(gè)數(shù)分別為a1和a2，所以所求的概率

P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)

(2)他們?cè)谝惠喐傎愔蝎@得一個(gè)積分的概率

P=P(a1=2,a2=3)+P(a1=3,a2=2)+P(a1=3,a2=3)

甲、乙兩同學(xué)在n輪競賽中獲得的積分?jǐn)?shù)X滿足X～B(n,p)，

所以若甲、乙同學(xué)想至少獲得5個(gè)積分，理論上至少要進(jìn)行15輪競賽.

2.【研發(fā)題】

(1)若n=2，求分?jǐn)?shù)X的分布列;

【考查目標(biāo)】

本題考查隨機(jī)變量的分布列及確定目標(biāo)下的概率等相關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了數(shù)列的遞推性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸納法的思想以及“非線性規(guī)劃”等一系列知識(shí).考查了運(yùn)算求解能力，數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)建模等能力，落實(shí)了數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【名師指導(dǎo)】

(1)先確定n的取值，然后確定X的取值，求出其概率，進(jìn)而求得分布列;(2)設(shè)G(m)≥G(1)求出p與q的關(guān)系，再利用“線性規(guī)劃”的思想考慮如下：根據(jù)兩個(gè)條件，可得點(diǎn)(p,q)的可行域：結(jié)合q的取值范圍求證.

【解題思路】

(1)當(dāng)n=1時(shí)，X的取值可能為0,1,2,

當(dāng)n=2時(shí)，X的取值可能為0,1,2,3,4,

X01234P(1-13p-23q)22p3(1-13p-23q)4q3(1-13p-23q)49pq49q2

不妨設(shè)當(dāng)k≤m時(shí)，G(k)≥G(1)成立，現(xiàn)考慮k=m+1時(shí)的情況;

對(duì)于G(m+1)，其值為G(m+1)=G(m)G(1)+G(m-1)G(2)；

令G(m+1)=G(m)G(1)+G(m-1)G(2)≥G(1)，根據(jù)假設(shè)G(m)≥G(1)，G(m-1)≥G(1)，

圖1

圖2

3.【研發(fā)題】

(1)求雙曲線E的方程;

問題：是否存在過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支相交于A,B兩點(diǎn)，________，使得∠AMB為直角？

【考查目標(biāo)】

本題以圓錐曲線為背景，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【名師指導(dǎo)】

【解題思路】

(2)方案①：令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2)，

若直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0)，

可得 (5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0，Δ>0

由題意可知A，B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上，

因?yàn)椤螦MB為直角，所以AM⊥BM,

=0,

方案②：令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

若直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0),

可得(5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0,Δ>0，

由題意可知A,B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上,

因?yàn)椤螦MB為直角，所以AM⊥BM,

方案③：令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),

所以直線AB的方程為x=3.

若直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=kx-3k(k≠0),

可得(5-4k2)x2+24k2x-4(9k2+5)=0.

由題意可知A,B兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上,

因?yàn)椤螦MB為直角，所以AM⊥BM,